【名师一号】高中数学 第二章 随机变量及其分布单元同步测试(含解析)新人教A版选修2-3

【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 随机变量及其分
布单元同步测试（含解析）新人教A 版选修2-3
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设随机变量X 的概率分布如下：
则P (X A ．0 B.16 C.13
D ．不确定
解析 由分布列的性质，得12＋1
3＋p ＝1，
∴p ＝16.∴P (X >0)＝P (X ＝1)＝p ＝16.
答案 B
2．已知离散型随机变量X 的概率分布如下：
A ．1
B ．0.6
C ．2＋3m
D ．2.4
解析 由0.5＋m ＋0.2＝1，得m ＝0.3. ∴E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 答案 D
3．设随机变量X 等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，则P (Y <6)的值为( )
A ．0.3
B ．0.5
C ．0.1
D ．0.2
解析 由Y ＝2X －1<6，得X <3.5，
∴P (Y <6)＝P (X <3.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.3. 答案 A
4．两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数的数学期望E (ξ)等于( ) A.23 B.13 C.29
D.49
解析 P (ξ＝0)＝49，P (ξ＝1)＝49，P (ξ＝2)＝1
9.
∴E (ξ)＝0×49＋1×49＋2×19＝2
3.
答案 A
5．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3
4，两个零件是否加
工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.12
B.512
C.14
D.16
解析 事件A ：实习生甲加工的零件为一等品； 事件B ：实习生乙加工的零件为一等品， 则P (A )＝23，P (B )＝3
4，
∴P (A )＝13，P (B )＝1
4
.
∴这两个零件中恰有一个一等品的概率应为P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋
P (A )P (B )＝23×14＋13×34＝512
.
答案 B
6．位于西部地区的A ，B 两地，据多年来的资料记载：A ，B 两地一年中下雨天仅占6%和8%，而同时下雨的比例为2%，则A 地为雨天B 地也为雨天的概率是( )
A.1
7 B.14 C.13
D.34
解析 由题意知P (A )＝0.06，P (B )＝0.08，P (AB )＝0.02， ∴P (B |A )＝P AB P A ＝0.020.06＝1
3
.
答案 C
7．在10个球中有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率为( )
A.35
B.25
C.13
D.59
解析 记“第一次摸出红球”为事件A ，“第二次摸出红球”为事件B ，则P (A )＝6
10
，
P (AB )＝610×59＝13
，
∴P (B |A )＝P AB P A ＝13×106＝5
9
.
答案 D
8．已知离散型随机变量X 的分布列如下：
则均值E (X )A ．1.4,0.2 B ．0.44,1.4 C ．1.4,0.44
D ．0.44,0.2
解析 ∵a ＋4a ＋5a ＝1，∴a ＝0.1.
∴P (X ＝0)＝0.1，P (X ＝1)＝0.4，P (X ＝2)＝0.5. ∴E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；
D (X )＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5
＝0.196＋0.064＋0.18 ＝0.44. 答案 C
9．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A.C 3
5·C 1
4
C 45
B ．
C 1
4×(59)3×49
C ．(59)3×49
D.35×1
4
解析 由题意知，前3次取得黑球，第4次取得白球，因为是有放回的取球，故所求概率为(59)3×49
.
答案 C
10．某人射击一次命中目标的概率为1
2，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命
中的概率为( )
A ．C 36(12)6
B ．A 24(12)6
C ．C 24(12
)6
D ．C 14(12
)6
解析 射击6次命中3次恰有2次连续命中有A 24种可能．因此，所求概率为P ＝A 24(12
)3
(1
－12)3＝A 24(12
)6. 答案 B
11．某厂生产的零件外直径ξ～N (8,0.152
)(mm)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm 和7.5 mm ，则可认为( )
A ．上、下午生产情况均正常
B ．上、下午生产情况均为异常
C ．上午生产情况正常，下午生产情况异常
D ．上午生产情况异常，下午生产情况正常 解析 由ξ～N (8,0.152
)知，μ＝8，σ＝0.15， ∴μ－3σ＝8－3×0.15＝7.55， μ＋3σ＝8.45.
∵7.9∈(7.55,8.45)，而7.5∉(7.55,8.45)， ∴上午生产情况正常，下午生产情况异常． 答案 C
12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为
c ，其中a ，b ，c ∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab
的最大值为( )
A.1
48 B.124
C.112
D.16
解析 由已知3a ＋2b ＋0×c ＝1， ∴3a ＋2b ＝1.
∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝124
.
当且仅当3a ＝2b ＝12，即a ＝16，b ＝1
4
时取“等号”．故选B.
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．一离散型随机变量ξ的分布列为
解析 由分布列的性质，得a ＋b ＝0.8，又E (ξ)＝1.5， ∴a ＋2b ＋0.3＝1.5，解得b ＝0.4，a ＝0.4，∴a －b ＝0. 答案 0
14．若随机变量ξ～N (μ，σ2
)，其中正态分布曲线最高点的坐标为(10，12)，则该随
机变量方差为________．
解析 正态曲线的最高点的坐标为(μ，12πσ
)，
∴μ＝10，
1
2πσ＝12，∴σ2
＝2π.
