2024-2025学年上海嘉定二中高三上学期数学开学考试卷及答案(2024.09)

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嘉定二中2024学年第一学期高三年级数学周测
2024.09
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知集合{}{}12,3A ,B a,==,若{}2A B ⋂=,则a = .
2.已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==,则数列{}n a 的通项公式是 .
3.双曲线22
1916
x y −=的渐近线方程 .
4.若圆锥的侧面积为15π,高为4,则圆锥的体积为 .
5.在()5
21x +的展开式中,2x 的系数为 .(用数字作答)
6.x 为实数，且不等式53x x m −+−<有解，则实数m 的取值范围是 .
7.若命题"对任意的x R ∈,都有210ax x +−<"为假命题,则实数a 的取值范围为 .
8.已知正实数,a b 满足
12
1a b
+=,则2a b +的最小值为 . 9.用1-9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共 有 个
10.已知不等式()220ax a x c +++>的解集为{|12}x x −<<,
则函数y =的单调递增区间为 .
11.已知函数()y f x =的表达式为()321x f x =⋅−,若对于任意[]101x ,∈,都存在[]201x ,∈,使得()()1210f x f x m ++=成立,则实数m 的取值范围是 .
12.已知数列{}{},n n a b 都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,a b ,且115a b +=,n b 是正整数,设()
*n n b c a n N =∈，则数列{}n c 的前n 项和 .
2
二、选择题（本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）. 13.已知,a b R ∈,则"a b >"是"33a b >"的（ ）条件.
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要 14.已知集合(){}(){}|20,|10A x,y x ay a B x,y ax ay =++==+−=,则下列结论正确的 是（ ）.
A.存在a R ∈,使得A =∅
B.当1a =−时,1
32
2A B ,⎛⎫⋂=−
⎪⎝⎭
C.当A B ⋂=∅时,1a =
D.对任意的a R ∈,都有A B ≠ 15.在区间()01,上,若()'1f x >,则下列四个图中,能表示函数()y f x =的图像的是（ ）.
16.群论,是代数学的分支学科,在抽象代数中.有重要地位,且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响,例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一,其定义如下:设G 是一个非空集合,"."是G 上的一个代数运算,如果该运算满足以下条件:
(1)对任意的,a b G ∈,有a b G ⋅∈; (2)对任意的,,a b c G ∈,有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅; (3)存在e G ∈,使得对任意的a G ∈,有,e a a e a e ⋅=⋅=称为单位元; (4)对任意的a G ∈,存在b G ∈,使a b b a e ⋅=⋅=,称a 与b 互为逆元. 则称G 关于"."新构成一个群.则下列说法正确的有（ ）.
A.{}012G ,,=关于数的乘法构成群
B.自然数集N 关于数的加法构成群
C.实数集R 关于数的乘法构成群
D.{}
|G a a,b Z =+∈关于数的加法构成群
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三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17.(本题满分14分,其中第(1)小题6分,第(2)小题8分)
如图,四棱锥P ABCD −的底面是矩形,PD ⊥底面,ABCD M 为BC 的中点,1PD DC ==,直线PB 与平面ABCD 所成的角为6
π. (1)求四棱锥P ABCD −的体积;
(2)求异面直线AM 与PC 所成的角的大小.
18.（本题满分14分,其中第(1)小题6分,第(2)小题8分) 已知在ABC ∆中,,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ,若cosA b
cosB a
=且sinC cosA = (1)求角,,A B C 的大小;
(2)函数()()222C f x sin x A cos x ⎛
⎫=++− ⎪⎝
⎭,求函数()f x 单调递增区间,指出它相邻两对称
轴间的距离.
4
19.(本题满分14分,其中第(1)小题6分,第(2)小题8分)
已知椭圆22
22:1(0)43x y C a a a
+=>的右焦点为F ,直线:40l x y +−=.
(1)若F 到直线l
的距离为求a ;
(2)若直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,且ABO ∆的面积为
48
7
,求a ;
20.（本题满分18分,其中第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分) 给定正整数3…n ,设集合{}12n A a ,a ,
,a =.若对任意{},12,,i j i j i j ,,
,n a a a a ∈+−两数中至
少有一个属于A ,则称集合A 具有性质P .
(1)分别判断集合{}123,,与{}1012,,,−是否具有性质P ; (2)若集合{}1A ,a,b =具有性质P ,求a b +的值;
(3)若具有性质P 的集合B 中包含6个元素,且1B ∈,求集合B .
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21.（本题满分18分,其中第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分) 已知()1,,x f x e ax a R e =−−∈是自然对数的底数. （1）当1a =时,求函数()y f x =的极值;
（2）若关于x 的方程()10f x +=有两个不等实根,求a 的取值范围; （3）当0a >时,若满足()()1212()f x f x x x =<,求证:122x x lna +<.
