高中物理万有引力与航天提高训练含解析

高中物理万有引力与航天提高训练含解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L ．已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧，引力常量为G ．求：
(1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ； (2)两星球做圆周运动的周期．
【答案】（1） R=m M M +L, r=m M
m
+L,（2）()3L G M m +
【解析】
（1）令A 星的轨道半径为R ，B 星的轨道半径为r ，则由题意有L r R =+
两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：22
22244mM G mR Mr L T T
ππ==
可得 R
M
r m
＝
，又因为L R r =+ 所以可以解得：M R L M m =
+,m
r L M m
=+； （2）根据（1）可以得到：2222244mM M
G m R m L L T T M m ππ==⋅+
则：()()233
42L L T M m G
G m M π=
=++ 点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．
2．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H ，飞行周期为T ，月球的半径为R ，引力常量为G ．求：
(1) “嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小； (2)月球的质量；
(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大．
【答案】（1）()2R H T
π+（2）
()3
22
4R H GT π+（3）
()2R H R H
T
R
π++ 【解析】
（1）“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小12π()
R H v T
+=． （2）设月球质量为M ．“嫦娥一号”的质量为m ．
根据牛二定律得222
4π()()R H Mm
G m R H T +=+
解得23
2
4π()R H M GT +=
． （3）设绕月飞船运行的线速度为V ，飞船质量为0m ，则2
002Mm V G m R
R =又
23
2
4π()R H M GT
+=． 联立得()2πR H R H
V T
R
++=
3．2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”（LIGO ）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并．已知光在真空中传播的速度为c ，太阳的质量为M 0，万有引力常量为G ．
（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26倍和39倍，合并后为太阳质量的62倍．利用所学知识，求此次合并所释放的能量．
（2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在．假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体．
a ．因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在．天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T ，半径为r 0的匀速圆周运动．由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M ；
b ．严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在．我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m 1、m 2的质点相距为r 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为12
p m m E G
r
=-（规定无穷远处势能为零）．请你利用所学知识，推测质量为M′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径
R 最大不能超过多少？
【答案】（1）3M 0c 2
（2）23
02
4r M GT
π=；22GM R c '＝ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）合并后的质量亏损
000(2639)623m M M M ∆=+-=
根据爱因斯坦质能方程
2E mc ∆=∆
得合并所释放的能量
203E M c ∆=
（2）a ．小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m 根据万有引力定律和牛顿第二定律
2
0202Mm G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
解得
23
02
4r M GT π=
b ．设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律
2102Mm mv G R ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭ 解得
22GM R v '
=
因为连光都不能逃离，有v =c 所以黑洞的半径最大不能超过
2
2GM R c '
=
4．我们将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为L ，质量分别为M 1、M 2(万有引力常量为G)试计算：
()1双星的轨道半径 ()2双星运动的周期．
【答案】()2112121?
M M L L M M M M ++，；()
2?2π
【解析】
设行星转动的角速度为ω，周期为T ．
()1如图，
对星球1M ，由向心力公式可得： 212
112
M M G
M R ωL
= 同理对星2M ，有：212
222
M M G
M R ωL
= 两式相除得：
12
21
R M (R M ，=即轨道半径与质量成反比) 又因为12L R R =+ 所以得：21
121212
M M R L R L M M M M =
=++，
()2有上式得到：()
12G M M 1
ωL
L
+=
因为2π
T ω=，所以有：()12L T 2πL G M M =+
答：()1双星的轨道半径分别是
21
1212
M M L L M M M M ++，； ()2双星的运行周期是()
12L
2πL
G M M +
点睛：双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；根据万有引力提供向心力计算出周期．
5．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。

量子卫星成功运行后，我国已首次实现了卫星和地面之间的量子通信，成功构建了天地体化的量子保密通信与科学实验体系。

假设量子卫星轨道在赤道平面， 如图所示。

已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，图中P 点是地球赤道上一点，求量子卫星的线速度与P 点的线速度之比。

【答案】
【解析】试题分析：研究量子卫星和同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，求出两颗卫星的线速度；研究地球赤道上的点和同步卫星，具有相等角速度，求P点的线速度，从而比较量子卫星的线速度与P点的线速度之比。

