专题3.1 从算式到方程讲练-简单数学之2020-2021学年七年级上册同步讲练(解析版)(人教版)

专题3.1 从算式到方程
典例体系
一、知识点
1.一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。

一般形式：ax+b=0(a≠0)
注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。

如x x =+31，它不是一元一次方程。

2.一元一次方程的解
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3.等式的性质：
（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。

二、考点点拨与训练
考点1：一元一次方程定义及应用
典例：2020·陕西西安·西北工业大学附属中学期末）下面的等式中，是一元一次方程的为（ ） A ．3x ＋2y ＝0
B ．3＋x ＝10
C ．2＋1x ＝x
D ．x 2＝16
【答案】B
【解析】解：A 、该方程中含有两个未知数，所以它不是一元一次方程，故本选项错误； B 、符合一元一次方程的定义，故本选项正确；
C 、该方程未知数在分母上，所以它不是一元一次方程，故本选项错误；
D 、该方程的未知数的最高次数是2，所以它不是一元一次方程，故本选项错误；
故选B ．
方法或规律点拨
本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程.
巩固练习
1．（2020·广西平桂·期中）下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A ．1x -
B ．21=0x -
C ．y=1x -
D ．21=0x -
【答案】B
【解析】A 选项错误，不是等式；
B 选项正确；
C 选项错误，有两个未知数，不是一元；
D 选项错误，次数是二次．
故选：B ．
2．（2020·全国单元测试）下列方程中，是一元一次方程的为（ ）
A ．228x y -=
B ．2140x -=
C ．2210x x -+=
D ．()2816y y -+=
【答案】D
【解析】A 、含有两个未知数，即不是一元一次方程，故本选项错误；
B 、方程的次数是2次，即不是一元一次方程，故本选项错误；
C 、方程的次数是2次，即不是一元一次方程，故本选项错误；
D 、是一元一次方程，故本选项正确．
故选：D ．
3．（2020·全国课时练习）已知()()221160a x a x --++=是关于x 的一元一次方程，则a =（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．±1
【答案】C
【解析】由题意得210
10a a ⎧-=⎨+≠⎩，
解得1a =.
故选：C ．
4．（2020·全国课时练习）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A ．7310x y +=
B ．5
5x =-
C ．2540x x -+=
D ．2135x x +=-
【答案】D 【解析】A 、7310x y +=有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项错误；
B 、55x
=-分母有未知数，不是一元一次方程，故此选项错误； C 、2540x x -+=未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故此选项错误；
D 、2135x x +=-是一元一次方程，故此选项正确；
故选：D ．
5．（2020·全国课时练习）下列叙述正确的有（ ）
①11ππ+=+是一元一次方程；②1x =是一元一次方程；③12x x +=
是一元一次方程；④232x x +=不是一元一次方程
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】A
【解析】①11ππ+=+不含未知数，不是一元一次方程，错误；
②1x =是一元一次方程，正确； ③12x x +=中的1x
不是整式，不是一元一次方程，错误； ④232x x +=是一元一次方程，错误；
综上，叙述正确的有1个，
故选：A ．
6．（2020·全国课时练习）若方程71m x n +=与方程9n y m =分别是关于x 、y 的一元一次方程，则m n +=
（ ）
A ．2
B ．0
C ．2或0
D ．3
【答案】C 【解析】解：∵方程71m x n +=与方程9n y m =分别是关于x 、y 的一元一次方程 ∴11m n =⎧⎨=⎩
解得：11m n =±⎧⎨=⎩
当m=-1，n=1时，m ＋n=0
当m=1，n=1时，m ＋n=2
∴m n +=2或0
故选C ．
7．（2019·北京市昌平区第四中学期中）已知方程(1)30m m x -+=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是
（ ）
A ．±1
B ．1
C ．-1
D ．0或1 【答案】C 【解析】∵方程(1)30m m x
-+=是关于x 的一元一次方程， ∴1m =，10m -≠，
解得：1m =-．
故选：C ．
8．（2020·全国单元测试）已知方程73mx x -=是关于x 的一元一次方程，则m 应满足的条件是_______．
【答案】3m ≠
【解析】
方程化为()370m x --=，30m -≠，
∴3m ≠；
故答案是3m ≠．
9．（2020·全国单元测试）如果方程120n x n -+=是关于x 的一元一次方程，那么n =________．
【答案】2
【解析】∵方程120n x n -+=是关于x 的一元一次方程，
∴n -1=1，
解得：n=2，
故答案为：2
10．（2020·全国单元测试）方程()12252m m x x -++=是一元一次方程，则m =_______．
【答案】-2
【解析】解：方程()12252m m x x -++=是一元一次方程，
所以m+2=0|m|-1=1
⎧⎨⎩； 解得：m=-2
故答案为：-2
11．（2020·山西襄汾·期末）若关于x 的方程()||1 13n n x -+=是一元一次方程，则n 的值是_________．
【答案】-1
【解析】∵关于x 的方程()||1 13n n x -+=是一元一次方程，
∴110n n =-≠且，
∴1n =±且1n ≠，
即：1n =-，
故答案为：1-.