6
参考答案
一、填空题
1.2;
2.10n a n =−;
3.4
3
y x =±
; 4.12π; 5.40; 6.2m >; 7.1
4
a ≥−; 8.8; 9.840; 10.[]01,； 11. 2311log ,−⎡⎤⎣⎦ 12.272n n n S +=
11.已知函数()y f x =的表达式为()321x f x =⋅−,若对于任意[]101x ,∈,都存在[]201x ,∈,使得()()1210f x f x m ++=成立,则实数m 的取值范围是 . 【答案】2311log ,−⎡⎤⎣⎦
【解析】()321x f x =⋅−,则函数()f x 在R 上单调增, []()()01,15max x ,f x f ∈∴==,()()02min f x f ==,
又对于任意[]101x ,∈,都存在[]201x ,∈,使得()()1210f x f x m ++=成立, 转化为()[]11058f x ,−∈,故[]58,是()2f x m +值域的子集,
1
3215
3218m m +⎧⋅−≤∴⎨⋅−≥⎩
,解得2311log m −剟,故实数m 的取值范围是2311log ,−⎡⎤⎣⎦. 故答案为:2311log ,−⎡⎤⎣⎦.
12.已知数列{}{},n n a b 都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,a b ,且115a b +=,n b 是正整数,设()
*n n b c a n N =∈，则数列{}n c 的前n 项和 . 【答案】272
n n n S +=
【解析】数列111,1n n a a n b b n =+−=+−,
所以111111n n b n c a a b a b n n ==+−=++−−=523n +−=+
7
则11,2n n c c n −−=…,且14c =,所以{}n c 为首项为4,公差为1的等差数列, 所以()21742
22n n n n n
S n −=+=+
.故答案为:272
n n +. 二、选择题
13.C 14.D 15.A 16.D
15.在区间()01,上,若()'1f x >,则下列四个图中,能表示函数()y f x =的图像的是（ ）.
【答案】A
【解析】根据题意,在区间()01,上,若()'1f x >,在函数()f x 上任意一点切线的斜率都大于1,分析选项,A 符合这个特点.故选:A .
16.群论,是代数学的分支学科,在抽象代数中.有重要地位,且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响,例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一,其定义如下:设G 是一个非空集合,"."是G 上的一个代数运算,如果该运算满足以下条件:
(1)对任意的,a b G ∈,有a b G ⋅∈; (2)对任意的,,a b c G ∈,有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅; (3)存在e G ∈,使得对任意的a G ∈,有,e a a e a e ⋅=⋅=称为单位元; (4)对任意的a G ∈,存在b G ∈,使a b b a e ⋅=⋅=,称a 与b 互为逆元. 则称G 关于"."新构成一个群.则下列说法正确的有（ ）.
A.{}012G ,,=关于数的乘法构成群
B.自然数集N 关于数的加法构成群
C.实数集R 关于数的乘法构成群
D.{}
|G a a,b Z =+∈关于数的加法构成群
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【答案】D
【解析】A:由1G ∈且a G ∀∈,使11a a a ⋅=⋅=,但0G ∈,不存在b G ∈,使001b b ⋅=⋅=,错误;
B:由0N ∈且a N ∀∈,都有00a a a +=+=,但1N ∈,不存在b N ∈,使110b b +=+=,错误; C ：由1R ∈且a R ∀∈，使11a a a ⋅=⋅=，但0R ∈,不存在b R ∈,使001b b ⋅=⋅=,错误; :D 对所有的,a b G ∈
，可设()
,,a x b s x,y,s,t Z =+=+∈
则(
))a b x s y t G +=+++∈,
①G 满足加法结合律,即,,a b c G ∀∈,有()()a b c a b c ++=++ ②0e G ∃=∈,使得a G ∀∈,有e a a e a +=+= ③a G ∀∈
，设,,,a x x y Z b x G =∈∃=−−∈ 使a b b a e +=+=,正确.故选：D. 三．解答题
17.（1
（2
） 18.（1）2,63
A B C ππ
===
（2）2π
19.（1）8a = （2）2a =
20.（本题满分18分,其中第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分) 给定正整数3…n ,设集合{}12n A a ,a ,
,a =.若对任意{},12,,i j i j i j ,,
,n a a a a ∈+−两数中至
少有一个属于A ,则称集合A 具有性质P .
(1)分别判断集合{}123,,与{}1012,,,−是否具有性质P ; (2)若集合{}1A ,a,b =具有性质P ,求a b +的值;
(3)若具有性质P 的集合B 中包含6个元素,且1B ∈,求集合B .