设地球的半径为R，对量子卫星，根据万有引力提供向心力
则有：，又
解得：
对同步卫星，根据万有引力提供向心力
则有：，又
解得：
同步卫星与P点有相同的角速度，则有：
解得：
则量子卫星的线速度与P点的线速度之比为
【点睛】求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．
6．双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。

如地月系统，忽略其他星体的影响和月球的自转，把月球绕地球的转动近似看做双星系统。

已知月球和地球之间的距离为r，运行周期为T，引力常量为G，求地球和月球的质量之和。

【答案】23
2
4r GT
π 【解析】 【分析】
双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．应用牛顿第二定律列方程求解． 【详解】
对地球和月球的双星系统，角速度相同，则：22122Mm
G
M r m r r
ωω== 解得：221Gm r r ω=； 22
2GM r r ω=；
其中2T
π
ω=
，r=r 1+r 2； 三式联立解得：23
2
4r M m GT
π+= 【点睛】
解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．
7．已知某行星半径为，以其第一宇宙速度运行的卫星的绕行周期为，该行星上发射的同步卫星的运行速度为.求
（1）同步卫星距行星表面的高度为多少？ （2）该行星的自转周期为多少？ 【答案】（1） （2）
．
【解析】 【分析】 【详解】
（1）设同步卫星距地面高度为 ，则： ，以第一宇宙速度运行的卫星其
轨道半径就是R ，则
联立解得：
．
（2）行星自转周期等于同步卫星的运转周期
．
8．已知火星半径为R ，火星表面重力加速度为g ，万有引力常量为G ，某人造卫星绕火星做匀速圆周运动，其轨道离火星表面高度等于火星半径R ，忽略火星自转的影响。

求：
（1）火星的质量； （2）火星的第一宇宙速度； （3）人造卫星的运行周期。

【答案】（1）2
g
G
R （2gR （3）2
4R g
π 【解析】 【详解】
（1）在火星表面，由万有引力等于重力得：2
GMm
mg R
=
得火星的质量 2
g
M G
R =；
（2）火星的第一宇宙速度即为近火卫星的运行速度，根据2
mg m R
v =
得
v gR = （3）人造卫星绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得()
()2
2 222GMm
m R
T R π=⎛⎫
⎪⎝⎭
联立得2
4R T g
π=。

9．已知地球质量为M ，万有引力常量为G 。

将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体。

忽略地球自转影响。

（1）求地面附近的重力加速度g ； （2）求地球的第一宇宙速度v ；
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明。

【答案】（1）2GM g R =
（2）GM
v R
=3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。

【解析】 【详解】
（1）设地球表面的物体质量为m , 有
2
Mm
G
mg R =
解得
2
GM
g R =
（2）设地球的近地卫星质量为m '，有
22Mm G m R R
''=v 解得
GM
v R
=
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。

设太阳质量为M '，地球绕太阳运动的轨道半径为r 、周期为T ，根
据2
224M M G M r r T
π'=可知若知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量可求
得太阳的质量。

10．如图所示，为发射卫星的轨道示意图．先将卫星发射到半径为r 的圆轨道上，卫星做匀速圆周运动．当卫星运动到A 点时，使卫星加速进入椭圆轨道．沿椭圆轨道运动到远地点B 时，再次改变卫星的速度，使卫星入半径为3r 0的圆轨道做匀速圆周运动．已知卫星在椭圆轨道时，距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上的A 点时的速度大小为v ，卫星的质量为m ，地球的质量为M ，万有引力常量为G ，则：
(1)卫星在两个圆形轨道上的运行速度分别多大? (2)卫星在B 点变速时增加了多少动能?
【答案】（10GM r 03GM r （2）2
0618
GMm mv r -
【解析】 【分析】
【详解】
（1）做匀速圆周运动的卫星，所受万有引力提供向心力，得：
2
2Mm v G m r r
=， 当r =r 0时，v 1
， 当r =3r 0时，v 2
， （2）设卫星在椭圆轨道远地点B 的速度为v B ，据题意有：r 0v =3r 0v B 卫星在B 点变速时增加的动能为△E k =
22
21122
B mv mv -， 联立解得：△E k =2
0618GMm mv r -。