2014高考数学(文)二轮专题复习与测试练习题：解答题保分训练2含解析

解答题保分训练（二)
1．(2013·湖南五市十校联合检测)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：［40,50）,［50，60)，…,［90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中实数a的值；
(2)若该校高一年级共有学生640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在［40，50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
解析：（1）由已知得，10×(0.005＋0.01＋0。

02＋a＋0.025＋0.01)＝1，
解得a＝0。

03。

（2）根据频率分布直方图可知,成绩不低于60分的频率为1－
10×(0.005＋0。

01）＝0。

85.
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544。

(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在［90,100］分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F。

若从数学成绩在[40,50)与［90，100］两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：（A,B）,(A,C)，（A，D)，(A,E)，（A,F),(B，C），（B，D)，(B，E)，（B,F)，(C，D)，（C，E），(C,F)，（D，E)，(D，F)，(E，F），共15个．
如果2名学生的数学成绩都在［40，50)分数段内或都在［90,100］分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在［90，100］分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10。

记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：(A,B）,(C,D），（C，E），（C,F），(D，E），(D，F），(E，F），共7个．
所以所求概率为P（M）＝7
15。

2．（2013·济南市模拟考试）已知m＝(2cos x＋2错误!sin x，1），n＝(cos x，－y)，且m⊥n.
（1）将y表示为x的函数f(x）,并求f（x）的单调递增区间；
（2)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f错误!＝3，且a＝2，b＋c＝4,求△ABC的面积．
解析：(1）由m⊥n得m·n＝0，2cos2x＋2错误!sin x cos x－y＝0，
即y＝2cos2x＋2错误!sin x cos x＝cos 2x＋错误!sin 2x＋1
＝2sin错误!＋1。

令－错误!＋2kπ≤2x＋错误!≤错误!＋2kπ，k∈Z，
则－错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ，k∈Z,
故f（x)的单调递增区间为错误!，k∈Z.
(2)因为f错误!＝3，所以2sin错误!＋1＝3,sin错误!＝1，
所以A＋错误!＝2kπ＋错误!，k∈Z。

因为0＜A＜π,所以A＝错误!.
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A,即4＝b2＋c2－bc,
所以4＝(b＋c)2－3bc，
因为b＋c＝4,所以bc＝4。

所以S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!.
3．如图，在几何体ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE ⊥平面ABD，M为线段BD的中点，MC∥AE,且AE＝MC＝错误!.
（1)求证：平面BCD⊥平面CDE；
（2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC。

解析：(1）证明:∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M为线段BD的中点，
∴AM＝错误!BD＝错误!,AM⊥BD，
∵AE＝MC＝错误!，
∴AE＝MC＝错误!BD＝错误!，
∴BC⊥CD，BD⊥CM.
∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD，
∴MC⊥AM，∴AM⊥平面CBD。

又MC∥AE，AE＝MC＝错误!，
∴四边形AMCE为平行四边形，∴EC∥AM，
∴EC⊥平面CBD，∴BC⊥EC，
∵EC∩CD＝C,
∴BC⊥平面CDE.
∵BC⊂平面BCD，∴平面BCD⊥平面CDE.
（2）∵M为BD的中点，N为DE的中点，
∴MN∥BE。

由(1）知EC∥AM且AM∩MN＝M，
又BE∩EC＝E，
∴平面AMN∥平面BEC。

4．(2013·南昌市模拟测试）设角A,B,C为△ABC的三个内角．（1)设f（A）＝sin A＋2sin 错误!，当A取A0时，f(A）取极大值f（A0），试求A0和f（A0)的值；
(2）当A取A0时，错误!·错误!＝－1,求BC边长的最小值．
解析：(1)f′(A）＝cos A＋cos 错误!＝2cos2错误!＋cos错误!－1
＝错误!错误!.
因为0＜A＜π，所以cos错误!＋1＞0.由f′（A）＞0，得cos错误!＞1
，所以0＜错误!＜错误!，即0＜A＜错误!.所以当A∈错误!时，f(A)为增函2
数；当A∈错误!时，f(A）为减函数．故A0＝错误!时，f(A)取极大值f(A0）＝f错误!＝错误!。

(2)设a，b，c是角A,B,C的对边．由错误!·错误!＝－1知bc＝2，而a＝错误!≥错误!＝错误!，
当且仅当b＝c＝错误!时，BC边长的最小值为错误!.
5．已知四棱锥P－ABCD的正视图是一个底边长为4,腰长为3的等腰三角形，如图分别是四棱锥P－ABCD的侧视图和俯视图．
(1)求证：AD⊥PC；
（2)求四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积．
解析：（1)证明：依题意，可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E，连接PE，则PE⊥平面ABCD。

∵AD⊂平面ABCD，
∴AD⊥PE。

∵AD⊥CD，CD∩PE＝E，CD⊂平面PCD,PE⊂平面PCD，∴AD⊥平面PCD.
∵PC⊂平面PCD，
∴AD⊥PC.
（2）依题意，在等腰三角形PCD中，PC＝PD＝3,DE＝EC＝2，
在Rt△PED中,PE＝错误!＝错误!。

过点E作EF⊥AB，垂足为F,连接PF，
∵PE⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥PE.
∵EF⊂平面PEF,PE⊂平面PEF,EF∩PE＝E，
∴AB⊥平面PEF。

∵PF⊂平面PEF,
∴AB⊥PF,
依题意得EF＝AD＝2.
在Rt△PEF中，PF＝PE2＋EF2＝3，
∴△PAB的面积为S＝错误!·AB·PF＝6。

∴四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积为6.。