华师大版九年级数学下册课件 27.1.2 第2课时 垂径定理
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为7cm，则弓形的高为＿2c＿m＿或_1_2_c_m＿.
C
C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心
·O
到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常
通过连半径或作弦心距构造直角三角形， A C
B
利用垂径定理和勾股定理求解.
C
弓形中重要数量关系
比较AP与PB，A⌒C与C⌒B，你能发现什么结论？
·O
AP
B
D
线段: AP=BP
弧:
⌒⌒
AC=BC,
⌒⌒
AD=BD
C
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两
·O
个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP
重合，A⌒C和B⌒C,A⌒D与B⌒D重合．
AP
B
D
想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？
F ●O
OE CD,
D CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2,
R2 3002 R 902 .
⌒ AD
⌒ =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
·O
即△AOB是等腰三角形.
∵P是AB的中点，即AP=BP， ∴AB⊥CD.
A
P C
B
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
=B⌒D（. 垂径定理）
2.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，A⌒C =B⌒C,
求证：CD垂直平分AB.
22 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股
·O
定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5，
AD
B
C
即半径OC的长为5cm.
试一试
你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱，
设AB所在圆的圆心为O，半径
为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂
足为D，与弧AB交于点C，则D
A 是AB的中点，C是弧AB的中点， CD就是拱高.
C
D
B
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
O
∵ OA2 AD2 OD2 R2=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
练一练
如图a、b,一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的圆的半径
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
D
即△AOB是等腰三角形.
∵ A⌒C =B⌒C,
·O
∴AC=AB.（在同一个圆中，如果弧相等，
那么它们所对的弦相等.） ∵OC=OC，∴△AOC≌△BOC，
AP B C
∴∠AOC=∠BOC， 即OC是∠AOB的角平分线.
∴CD垂直平分AB.
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分
这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条
弧所对的弦.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举
出反例.
C
特别说明：
A
圆的两条直径是互相平分的.
·O B
D
一二 垂径定理及其推论的计算
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm, 则AB= 16 cm.
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
不是，因为
没有垂直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为CD
没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：
C A
O
O
A
EB A
DB
D
E
B D O
A C
O CB
试一试
1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直
径），与CD交于点P，且P是AB的中点.
D
求证：AB⊥CD，A⌒C
=B⌒C,
试一试
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，
垂足为P.
求证：AP=BP，A⌒C =B⌒C,
⌒⌒ AD =BD.
D
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
·O
∵AB⊥CD， ∴AP=BP.
AP B
又∵CP=CP，∴Rt△APC≌Rt△BPC，∴AC=BC， C
ah
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r
A
2D
rd
B
之间有以下关系：
d+h=r
r2
d
2
a 2
2
O
当堂练习
1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则 此圆的半径为 5cm . 2.☉O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
3.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且
∴
⌒ AC
⌒ =BC（. 同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等）
由此易得 A⌒D =B⌒D.
归纳总结
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对 C
的两条弧.
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AP=BP,
A⌒C =B⌒C,
⌒⌒ AD =BD.
·O
AP B D
议一议
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为 什么？
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AE OA2 OE2 102 62 8 cm.
∴ AB=2AE=16cm.
AEB O·
例2 如图，☉O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝
2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
E
∴ AD 1 AB 1 8 4 (cm)
MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 14cm或2cm .
4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O
是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且
OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
导入新课
问题引入
问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求 出赵州桥主桥拱的半径吗？
讲授新课
一 垂径定理
互动探究
做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直 于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着，
学练优九年级数学下（HS）性
第2课时 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆的对称性. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一 些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
C
C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心
·O
到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常
通过连半径或作弦心距构造直角三角形， A C
B
利用垂径定理和勾股定理求解.
C
弓形中重要数量关系
比较AP与PB，A⌒C与C⌒B，你能发现什么结论？
·O
AP
B
D
线段: AP=BP
弧:
⌒⌒
AC=BC,
⌒⌒
AD=BD
C
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两
·O
个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP
重合，A⌒C和B⌒C,A⌒D与B⌒D重合．
AP
B
D
想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？
F ●O
OE CD,
D CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2,
R2 3002 R 902 .
⌒ AD
⌒ =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
·O
即△AOB是等腰三角形.
∵P是AB的中点，即AP=BP， ∴AB⊥CD.
A
P C
B
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
=B⌒D（. 垂径定理）
2.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，A⌒C =B⌒C,
求证：CD垂直平分AB.
22 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股
·O
定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5，
AD
B
C
即半径OC的长为5cm.
试一试
你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱，
设AB所在圆的圆心为O，半径
为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂
足为D，与弧AB交于点C，则D
A 是AB的中点，C是弧AB的中点， CD就是拱高.
C
D
B
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
O
∵ OA2 AD2 OD2 R2=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
练一练
如图a、b,一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的圆的半径
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
D
即△AOB是等腰三角形.
∵ A⌒C =B⌒C,
·O
∴AC=AB.（在同一个圆中，如果弧相等，
那么它们所对的弦相等.） ∵OC=OC，∴△AOC≌△BOC，
AP B C
∴∠AOC=∠BOC， 即OC是∠AOB的角平分线.
∴CD垂直平分AB.
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分
这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条
弧所对的弦.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举
出反例.
C
特别说明：
A
圆的两条直径是互相平分的.
·O B
D
一二 垂径定理及其推论的计算
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm, 则AB= 16 cm.
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
不是，因为
没有垂直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为CD
没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：
C A
O
O
A
EB A
DB
D
E
B D O
A C
O CB
试一试
1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直
径），与CD交于点P，且P是AB的中点.
D
求证：AB⊥CD，A⌒C
=B⌒C,
试一试
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，
垂足为P.
求证：AP=BP，A⌒C =B⌒C,
⌒⌒ AD =BD.
D
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
·O
∵AB⊥CD， ∴AP=BP.
AP B
又∵CP=CP，∴Rt△APC≌Rt△BPC，∴AC=BC， C
ah
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r
A
2D
rd
B
之间有以下关系：
d+h=r
r2
d
2
a 2
2
O
当堂练习
1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则 此圆的半径为 5cm . 2.☉O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
3.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且
∴
⌒ AC
⌒ =BC（. 同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等）
由此易得 A⌒D =B⌒D.
归纳总结
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对 C
的两条弧.
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AP=BP,
A⌒C =B⌒C,
⌒⌒ AD =BD.
·O
AP B D
议一议
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为 什么？
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AE OA2 OE2 102 62 8 cm.
∴ AB=2AE=16cm.
AEB O·
例2 如图，☉O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝
2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
E
∴ AD 1 AB 1 8 4 (cm)
MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 14cm或2cm .
4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O
是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且
OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
导入新课
问题引入
问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求 出赵州桥主桥拱的半径吗？
讲授新课
一 垂径定理
互动探究
做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直 于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着，
学练优九年级数学下（HS）性
第2课时 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆的对称性. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一 些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）