高三一轮复习数学(师生共用)函数知识点导学案

高三数学总复习
高中数学总复习(二)函数
基础知识要点
一．函数的分类：
1.有无表达式⎩⎨
⎧抽象函数：
具体函数：
2.组合型
（1）初等函数： 。

①指数函数的图象和性质
对数：一般地， ， ， b 叫做以a 为底N 的对数。

其中a ，N ， b 。

log b a a N N b
↑
↑
↑
↑
↓
↓
=⇔=底数
底数
指数幂真数对数
对数恒等式： 。

对数N b a log =（1,0≠>a a ）的性质： （1） ，即0>N （2） ，即01log =a （3） ，即1log =a a 常用对数和自然对数： ，叫常用对数。

记作)(lg log 10N N 或
，叫自然对数。

记作lnN)log 或（N e )2.71828...(e ≈ 对数运算法则：已知N q M p a a log ,log ==)0,(>N M (1)=)(log MN a (2)=)(
log N
M
a (3)αM a log = 对公式容易错误记忆，要特别注意：
N M MN a a a log log )(log ⋅≠ ，N M N M a a a log log )(log ±≠±
换底公式：N b log = 。

推论：（1）a b b a log log =, (2)n a b m log =b m
n
a log ②对数函数：一般地， 叫做对数函数。

对数函数的图像与性质
指数函数与对数函数的关系。

指数函数x
y a =与对数函数x y a log =是 函数，函数x
y a =的图象与x y a log =的图象关于 对称.
③幂函数：一般地， 叫做幂函数，其中α为常数。

幂的图象和性质：
，复合函数：如果函数)(t f y =的定义域为A ，函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则A C ⊆时，函数)]([x g f y =为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，)(x g t =叫做内函数，)(t f y =叫做外函数。

外层函数的定义域是内层函数的值域. 考点：复合函数的单调性
（1）当)u (f y =与)x (g u =的单调性相同时[])x (g f y =为 函数。

（2）当)u (f y =与)x (g u =的单调性相异时[])x (g f y =为 函数。

（3）超越函数： 。

超越函数单调性： ， ， ， 。

（4)三种特殊函数：
（1）[]x y = (2)x
x y 1
+
= (3)分段函数
二．函数的图像：
函数图像变换规则：
1．平移变换：(1)水平平移：y=f(x+ )的图象，可由y=f(x)的图象向左
( >0), 或向右
( <0)平移|
|个单位得到。

(2)垂直平移：y＝f(x)+b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b
＜0)平移|b|个单位得到。

2．对称变换：(1)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称。

(2)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称。

(3)y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线y＝x对称。

(4)y=-f-1(-x)与y=f(x) 的图象关于直线y＝-x对称。

(5)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称
3．伸缩变换： (1)水平伸缩：y=f(ωx)(ω>0)的图象，可由y ＝f(x)的图象上每点的坐标
伸长(0<ω<1) 或缩短( ω＞1)到原来的
倍(纵坐标不变)得到。

(2)垂直伸缩:y ＝Af(x)(A ＞0)的图象，可由y ＝f(x)的图象上每点的纵坐
标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)得到。

4.翻折变换:⑴函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴
翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分；
⑵函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．
三．函数性质：
1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则.
2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，
考点：不能说函数在）
，（），（2110⋃上为减函数. 3. 反函数定义：只有满足y x −−→←唯一
，函数)(x f y =才有反函数. 例：2x y =无反函数. 函数)(x f y =的反函数记为)(1
y f
x -=，
习惯上记为)(1
x f y -=. 在同一坐标系，
函数)(x f y =与它的反函数)(1
x f
y -=的图象关于x y =对称.
考点：（a,b ）在函数)(x f y =上，则(b,a)在函数)(1
x f
y -=上.
易错点：一般地，3)f(x 3)(x f 1
+≠+-的反函数. 3)(x f 1+-是先求f(x)的反函数，再左移三个单位.
4. 奇函数，偶函数：
⑴偶函数：)()(x f x f =-，设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12
+=x y 在)1,1[-上不是偶函数.
②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，
1)
()
(=-x f x f . ⑵奇函数：)()(x f x f -=-，设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：3
x y =在)1,1[-上不是奇函数.
②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，
1)
()
(-=-x f x f . 5.周期函数的定义：
对于函数y=f(x)，如果存在一个常数T ≠0，使得当x 取定义域内任意一个值时，恒有f(x+T)=f(x)成立，称y=f(x)为周期函数，T 为周期函数的周期。

常见的四个结论：（1） 。

（2） 。

（3） 。

（4） 。

6.对称性：
（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称；
7.零点：函数)(x f y =与x 轴交点的横坐标。

8.凸凹性： 。

9.广义奇偶性：。