一元二次方程优质课评语

一元二次方程优质课评语
一元二次方程求详细过程，每一步都要写下来，最好是一排一排写下来
你好
解：
X²+4X+4=0
（X+2）²=0
X+2=0
X=-2
X²-6X+9=1
（X-3）²=1
X-3=1解得X=4
或者X-3=-1解得X=2
X²+16X+64=4
（X+8）²=4
X+8=2解得X=-6
或者X+8=-2解得X=-10
很高兴为您解答，祝学习进步，本题有不理解的请追问
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谢谢
一元二次方程超难题
x²-kx+5（k-5）=0有两个正实数根
Δ=k^2-4*5(k-5)>=0
k^2-20k+100>=0
(k-10)^2>=0
因此看取任何值都可保证方程有两根
由韦达定理有：x1+x2=k
2x1+x2=x1+x1+x2=7
x1+k=7
x1=7-k
又x1是方程的根，因此：
x1^2-kx+5(k-5)=0
(7-k)^2-k(7-k)+5k-25=0
2k^2-16k+24=0
k^2-8k+12=0
k1=2,k2=6
一元二次方程的概念
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a≠0）1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解为x=m±n 例1．解方程（1）(3x+1)^2=7（2）9x^2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)^2=7∴(3x+1)^2=7∴3x+1=±7(注意不要丢解)∴x=.∴原方程的解为x1=.,x2=.（2）解：9x^2-24x+16=11∴(3x-4)^2=11∴3x-4=±11∴x=.∴原方程的解为x1=.,x2=.2．配方法：例1 用配方法解方程3x^2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x^2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-x+()^2=()^2 配方：(x-)^2=直接开平方得：x-=±x=∴原方程的解为x1=,x2=.3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c 的一般形式，然后把各项系数a,b,c的值代入求根公式就可得到方程的根。

当b^2-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]\/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]\/2a（两个不相等的实数根）当b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b\/2a（两个相等的实数根）当b^2-4ac时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]\/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]\/2a（两个虚数根）（初中理解为无实数根）例3．用公式法解方程2x^2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x=∴原方程的解为x1=,x2=.4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x^2+3x=0(3)6x^2+5x-50=0(选学）(4)x^2-4x+4=0（选学）(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得x^2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零)(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x^2+3x=0 x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)∴x1=0，x2=-3\/2是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=5\/2,x2=-10\/3 是原方程的解。

(4)解：x^2-4x+4=0（∵4 可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）(x-2)(x-2)=0∴x1=2,x2=2是原方程的解。

小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

50道较难的一元二次方程
一元二次方程测试题
说明本试卷满分100分，考试时间100分钟
一、填充题：（2’×11＝22’）
1、方程x2＝的根为。

2、方程（x+1）2－2（x－1）2=6x－5的一般形式是。

3、关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为。

4、已知二次三项式x2+2mx+4－m2是一个完全平方式，则m=。

5、已知+（b－1）2=0，当k为时，方程kx2+ax+b=0有两个不等的实数根。

6、关于x的方程mx2－2x+1=0只有一个实数根，则m=。

7、请写出一个根为1，另一个根满足－1的一元二次方程是。

8、关于x的方程x2－（2m2+m－6）x－m=0两根互为相反数，则m=。

9、已知一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的两根为x1,x2，且x1+x2=，则x1,x2=。

10某木材场原有木材存量为a立方米，已知木材每年以20%的增长率生长，到每年冬天砍伐的木材量为x立方米，则经过一年后木材存量为立方米，经过两年后，木材场木材存量为b立方米，试写出a,b,m之间的关系式：。

二、选择题：（3’×8＝24’）
11、关于x的方程（m+1）x2+2mx－3=0是一元二次方程，则m的取值是（）
A、任意实数
B、m≠1
C、m≠－1
D、m>－1
12、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（）
A、若x2=4，则x=2
B、若3x2=bx，则x=2
C、x2+x-k=0的一个根是1，则k=2
D、若分式的值为零，则x=2
13、方程（x+3）（x－3）=4的根的情况是（）
A、无实数根
B、有两个不相等的实数根
C、两根互为倒数
D、两根互为相反数
14、一元二次方程x2－3x－1=0与x2+4x+3=0的所有实数根的和等于（）。

A、－1
B、－4
C、4
D、3
15、已知方程（）2－5（）+6=0，设=y则可变为（）。

A、y2+5y+6=0
B、y2－5y+6=0
C、y2+5y－6=0
D、y2－5y －6=0
16、某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）
A、100(1+x)2=800
B、100+100×2x=800
C、100+100×3x=800
D、100[1+(1+x)+(1+x)2]=800
17、已知一元二次方程2x2-3x+3=0，则（）
A、两根之和为－1.5
B、两根之差为－1.5
C、两根之积为－1.5
D、无实数根
18、已知a2+a2－1=0，b2+b2－1=0且a≠b，则ab+a+b=（）
A、2
B、－2
C、－1
D、0
三、解下列方程：（5’×5＝25’）
19、（x－2）2－3＝0 20、2x2－5x＋1＝0（配方法）
21、x(8＋x)＝16 22、
23、（2x－3）2－2（2x－3）－3＝0
四、解答题。