【答案】（1）{}123,,不具有，{}1012,,,−具有 （2）1a b +=−
9
（3）{}21012,,,,,−−113101222,,,,,⎧
⎫−−⎨⎬
⎩
⎭211201,{3,2,13
333,,,,,⎧⎫
−−−−−⎨⎬⎩⎭,0,1,2}
或3
11101.2
22,,,,,⎧⎫−−−⎨⎬⎩⎭
【解析】（1）集合{}123,,中的{}336123,,+=∉,{}330123,,−=∉
所以集合{}123,,不具有性质P ,
集合{}1012,,,−中的任何两个相同或不同的元素,相加或相减,两数中至少有一个属于集合
{}1012,,,−,所以集合{}1012,,,−具有性质P ;
（2）若集合{}1A ,a,b =具有性质P ,记{}1m max ,a,b =,则1m …, 令i j a a m ==,则{}21m ,a,b ∉,从而必有{}01,a,b ∈, 不妨设0a =,则{}10,0A ,,b b =≠且1b ≠,
令1,i j a a b ==,则{}{}1110b,b ,,b +−⋂≠∅,且{}{}1110,0b,b ,,b b +−⋂≠∅≠且1b ≠, 以下分类讨论:
①当{}110b ,,b +∈时,若101b b +=⇒=−,此时,{}101A ,,=−满足性质P ; 若110b b +=⇒=,舍;若1b b +=,无解;
②当{}110b ,,b +∉时,则{}{}1110b,b ,,b −−⊆,注意0b ≠且1b ≠,可知b 无解; 经检验{}101A ,,=−符合题意,综上1a b +=−； （3）首先容易知道集合B 中有0，有正数也有负数,
不妨设{11120k k B b ,b ,,b ,,a ,a −=−−⋯−,}l ,a ⋯,其中15,0l k l a a +=<<⋯<,10k b b <<⋯<, 根据题意{}{11l l l k a a ,,a a b −−⋯−⊆−,}11,
k b ,,b −−⋯−
且{}{1112112k k b b ,b b ,,b b a ,a −−−⋯−⊆},l a ⋯从而()()23k,l ,=或()32,，
10
①当()()32k,l ,=时,{}{31321b b ,b b a −−=,}2a ,
并且{}{31321b b ,b b b −+−+=−,}{2312211,b b b b a a a −⇒=+−∈}2212a a a ⇒= 由上可得()()(2131322b ,b b b ,b b a =−−=,)()1112a a ,a =,并且31213b b b a =+=, 综上可知{}111113202B a ,a ,a ,,a ,a =−−−;
②当()()23k,l ,=时,同理可得{112B a ,a =−−}111023,,a ,a ,a
据此，当B 中有包含6个元素，且1B ∈时，符合条件的集合B 有5个， 分别是{}21012,,,,,−−113101222,,,,,⎧
⎫−−⎨⎬⎩
⎭211201,{3,2,13333,,,,,⎧⎫−−−−−⎨⎬⎩⎭,0,1,2}
或3
11101.2
22,,,,,⎧⎫−−−⎨⎬⎩⎭
21.（本题满分18分,其中第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分) 已知()1,,x f x e ax a R e =−−∈是自然对数的底数. （1）当1a =时,求函数()y f x =的极值;
（2）若关于x 的方程()10f x +=有两个不等实根,求a 的取值范围; （3）当0a >时,若满足()()1212()f x f x x x =<,求证:122x x lna +<. 【答案】（1）极小值0,无极大值; （2）()e,+∞ （3）见解析
【解析】（1）当1a =时,()1x f x e x =−−,定义域为R 则()'1x f x e =−, 令()'0f x =,得0x =,当()0x ,∈−∞时,()()'0,f x f x <单调递减; 当()0x ,∈+∞时,()()'0,f x f x >单调递增, 所以()y f x =在0x =处取到极小值0,无极大值;
(2)方程()10x
f x e ax +=−=,显然当0x =时,方程不成立,则,0x
e a x x
=≠
若方程有两个不等实根,即y a =与()x
e g x x
=有2个交点,则()()21'x x e g x x −=,
11
当0x <或01x <<时,()()'0,g x g x <在区间()0,−∞和()01,上单调递减, 并且()0x ,∈−∞时,()0g x <,当()01x ,∈时,()0g x >,
当()1x ,∈+∞时,()()'0,g x g x >严格增,0x >时, 当1x =时,()g x 取得最小值,()1g e = 作出函数()y g x =的图象，如下图所示： y a =与()x
e g x x
=有2个交点,则a e >， 即a 的取值范围为()e,+∞； (3)证明:()'x f x e a =−, 令()'0f x =,可得x lna =,
函数()y f x =在(),lna −∞上单调递减，在()lna,+∞上单调递增,
由题意12x x <,则()1x ,lna ∈−∞,()2x lna,∈+∞,要证122x x lna +<,只需证122x lna x <−, 而122ln x lna x a <−<,且函数()f x 在(),lna −∞上单调递减,故只需证()()122f x f lna x >−,又()()12f x f x =,所以只需证()()222,f x f lna x >−即证()()2220f x f lna x −−> 令()()()2,
h x f x f lna x =−−
即()()()222121]22,'2x lna x x x x x
h x e ax e a lna x e a e ax alna h x e a e a −−−⎡=−−−−−−=−−+=+−⎣
由均值不等式可得(
)2'220x x h x e a e a a −=+−≥=,当且仅当2x x e a e −=, 即x lna =时,等号成立,所以函数()h x 在R 上严格增,由2ln x a >,可得()()20h x h lna >=,即()()2220,f x f lna x −−>所以()()122f x f lna x >−
,
12
又函数()f x 在(),lna −∞上严格减,所以122x lna x <−,即122x x lna +<得证.。