考点2：列一元一次方程
典例：（2020·德惠市第三中学初一月考）已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设宽为x ，列方程为_____．
【答案】2[x+（x+5）]=50
【解析】设宽为x ，则长为x+5，
2[x+（x+5）]=50，
故答案为： 2[x+（x+5）]=50．
方法或规律点拨
考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，表示出长和宽，根据周长列出方程． 巩固练习
1．（2020·全国课时练习）已知某数为x ，比它的34
大1的数的相反数是5，则可列出方程（ ） A ．3154-+=x B ．3154⎛⎫-+= ⎪⎝⎭x C ．3154-=x D ．3154x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】比某数x 的
34大1的数表示为：314x +， 比某数x 的34大1的数的相反数表示为：314x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
， 因此可列方程为：3154x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
． 故选：B ．
2．（2020·全国初一课时练习）足球的表面一般是由若干黑色五边形和白色六边形围成的，一个足球的表面共有32个皮块.设白皮有x 块，则黑皮有(32)x -块，每块白皮有六条边，共有6x 条边，因为每块白皮有三条边和黑皮连在一起，故黑皮共有3x 条边.要求出白皮、黑皮的块数，列出的方程正确的是（） A ．332x x =-
B ．35(32)x x =-
C ．53(32)x x =-
D ．632x x =-
【答案】B
【解析】解：根据黑皮的边数相等，可列方程为： 35(32)x x =-.
故选B.
3．（2020·青海中考真题）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A ．2286(5)22x x ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．22
86(5)22x x ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．2286(5)x x ππ⨯=⨯⨯+
D ．22865x ππ⨯=⨯⨯ 【答案】A 【解析】解：大量筒中的水的体积为：2
82x π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭， 小量筒中的水的体积为：2
6(5)2x π⎛⎫⨯⨯+ ⎪⎝⎭
， 则可列方程为：2286(5)22x x ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选A.
4．（2020·全国单元测试）已知某数的相反数与2的差等于某数，如果设这个数为x ，那么可得方程为_________．
【答案】2x x --=
【解析】
解：设这个数为x ，
由题意知：2x x --=，
故填：2x x --=．
5．（2020·全国单元测试）如果正方形的边长增加cm x ，它的周长增加12cm ，那么可得方程为_________．
【答案】412x =
【解析】∵正方形增加的周长=4⨯增加的边长
∴412x =
故答案为412x =
6．（2020·全国单元测试）长方形场地的面积是80平方米，它的长是宽的2倍多6米，若设长方形的宽是x
米，那么可以列出方程为_______．
【答案】()2680x x +=
【解析】设长方形的宽是x 米，
∵长是宽的2倍多6米，
∴长是（2x+6）米，
∵长方形的面积为80平方米，
∴（2x+6）x=80，
故答案为：（2x+6）x=80
7．（2020·全国课时练习）某数的
78与-1的差等于10，设某数为x ，依题意，可列方程为_____________． 【答案】()71108
x --= 【解析】由题意得：()71108
x --=， 故答案为：()71108
x --=． 8．（2020·全国课时练习）根据题意，列出方程：x 的
15与3y 的和得7：__________________． 【答案】1375
x y += 【解析】x 的
15表示为：15x ， 它与3y 的和表示为：135
x y +， 则方程为：1375
x y +=， 故答案为：
1375x y +=． 9．（2020·新疆高昌·初一月考）某件商品的进货价是100元，售价是130元，则其利润率为 _____%.