答案
2π
15．为了庆祝建厂10周年，某食品厂制作了3种分别印有卡通人物猪猪侠、虹猫和无眼神兔的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，张明购买了5袋该食品，则他可能获奖的概率是________．
解析 依题意，购买5袋该食品可能收集到的卡片不同的结果有35
种，其中能获奖的结果仅有两类，第一类：5张卡片中有3张相同的卡片，另两张各不相同，这样的结果有3C 3
5C 12C 1
1＝60种；第二类：5张卡片中某两种卡片相同，而另一张是余下的另一种，这样的结果有3C 25C 23C 1
1＝90种．故所求的概率为P ＝60＋9035
＝5081
. 答案
50
81
16．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后尚剩余子弹的均值为________．
解析 设命中目标后剩余的子弹个数为ξ，则ξ所有可能的取值为3,2,1.
P (ξ＝3)＝0.6，
P (ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24， P (ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096.
∴E (ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.
答案 2.376
三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)一盒子装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只不放回．设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P (B |A )．
解 将产品编号，1,2,3号为一等品，4号为二等品．
用(i ，j )表示第一次、第二次分别取到第i 号、第j 号产品(i ，j ＝1,2,3,4)， 则试验的基本事件空间为{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，
事件A 含9个基本事件．AB 含有6个基本事件， 所以，P (B |A )＝69＝2
3
.
18．(12分)数学选择题在给出的四个答案中只有一个是正确的，若对3道选择题中的每一道都任意选定一个答案．求：
(1)这3道题中恰好答对2道的概率； (2)至多答对1道的概率．
解 依题意知，每道选择题答对的概率均为14，设答对的题数为x ，则X －B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14. (1)3道题中恰好答对2道的概率为P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝964
.
(2)至多答对1道的概率P ＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫140⎝ ⎛⎭⎪⎫1－143＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142＝2764＋
2764＝27
32
. 19．(12分)某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B |A )． 解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2.依题意得： P (X ＝0)＝C 3
4C 36＝15，P (X ＝1)＝C 12C 2
4C 36＝3
5，
P (X ＝2)＝C 22C 14C 36＝1
5.
∴X 的分布列为
(2)设“男生甲或女生乙被选中”为事件C ，则P (C )＝4C 36＝5，
∴P (C )＝1－P (C )＝1－15＝4
5.
(3)P (A )＝C 2
5C 6＝12，P (AB )＝C 1
4C 6＝1
5.
∴P (B |A )＝
P AB P A ＝2
5
.
20．(12分)甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中的环数与次数如下表：
(2)比较甲、乙两人射击水平的优劣．
解 (1)由题意及概率分布列的性质可知p ＝1－(0.2＋0.3＋0.1)＝0.4. 设甲、乙击中的环数分别为ξ1，ξ2，则P (ξ1＝8)＝
110＝0.1，P (ξ1＝9)＝2
10
＝0.2，P (ξ1＝10)＝4
10
＝0.4；
P (ξ2＝8)＝0.3，P (ξ2＝9)＝0.4，P (ξ2＝10)＝0.1.
所以甲、乙各打一枪击中18环的概率为
P ＝P (ξ1＝8)P (ξ2＝10)＋P (ξ1＝9)P (ξ2＝9)＋P (ξ1＝10) P (ξ2＝8)＝0.1×0.1＋0.2×0.4＋0.4×0.3＝0.21.
(2)甲的期望为：E (ξ1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4. 乙的期望为：E (ξ2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4.
甲的方差为：D (ξ1)＝(5－8.4)2
×0.1＋(6－8.4)2
×0.1＋(7－8.4)2
×0.1＋(8－8.4)2
×0.1＋(9－8.4)2
×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04.
乙的方差为：D (ξ2)＝(7－8.4)2
×0.2＋(8－8.4)2
×0.3＋(9－8.4)2
×0.4＋(10－8.4)2
×0.1＝0.84.
∵E (ξ1)＝E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)， ∴乙比甲技术好．
21．(12分)一个口袋内有n (n >3)个大小相同的球，其中3个红球和(n －3)个白球，已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率为p .
(1)当p ＝3
5时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数X 的均值E (X )；
(2)若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续四次取球(每次只取一个球)，在四次取球中恰好两次取到红球的概率大于8
27
，求p 与n 的值．
解 (1)由P ＝35＝3
n ，得n ＝5，
∴5个球中有3个红球，2个白球．
从袋中不放回的取3个球，其中取到白球的个数X 的取值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 3
3C 35＝1
10，
P (X ＝1)＝C 23C 1
2C 35＝35，P (X ＝2)＝C 13C 2
2C 35＝3
10
.
∴E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝65
.
(2)由题设知，C 24p 2(1－p )2>8
27
.
∵p (1－p )>0，∴不等式化为p (1－p )>2
9，
解得13<p <2
3，故2<6p <4.
又∵6p ∈N ，∴6p ＝3，p ＝1
2.
由3n ＝1
2
，得n ＝6. 22．(12分)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
(1)求直方图中x 的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望．
解(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋0.37＋0.39＋x＝1，解得x＝0.12.
(2)由题意知，X～B(3,0.1)，
因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C130.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C230.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C330.13＝0.001.
故随机变量X的分布列为
X。