丢番图方程整数解方法之欧阳德创编

求不定方程整数解的常用方法
不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。

不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。

我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。

一般常用的求不定方程整数解的方法包括：
(1)分离整数法
此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.
例1 求不定方程02
5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为
因为y 是整数，所以
2
3+x 也是整数. 由此
x+2=1，-1，3，-3，即
x=-1，-3，1，-5，
相应的.0,2,0,4=y
所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).
(2)辗转相除法
此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：
第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);
第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;
第三步，用辗转相除法解不定方程.
例2 求不定方程25
+y
x的整数解.
37=
107
解因为25
,37
107
(=,所以原方程有整数解.
)
1
用辗转相除法求特解:
从最后一个式子向上逆推得到
所以
则特解为
通解为
或改写为
(3)不等式估值法
先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.
例3 求方程1111=++z
y x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解 因为
所以
所以
即
所以
所以.32==z z 或
当2=z 时有
所以
所以
所以42≤〈y
所以;46,43或相应地或===x y y
当3=z 时有
所以
所以
所以.3;3,3==≤x y y 相应地
所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x
(4)逐渐减小系数法
此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.
例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.
解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.
有10737〈，用y 来表示x ，得 则令
由4<37,用m 来表示y ,得
令.4,4
t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为
注解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止. 对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.
(5)分离常数项的方法
对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍
数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.
例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.
解 原方程等价于
因为
所以
所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩
⎨⎧+=-= (6)奇偶性分析法
从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.
例6 求方程32822=+y x 的正整数解.
解 显然y x ≠,不妨设
因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.
令
则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且
所以
代入原方程得
同理，令
2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且
于是，有
再令
得
此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且
取,5,4,3,2,13=v 得相应的
所以，只能是.4,533==v u
从而
结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18
(7)换元法
利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.
例7 求方程7
111=+y x 的正整数解. 解 显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程
7
111=+y x 可化为 整理得
所以
相应地
所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56
(8)构造法
构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.
例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且b
c a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.
解 由题意得⎩⎨⎧==++ac
b c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程
因为
因,0≠a
若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时 若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a 若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时
综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应
的b 与c 的值分别为.9
316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨
⎧=-=c b c b c b c b 或和或 (9)配方法 把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.
例9 若.,24
522的值求x y y x y x y x ++=++ 解 由题意
即
所以 所以2
3211=+=+x y y x (10)韦达定理
韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ⋅形式的式子，最后用韦达定理.
例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方
程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p
解 设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤
由根与系数关系得
因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数.
所以
所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+
①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以,1081015q p p pq -〉〉+故此时无解.
②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以
()(),85810-=-⋅+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-〉+q p 所以
解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p
③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,
157q p =满足条件的质数对.
④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,
113q p =于是()()()().3,11,3,7,==q p q p 或
综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或
(11)整除性分析法
用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比
较到位的把握.
例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
解 当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;
当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数; 当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组⎩
⎨⎧+=-=k kx y x y 3的解，解得 因为x 、y 均为整数,
所以1-k 只能取4,2,1±±±
解得
综上，答案为C.
(12)利用求根公式
在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.
例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程
()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值.
解 因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为
由原方程的根是有理根，所以()5222++k 必是完全平方式.
可设(),52222m k =++则(),52222=+-k m 即
因为m 、k 均是整数,所以
⎩⎨⎧=--=++522122k m k m , ⎩
⎨⎧=--=++122522k m k m ⎩⎨
⎧-=---=++112522k m k m , ⎩⎨⎧-=---=++522122k m k m
解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.
(13)判别式法
一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=∆的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.
例13 求方程4
31112=++xy y x 的整数解. 解 已知方程可化为
因为x 、y 均为整数，所以
,06448162≥+-=∆x x 且为完全平方数.
于是，令
(),464481622n x x =+-其中n 为正整数 所以
因为x 、n 均为整数
所以
(),04492≥--=∆n 且为完全平方数， 即有，742-n 为完全平方数.
于是，再令
,7422m n =-其中m 为正整数
所以
因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -〉+22
所以
由上.2=n
相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或
把3=x 代入已知方程中得(),5
22舍去或==y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x
(14)因式分解法
因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.
这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为
,⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x i
i 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4
132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解.
解 已知方程可化为
所以
即
因为a 、b 都是正整数
所以
这样
所以
4=b 或12或20或36或84
相应地
2=a 或4或5或6或7
所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,2 丢番图（Diophantus ）：古代希腊人，代数学的鼻
祖，早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称整系数的不定方程为丢番图方程。

百鸡百钱：我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出的数学问题：“鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。

百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”
解：设母鸡x只，公鸡y只，小鸡（100-x-y）只，所以3x+5y+(100-x-y)/3=100
且x，y为整数。

化简：
X+7y/4=25
公鸡五文一只，所以公鸡数量要至少小于20.
有四种情况符合要求：
1.公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只
2.公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只
3.公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只
4.公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只
辗转相除法，又名欧几里德算法，是求两个正整数的最大公因子的算法。

设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得a÷b=q......r1(0≤r1)。

若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则(a，b)=r1；若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去，直到能整除为止。

其最后一个余数为0的被除数的除数即为(a, b)。

例如：a=25,b=15，a/b=1余10,b/10=1余
5,10/5=2余0,最后一个余数为0的被除数的除数就是5, 5就是所求最大公约数。