【答案】30 【解析】由题意知，利润率130100100%30%100
-=
⨯=， 故答案为：30．
10．（2020·新疆高昌·初一月考）根据下列语句列出方程：
（1）比a 小4的数是7：_____.
（2）3与x 差的一半等于x 的4倍______.
【答案】a -4=7或a -7=4(其相关变形均可) 0.5(3-x)=4x
【解析】（1）由题意知，可列方程：a -4=7；
（2）由题意知，可列方程：0.5(3-x )=4x ；
故答案为：a -4=7或a -7=4(其相关变形均可)；0.5(3-x )=4x ．
考点3：方程的解
典例：（2020·全国单元测试）以1为方程的解的方程是（ ）
A ．2143y y -=-
B ．()11x x -=
C ．524t t -=-
D ．()314x --=
【答案】A
【解析】解：A ．当y=1时，211,431y y -=-=，所以左边=右边，故本选项符合题意；
B ．当x=1时，()101x x -=≠，所以左边≠右边，故本选项不符合题意；
C ．当t=1时，523,43t t -=-=-，所以左边≠右边，故本选项不符合题意；
D ．当x=1时，()3134x --=≠，所以左边≠右边，故本选项不符合题意．
故选A ．
方法或规律点拨
此题考查的是方程解的判断，掌握方程的解的定义是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）下列方程中，其解为﹣1的方程是（ ）
A ．2y=﹣1+y
B ．3﹣y=2
C ．x ﹣4=3
D ．﹣2x ﹣2=4 【答案】A 【解析】解：A 、方程2y=-1+y ，
移项合并得：y=-1，符合题意；
B 、方程3-y=2，
解得：y=1，不合题意；
C 、方程x -4=3，
移项合并得：x=7，不合题意；
D 、方程-2x -2=4，
移项合并得：-2x=6，
解得：x=-3，不合题意，
故选A ．
2．（2020·全国课时练习）解为3x =-的方程是（ ）
A ．260x -=
B ．()()322356x x ---=
C ．53
62x += D ．1
325
462x x --=-
【答案】D
【解析】把3x =-代入各方程：
A 、左边()23612=⨯--=-，右边=0，
∴左边≠右边，不合题意；
B 、左边()()3322333=⨯---⨯--=-，右边()5315=⨯-=-，
∴左边≠右边，不合题意；
C 、左边()533
62⨯-+==-，右边6=，
∴左边≠右边，不合题意；
D 、左边3114--==-，右边()
32
35
3
5
16222-⨯-=-=-=-，
∴左边=右边，符合题意，
故选：D ．
3．（2020·全国课时练习）2x =不是下列哪个方程的解（ ）
A ．213x -+=-
B ．23100x x +-=
C ．1
5
32x -=- D ．31x -=-
【答案】D
【解析】把2x =代入，可得：
2213-⨯+=-，故A 不符合题意；
2232100+⨯-=，故B 不符合题意；
1
5
322-=-，故C 不符合题意；
231-=，故D 符合题意；
故答案选D ．
4．（2019·北京市昌平区第四中学期中）若x ＝﹣1关于x 的方程2x +3＝a 的解，则a 的值为（
） A ．﹣5 B ．3 C ．1 D ．﹣1
【答案】C
【解析】由题意，将1x =-代入方程得：23a -+=
解得：1a =
故选：C.