24、已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝0的根。

求此三角形的周长。

（6’）
25、某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元，在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏加价4元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏，求每盏灯的进价。

（6’）
26、在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边C＝5，两直角边的长a，b 是关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－2＝0的两根，（1）求m的值（2）求△ABC的面积（3）求较小锐角的正弦值。

（8’）
27将一块长比宽形CM的长方形铁皮四角各剪去一个边长为4CM 的小正方行，做成一个无盖的盒子，已知盒子的体积是280的3次方，求原铁皮的边长各是多少
28 某军舰以20节的速度由西向东航行,一艘电子侦察
船以30节的速度由南向北航行,它能侦察出周围50
海里(包括50海里)范围内的目标.如图,当该军
舰行至A处时,电子侦察船正位于A处正南方向的B处,
且AB=90海里.如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方
向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军
舰如果能,最早何时能侦察到如果不能,请说明
理由.
29 两列火车分别行使在两条平行的轨道上，其中快车车长100米，慢车车长150米，当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口（快车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用的时间为5秒。

1）求两车的速度和以及两车相向而行时慢车驶过快车某个窗口所用的时间；2）如果两车同时同向而行，慢车的速度不低于8米\/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头，所需时间至少为多少秒
30 一组学生乘汽车去旅游，预计共需车费120元，后来多了2人，车费仍不变，这样每人可少摊3元，原来这组学生共有多少人
1.甲乙二人都以不变的速度在环行路上跑步,如果同时同地出发.相向而行.每隔2分相遇一次,如果同时相向而行,每隔6分相隅一次.以知甲比乙跑的快,甲乙每分各跑多少圈?
2.用一块A型钢板可制成2块C型钢板.一块D型钢板,用一块B型钢板可制成一块C型钢板,两快D型钢板.现需15块D型钢板.恰好用A型钢板,B型钢板各多少块?
试写出一个一元二次方程,使他的二次项系数为1,一个根为-1,另一个根为2
（x+1)(x-2)=0即是
展开得：x²-x-2=0
一元二次方程的各种情况。

da公式推倒：
ax^2+bx+c=0
ax^2+bx=-c
等式两边同时除a
x^2+(b\/a)x=-c\/a
把上式左边配方
x^2+(b\/a)x+(b\/2a)^2=-c\/a+(b\/2a)^2
(x+b\/2a)^2=(b^2-4ac)\/(4a^2)
把上式展开，即求根
x+b\/2a=±[根号(b^2-4ac)]\/2a
x=-b\/2a±[根号(b^2-4ac)]\/2a
x={-b±[根号(b^2-4ac)]}\/2a
就是这样了
2表示平方
一元二次方程组解法
总概括有以下几种解法（根据题目适当选用）
1因式分解法
2十字相乘法（可以算是配方后完整的式子）
3配方法（配一次项系数一半的平方使其可用十字相乘）
4公式法（公式法是通法适合任何一元二次方程组但相对麻烦）步骤：
1 移项将等号右边为0 使其化为一般式：aX^2+bX+c=0
2 将二次项系数化为1（除了式子可以直接用十字相乘法或你直接选用公式法）
3 再根据题目选取适当的解法
根据两式解出的根列出不等式
最后结合题目验根得出答案
一元二次方程的性质
1．一元二次方程的定义一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式
我们把(a≠0)叫做一元二次方程的一般形式，特别注意二次项系数一定不为0，b、c可以为任意实数，包括可以为0，即一元二次方程可以没有一次项，常数项．(a≠0)，(a≠0)，(a≠0)都为一元二次方程．3．一元二次方程的解法一元二次方程的解法有四种：(1)直接开平方法；(2)因式分解法；(3)配方法；(4)公式法．要根据方程的特点灵活选择方法，其中公式法是通法，可以解任何一个一元二次方程．4．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为．
0 方程有两个不相等的实数根．
0 方程有两个相等的实数根．
方程没有实数根．
上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．
5．一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．
6．解应用题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．
【解题思想】
1．转化思想
转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．
运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的
问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．
2．从特殊到一般的思想
从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．
3．分类讨论的思想一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．
【经典例题精讲】
1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．
3．一元二次方程(a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．
4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
怎样更好学习一元二次方程
多练，就可以了老师说过的
“一元二次方程”的历史资料
公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。

他们是这样描述的：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数。

他们使x1+x2=b，x1x2=1，x2-bx+1=0，再做出解答。

可见，古巴比伦人已知道一元二次方程的解法，但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。

古埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。

大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。

《九章算术》勾股章中的第二十题，是通过求相当于x2+34x-71000=0的正根而解决的。

中国数学家还在方程的研究中应用了内插法。

公元前300年左右，古希腊的欧几里得（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解二次方程。

古希腊的丢番图（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。

公元628年，印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《婆罗摩修正体系》，得到了一元二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。

公元820年， -的阿尔·花剌子模（al-Khwārizmi）（780～810）出版了《代数学》。

书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。

他把方程的未知数叫做“根”，后被译成拉丁文radix。

其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。

把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。

法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系。