2016年秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 一元二次方程根与系数的关系导学案 (新版)湘教版

一元二次方程根与系数的关系
【学习目标】
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系． 2．会用根与系数关系定理解决一些简单的问题． 3．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 【学习重点】
掌握一元二次方程的根与系数的关系． 【学习难点】
会运用根与系数的关系解决相关数学问题。

情景导入 生成问题 问题情境：
解下列方程，并填写表格：
关于x 的方程x 2
＋px ＋q ＝0(p 、q 为常数，p 2
－4q≥0)的两根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ． 自学互研 生成能力
知识模块一 探究一元二次方程根与系数的关系 阅读教材P 46“动脑筋”～P 47，完成下面的内容： (除了教材上的方法，你还有其他方法验证吗？)
尝试：关于x 的方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a≠0)，当b 2
－4ac≥0时，该方程的两根x 1，x 2，求方程的两根之和与两根之积．
解：由题意得x 1＝－b ＋b 2
－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2
－4ac
2a ，
由此可得x 1＋x 2＝－b ＋b 2
－4ac 2a ＋－b －b 2
－4ac 2a ＝－b
a ，
x 1x 2＝－b ＋b 2
－4ac 2a ×－b －b 2
－4ac 2a ＝b 2
－（b 2
－4ac ）4a 2
＝4ac 4a 2＝c
a . 师生合作探究、共同归纳出一元二次函数的根与系数的关系．
归纳：当b 2
－4ac≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：一元二次方程的两根之和等于一次项系数
与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比，即x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c
a .
(代入结论即可验证“问题情境”的猜想．) 知识模块二 一元二次方程根与系数的关系的应用 阅读教材P 47的例1、例2，完成下面的例题：
【例1】 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2
＋3x －1＝0的两个根的 (1)平方和；(2)倒数和．
解：设方程的两个根分别为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－1
2.
(1)∵(x 1＋x 2)2＝x 21＋2x 1x 2＋x 22.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝134.
(2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2
x 1x 2
＝3.
归纳总结：解决此类题，先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值最后将所求的式子适当地变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可．
【例2】 已知方程2x 2
＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．
解：设方程的另一根为x 1，则－3x 1＝－92，∴x 1＝32.∴x 1＋(－3)＝32＋(－3)＝－k 2，解得k ＝3.∴另一根为3
2
，k 的
值为3.
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 探究一元二次方程根与系数的关系 知识模块二 一元二次方程根与系数的关系的应用 检测反馈 达成目标
1．已知方程x 2
－2x －1＝0，则此方程( C )
A ．无实数根
B ．两根之和为－2
C ．两根之积为－1
D ．有一根为－1＋ 2
2．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝7，则(x 1－x 2)2
的值是( C )
A ．1
B ．12
C ．13
D ．25
设x 1，x 2是方程x 2
＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2
的值为( B )
A ．5
B ．－5
C ．1
D ．－1
若关于x 的方程x 2
－5x ＋k ＝0的一个根是0，则另一个根是__5__．
5．已知a ，b 是一元二次方程x 2
－2x －1＝0的两个实数根，则代数式(a －b)(a ＋b －2)＋ab 的值等于__－1__.
6．不解方程，判断下列方程是否有实数根．如果有实数根的话，求出方程的两根之和与两根之积． (1)4(x 2
－x)＋1＝0， 解：4x 2－4x ＋1＝0，
∵Δ＝b 2
－4ac ＝(4)2
－4×4×1＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝1
4
(2)(x ＋1)(x －1)＝22x.
解：整理得：x 2
－22x －1＝0，Δ＝b 2
－4ac ＝(－22)2
－4×1×(－1)＝12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．x 1＋x 2＝22，x 1·x 2＝－1 课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。