5．（2020·河南偃师·期末）若x=-3是方程2()6x m -=的解，则m 的值是（ ）
A ．6
B ．－6
C ．12
D ．－12 【答案】B
【解析】解：把x=-3代入方程得：2（-3-m ）=6，
解得：m=-6．
故选：B ．
6．（2020·福建惠安·期末）已知关于x 的方程4x ﹣a ＝3的解是x ＝2，则a ＝_____．
【答案】5
【解析】∵关于x 的方程4x ﹣a ＝3的解是x ＝2，
∴8﹣a ＝3，
解得：a ＝5．
故答案为：5．
7．（2020·全国单元测试）2x =________方程2320x x -+=的解．（填“是”或“不是”）
【答案】是
【解析】解：把2x =代入方程得：左边4620=-+==右边．
则2x =是方程2320x x -+=的解．
故答案是：是．
8．（2020·全国单元测试）对于方程256x x +=，有理数1、2、-6三个数中，是方程解的数为________．
【答案】1，-6
【解析】解：当x=1时，256x x +=，左边=右边，故1符合题意；
当x=2时，25146x x +=≠，左边≠右边，故2不符合题意；
当x=-6时，256x x +=，左边=右边，故-6符合题意；
故答案为：1，-6．
9．（2020·全国课时练习）如果方程()32m x -=-无解，则m =__________________．
【答案】3
【解析】由题意得：30m -=，
解得3m =，
故答案为：3．
考点4：等式的性质
典例：（2020·全国初一课时练习）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A
【解析】设的质量为x ，的质量为y ，的质量为：a ，
假设A 正确，则，x=1.5y ，此时B ，C ，D 选项中都是x=2y ，
故A 选项错误，符合题意，
故选A ．
方法或规律点拨
本题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．
巩固练习
9．（2019·北京市昌平区第四中学期中）下列等式变形正确的是（ ）
A ．若﹣3x ＝5，则x ＝35
B ．若1132
x x -+=，则2x+3（x ﹣1）＝1 C ．若5x ﹣6＝2x+8，则5x+2x ＝8+6
D ．若3（x+1）﹣2x ＝1，则3x+3﹣2x ＝1 【答案】D
【解析】选项A. 若35x -=，则53x =-
.错误. 选项B. 若1132
x x -+=，则()2316x x +-=.错误. 选项C. 若5628x x -=+，则5286x x -=+ .错误.
选项 D. 若()3121x x +-=，则3321x x +-=.正确.
故选D.
2．（2020·哈尔滨工业大学附属中学校开学考试）下列各式变形正确的是（ ）
A ．如果,mx my =那么x y =
B ．如果33,x y -=-那么6x y -=-
C ．如果162
x =，那么3x = D ．如果x 3y -=，那么3x y =+ 【答案】D
【解析】如果()0,mx my m =≠那么x y =，故A 错误；
如果33,x y -=-那么330,x y -=-+=故B 错误；
如果162
x =，那么12x =，故C 错误；
如果x 3y -=，那么3x y =+，故D 正确；
故选D ．
3．（2019·黑龙江道外·初一期末）已知a ＝b ，下列等式不一定成立的是( )
A ．a+c ＝b+c
B ．c ﹣a ＝c ﹣b
C ．ac ＝bc
D ．a b c c = 【答案】D
【解析】A 、由a ＝b 知a+c ＝b+c ，此选项一定成立；
B 、由a ＝b 知c ﹣a ＝c ﹣b ，此选项一定成立；
C 、由a ＝b 知ac ＝bc ，此选项一定成立；
D 、由a ＝b 知当c ＝0 时
a b c c =无意义，此选项不一定成立； 故选D
4、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
22．（2020·四川汶川·初一期末）下列变形符合等式基本性质的是（ ）
A ．如果27,x y -=那么72y x =-
B ．如果ak bk =，那么a 等于b
C ．如果25,x =那么52x =+
D ．如果113a -=，那么3a =- 【答案】D
【解析】A 、如果2x －y ＝7，那么y ＝2x －7，故A 错误；
B 、k ＝0时，两边都除以k 无意义，故B 错误；
C 、如果2x ＝5，那么x ＝52
，故C 错误； D 、两边都乘以－3：1-(3)33a ⨯-=-，3a =-，故D 正确；
故选择：D ．
5．（2020·广东郁南·初一期末）下列等式的变形中，正确的有（ ）
①由5 x =3，得x =
53；②由a =b ，得﹣a =﹣b ；③由﹣x ﹣3=0，得﹣x =3；④由m =n ，得m n =1． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】B
【解析】①若5x=3，则x=35
， 故本选项错误；
②若a=b ，则-a=-b ，
故本选项正确；
③-x -3=0，则-x=3，
故本选项正确；
④若m=n≠0时，则
n m =1， 故本选项错误．
故选B.
6．（2019·广东郁南·初一期末）在下列变形中，正确的是( )
A ．如果a =b ，那么
33a b = B ．如果2
a =4，那么a =2 C ．如果a –
b +
c =0，那么a =b +c
D ．如果a =b ，那么a +c =b –c
【答案】A
【解析】A 、正确.
