2020高考数学总复习 第八章 解析几何 课时作业50 抛物线 文(含解析)

课时作业50 抛物线
1．（2019·广东珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点,且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，｜PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( B )
A 。

7π12
B.错误!
C.错误!
D.错误!
解析：由抛物线y 2＝4x 知焦点F 的坐标为（1,0），准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义可知|PA ｜＝|PF ｜＝4，所以点P 的坐标为(3,2错误!)，因此点A 的坐标为(－1，2错误!），所以k AF ＝错误!＝－错误!,所以直线AF 的倾斜角等于错误!，故选B 。

2．(2019·湖北四地七校联考）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ,B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是（ D ）
A ．y 2＝4x
B ．y 2＝－4x
C ．y 2＝8x
D ．y 2＝－8x
解析:因为AB ⊥x 轴,且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦,且|AB ｜＝2p ，所以S △CAB ＝错误!×2p ×错误!＝24,解得p ＝4或－12（舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ,所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D.
3．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）,若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4错误!,则抛物线C的方程为( C ）
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝2y D．x2＝y
解析：由错误!得错误!或错误!
即两交点坐标为(0,0）和（4p,8p），
则错误!＝4错误!，得p＝1(舍去负值)，
故抛物线C的方程为x2＝2y.
4．（2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上,且｜MO｜＝|MF｜＝错误!(O为坐标原点），则错误!·错误!＝（ A )
A．－错误! B.错误!
C。

错误!D．－错误!
解析：不妨设M（m，错误!)（m＞0），
易知抛物线C的焦点F的坐标为错误!,
因为|MO｜＝｜MF｜＝错误!,
所以错误!解得m＝错误!，p＝2，
所以错误!＝错误!，错误!＝错误!，
所以错误!·错误!＝错误!－2＝－错误!。

故选A.
5．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B,C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，
则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ A )
A 。

｜BF ｜－1｜AF |－1
B.错误!
C.错误!
D.错误!
解析:过A ,B 点分别作y 轴的垂线,垂足分别为M ，N ，
则｜AM |＝｜AF ｜－1,|BN ｜＝|BF ｜－1。

可知错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，故选A 。

6．（2019·江西六校联考）已知抛物线C ：y 2＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 交于P ，Q 两点，且P ,Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝（ B ）
A ．8
B ．23
C ．4错误!
D ．8错误!
解析:法一：不妨设点P 在x 轴上方,
由抛物线定义可知|PF ｜＝｜PM |，|QF ｜＝|QN ｜，设直线PQ 的倾斜角为θ，
则tan θ＝3，∴θ＝错误!，
由抛物线焦点弦的性质可知，
｜PF ｜＝p 1－cos θ＝错误!＝2错误!，
｜QF |＝错误!＝错误!＝错误!，
所以｜MN ｜＝|PQ ｜·sin θ＝(|PF |＋|QF ｜)sin 错误!＝错误!×错误!＝4，
所以S △MFN ＝12
×|MN |×p ＝错误!×4×错误!＝2错误!，故选B 。

法二:由题意可得直线PQ :
y ＝错误!错误!＝错误!x －错误!,与抛物线方程y 2＝2错误!x 联立，得错误!2＝23x ，
即3x 2－53x ＋错误!＝0，
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2），则x 1＋x 2＝错误!，
∴｜PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝错误!＋错误!＝错误!，
所以｜MN ｜＝|PQ ｜sin 错误!＝4，
所以S △MNF ＝错误!×4×错误!＝2错误!，故选B 。

7．如图是抛物线形拱桥,当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面
宽4 m．当水面宽为2错误!m时，水位下降了1m.
解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0），把(2,－2）代入方程得p＝1，即抛物线的标准方程为x2＝－2y.将x＝6代入x2＝－2y得：y＝－3，又－3－（－2）＝－1，所以水面下降了1 m.
8．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a ＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C,F两点，则错误!＝1＋错误!.
解析：|OD｜＝错误!，｜DE|＝b，｜DC|＝a，|EF|＝b,故C错误!，F错误!,
又抛物线y2＝2px(p＞0）经过C、F两点，
从而有错误!
即错误!
∴b2＝a2＋2ab，∴错误!2－2·错误!－1＝0，
又错误!＞1，∴错误!＝1＋错误!。

9．已知抛物线C1：y＝ax2（a＞0)的焦点F也是椭圆C2：错误!＋错误!＝1（b＞0)的一个焦点，点M，P错误!分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|＋|MF|的最小值为2。

