广西壮族自治区百色市平果第二中学2018年高二数学文联考试题含解析

广西壮族自治区百色市平果第二中学2018年高二数学
文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设是圆上的动点,是直线上的动点,则的最小值为（）
A．6 B． 4 C．3 D． 2
参考答案：
B
2. “直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）条件.
充要充分非必要必要非充分既非充分又非必要
参考答案：
C
略
3. 设椭圆 (a>b>0)的两个焦点是F1和F2，长轴是A1A2，P是椭圆上异于A1、A2的点，考虑如下四个命题：
①|PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|；②a-c<|PF1|<a+c；
③若b越接近于a，则离心率越接近于1；
④直线PA1与PA2的斜率之积等于-．
其中正确的命题是
A．①②④B．①②③C．②③④D．①④
参考答案：
A
4. 已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）
A．（0，2）B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}
参考答案：
C
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A=[﹣2，2]，
由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，
则A∩B={0，1，2}，
故选：C．
5. 如图是一个正方体纸盒的展开图，
在原正方体纸盒中有下列结论：
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成角；④DM与BN垂直．
其中，正确命题的序号是▲； (注：填上全部正确的命题序
号.)
参考答案：
略
6. 设随机变量ξ服从正态分布，若=，则c的值是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
参考答案：
C
略
7. 已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）
A． f（﹣）＜f（﹣）B． f（）＜f（）C．f（0）＞2f
（）D．f（0）＞f（）
参考答案：
A
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．
【解答】解：构造函数g（x）=，
则g′（x）==（f′（x）cosx+f（x）sinx），
∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，
则g（﹣）＜g（﹣），即，
∴，即f（﹣）＜f（﹣），故A正确．
g（0）＜g（），即，
∴f（0）＜2f（），
故选：A．
8. 设若则有（）
A B C D
参考答案：
D
9. 函数的图象如下左图所示，则导函数的图象大致是( )
参考答案：
D
10. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，。

）
A. 4.56%
B. 13.59%
C. 27.18%
D. 31.74%
参考答案：
B
试题分析：由题意
故选B．
考点：正态分布
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知命题，，则是______________;
参考答案：
，使sinx＞1
略
12. 已知向量，，若，则m=_____.
参考答案：
9
【分析】
根据向量垂直可知向量的数量积等于零，利用数量积的坐标运算即可.
【详解】因为
所以，
解得m=9,
故填9.
【点睛】本题主要考查了向量垂直，向量的数量积计算，属于中档题.
13. 圆(x-l)2+y2=2绕直线kx-y-k=0旋转一周所得的几何体的表面积为________.
参考答案：
8π
14. 正方体，则下列四个命题：
①在直线上运动时，三棱锥的体积不变；
②在直线上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③在直线上运动时，二面角的大小不变；
④M是平面上到点D和距离相等的点，则M点的轨迹是过点的直线其中真命题的编号是.（写出所有真命题的编号）
参考答案：
①③④
略
15. 直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，若直线l在y轴上的截距为6，则a＝________．参考答案：
16. 在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
___.
参考答案：
0.3
17. 已知函数,若，且，则的取值范围是________.
参考答案：
【分析】
首先可根据题意得出不可能同时大于1，然后令，根据
即可得出，最后通过构造函数
以及对函数的性质进行分析即可得出结果。

【详解】
根据题意以及函数图像可知，不可能同时大于，
因为，所以可以令，即，
因为，所以，，，构造函数，则，
令，则，即；
令，则，即；
令，则，即；
所以在上单调递减，在处取得极小值，在上单调递增，
所以，，，
故答案为。

【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查分段函数的相关性质、函数值与自变量之间的联系以及导数的相关性质，能否通过题意构造出函数是解决本题的关键，考查推理能力，考查函数方程思想，是难题。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线与E相交于
A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列
（Ⅰ）求△ABF2的周长；
（Ⅱ）求|AB|的长；
（Ⅲ）若直线的斜率为1，求b的值．
参考答案：
【考点】椭圆的定义；等差数列的通项公式；直线的斜率．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，可以推出a=1，推出|AF2|+|A B|+|BF2|=4a，从而求出△ABF2的周长；
（Ⅱ）因为|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，可得|AF2|+|BF2|=2|AB|，又|AF2|+|A
B|+|BF2|=4，求出|AB|的长；
（Ⅲ）已知L的方程式为y=x+c，其中c=，联立直线和椭圆的方程，设出A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，求出b的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A、B两点，
由椭圆定义知|AF2|+|A B|+|BF2|=4a
已知a=1
∴△ABF2的周长为4…3分
（Ⅱ）由已知|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列
∴|AF2|+|BF2|=2|AB|，又|AF2|+|A B|+|BF2|=4
故3|AB|=4，解得|AB|=….6分
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程，
，化简得，（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0，
则x1+x2=，x1x2=，
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|=|x2﹣x1|，
即=|x2﹣x1|，
则=（x1+x2）2﹣4x1x2=﹣=，
解得b=；…12分
【点评】此题主要考查椭圆的定义及其应用，把等差数列作为载体进行出题，考查圆锥曲线，是一种创新，此题是一道综合题；
19. 已知函数，曲线在处的切线方程为. （Ⅰ）求实数a，m的值；
（Ⅱ）求在区间[1,2]上的最值.
参考答案：
（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为－2，最小值为.
【分析】
（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.
【详解】解：（Ⅰ），
∵曲线在处的切线方程为，
∴解得，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，
令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
∴在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.
20. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
参考答案：
【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且
NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；
法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作
NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；
（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作
AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，
∵N为PC的中点，
∴NG∥BC，且NG=，
又AM=，BC=4，且AD∥BC，
∴AM∥BC，且AM=BC，
则NG∥AM，且NG=AM，
∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，
∵AG?平面PAB，NM?平面PAB，
∴MN∥平面PAB；
法二、
在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，
在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，
∵AD∥BC，
∴cos，则sin∠EAM=，
在△EAM中，
∵AM=，AE=，
由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，
而在△ABC中，cos∠BAC=，
∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，
∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．
由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，
∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．
∵NE∩EM=E，
∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；
（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣
2AC?AM?cos∠MAC=．
∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，
∵PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．
在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．
在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，
在Rt△PAM中，由PA?AM=PM?AF，得AF=，
∴sin．
∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．
21. （12分）已知直线l：y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点，
（1）若|AB|=10，求m的值；
（2）若OA⊥OB，求m的值．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；
（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）
（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
，﹣﹣﹣﹣
∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理得运用，考查等价转化问题的能力．
22. （本小题满分8分）：在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方案作比较。

在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。

现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。

根据实验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配实验：
（1）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为4的概率；
（2）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率。

参考答案：
解：（1）……4分
(2) ……8分。