B 、a =8，故选项错误；
C 、a=b -c ，故选项错误．
D 、应同加同减，故选项错误；
故选A ．
7．（2020·贵州印江·初一期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A ．如果23x =，那么
23x a a = B ．如果x y =，那么55x y -=- C ．如果23x a a =，那么23x = D ．如果162
x =，那么3x = 【答案】C
【解析】解：A 、如果23x =，0a ≠，那么23x a a
=，故本选项变形错误，不符合题意； B 、如果x y =，那么55x y -=-，故本选项变形错误，不符合题意；
C 、如果
23x a a =，那么23x =，故本选项变形正确，符合题意； D 、如果162
x =，那么12x =，故本选项变形错误，不符合题意． 故选：C ．
8．（2019·海南琼海·初一期末）如果x y =，那么下列等式不一定成立的是
A ．+=+x a y a
B ．x a y a -=-
C ．ax ay =
D ．x
y
a a =
【答案】D
【解析】A. 等式x =y 的两边同时加上a ，该等式仍然成立；故本选项正确；
B. 等式x =y 的两边同时减去a ，该等式仍然成立；故本选项正确；
C. 等式x =y 的两边同时乘以a ，该等式仍然成立；故本选项正确；
D. 当a =0时，,x y
a a 无意义；故本选项错误；
故选D.
9．（2020·吉林宽城·初一期末）下列方程变形正确的是（ ）
A ．由35x +=，得53x =+
B ．由32x =-，得23x =--
C ．由102y =，得2y =
D ．由74x =-，得4
7x =-
【答案】D
【解析】解：A. 由35x +=，得53x =-，故不正确；
B. 由32x =-，得23x =+，故不正确；
C. 由1
02y =，得0y =，故不正确；
D. 由74x =-，得4
7x =-，正确．
故选D ．
10．（2020·杭州市十三中教育集团（总校）初三其他）若a=b+2，则下面式子一定成立的是（ ）
A ．a ﹣b+2=0
B ．3﹣a=﹣b ﹣1
C ．2a=2b+2
D ．22a
b
-=1
【答案】D
【解析】∵2a b =+，
∴20a b --=，
所以A 选项不成立；
∵2a b =+，
∴3321a b b -=--=-，
所以B 选项不成立；
∵2a b =+，
∴224a b =+，
所以C 选项不成立；
∵2a b =+，
∴211222222
a b b b b b +-=-=+-=， 故D 选项符合题意；
故选：D ．
11．（2020·河南方城·初一期中）下面四个等式的变形中正确的是（ ） A ．由480+=x 得20x +=
B ．由753+=-x x 得42=x
C ．由345=x 得125
x = D ．由()412--=-x 得46=-x 【答案】A
【解析】A. 由480+=x 两边同除以4得20x +=，正确；
B. 由753+=-x x ，移项合并得4-2x =，故错误；
C. 由345=x 两边同除以35得203
x =，故错误； D. 由()412--=-x 去括号得-4x+4=-2合并得46x =，故错误
故选A.
12．（2020·四川省遂宁市第二中学校初一期中）下列各式变形正确的是（ ） A ．由1233x y -=得2x y = B ．由3222x x -=+得 4x =
C ．由233x x -=得3x =
D ．由357x -=得375x =- 【答案】B
【解析】A 、得x=-2y ，错误；
B 、正确；
C 、x=-3，错误；
D 、3x=7+5，错误，所以答案选择B 项.
13．（2020·湖北黄石·期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ） A ．如果a ＝b ，那么a ＋2＝b ＋3
B ．如果a ＝b ，那么a －2＝b －3
C ．如果a b c c
=，那么a ＝b D ．如果a 2＝3a ，那么a ＝3 【答案】C
【解析】解：A 、等式的左边加2，右边加3，故A 错误；
B 、等式的左边减2，右边减3，故B 错误；
C 、等式的两边都乘c ，故C 正确；
D 、当a=0时，a≠3，故D 错误；
故选C ．
14．（2020·全国初一课时练习）把方程1
1
2
x=变形为2
x=，其依据是（）
A．等式的性质1B．等式的性质2C．乘法结合律D．乘法分配律【答案】B
【解析】将原方程两边都乘2，得2
x=，这是依据等式的性质2．
故选B．。