解析：将P错误!代入到错误!＋错误!＝1中，可得错误!＋错误!＝1，∴b ＝错误!，∴c＝1,∴抛物线的焦点F为（0,1),
∴抛物线C1的方程为x2＝4y，准线为直线y＝－1，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义可知|MF|＝｜MD｜，∴要求|MP|＋|MF｜的最小值，即求|MP|＋|MD｜的最小值,易知当D,M,P三点共线时，｜MP|＋｜MD|最小，最小值为1－(－1）＝2.
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k ＝－3,则线段PF的长为6.
解析：由抛物线方程为y2＝6x，所以焦点坐标F错误!，准线方程为x＝－错误!，
因为直线AF的斜率为－3，
所以直线AF的方程为y＝－错误!错误!,
当x＝－错误!时,y＝3错误!,
所以A错误!,
因为PA⊥l,A为垂足,所以点P的纵坐标为33，
可得点P的坐标为错误!,
根据抛物线的定义可知
|PF|＝｜PA|＝错误!－错误!＝6.
11．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
（1)y1y2＝－p2,x1x2＝错误!;
(2)错误!＋错误!为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为错误!。

由题意可设直线方程为x＝my＋错误!，代入y2＝2px，
得y2＝2p错误!，
即y2－2pmy－p2＝0。

（＊)
因为错误!在抛物线内部，
所以直线与抛物线必有两交点．
则y1，y2是方程(＊）的两个实数根，
所以y1y2＝－p2。

因为y错误!＝2px1，y错误!＝2px2，
所以y错误!y错误!＝4p2x1x2，
所以x1x2＝错误!＝错误!＝错误!.
(2）错误!＋错误!＝错误!＋错误!
＝错误!。

因为x1x2＝错误!，x1＋x2＝｜AB｜－p，代入上式，得错误!＋错误!＝
错误!＝错误!（定值)．
（3）设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，
分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C,D，过M作准线l的垂线,垂足为N，
则｜MN|＝1
2
（|AC｜＋|BD｜）
＝错误!（｜AF|＋|BF｜）＝错误!|AB｜.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．12．(2019·武汉调研）已知直线y＝k（x－2）与抛物线Γ：y2
＝1
2
x相交于A，B两点，M是线段AB的中点,过M作y轴的垂线交
Γ于点N.
（1)证明：抛物线Γ在点N处的切线与直线AB平行;
(2）是否存在实数k使错误!·错误!＝0？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：由错误!消去y并整理,得2k2x2－(8k2＋1）x＋8k2＝0。

设A（x1,y1),B（x2，y2），
则x1＋x2＝错误!，x1x2＝4，
∴x M＝错误!＝错误!，
y M＝k（x M－2）＝k错误!＝错误!.
由题设条件可知,y N＝y M＝错误!，x N＝2y错误!＝错误!，∴N错误!.
设抛物线Γ在点N处的切线l的方程为
y－错误!＝m错误!，
将x＝2y2代入上式,得2my2－y＋错误!－错误!＝0.
∵直线l与抛物线Γ相切，
∴Δ＝1－4×2m×错误!＝错误!＝0，
∴m＝k，即l∥AB.
(2)假设存在实数k，使错误!·错误!＝0,
则NA⊥NB。

∵M是AB的中点,∴｜MN｜＝错误!｜AB|。

由(1），得|AB|＝错误!|x1－x2｜
＝错误!·错误!
＝1＋k2·错误!
＝错误!·错误!。

∵MN⊥y轴，
∴|MN｜＝｜x M－x N|＝错误!－错误!＝错误!.
∴错误!＝错误!错误!·错误!，
解得k＝±错误!。

故存在k＝±错误!,使得错误!·错误!＝0。

13．(2019·福建六校联考）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A,B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF 的面积等于7，则抛物线E的方程为( C )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：由题意,得F错误!，直线AB的方程为y＝x－错误!,设A(x1，y1），B(x2，y2)，M（x0，y0),联立y＝x－错误!和y2＝2px得，y2－2py－p2＝0,则y1＋y2＝2p，所以y0＝错误!＝p，故N（0,p），又因为点M在直线AB上，所以x0＝错误!，即M错误!，因为MC⊥AB，所以k AB·k MC ＝－1，故k MC＝－1,从而直线MC的方程为y＝－x＋错误!p，令y＝0，得x＝错误!p，故C错误!，四边形CMNF的面积可以看作直角梯形CMNO 与直角三角形NOF的面积之差,
即S 四边形CMNF ＝S 梯形CMNO －S △NOF ＝12
错误!·p －错误!p ·错误!＝错误!p 2＝7，∴p 2＝4，又p ＞0，∴p ＝2，故抛物线E 的方程为y 2＝4x ,故选
C.
14．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB ＝120°,过AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ,则错误!的最大值为( A ）
A 。

错误!
B ．1 C.错误! D ．2
解析：过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，
由题意知｜MN |＝错误!（｜AA 1|＋｜BB 1｜)＝错误!(|AF ｜＋｜BF |)，
在△AFB 中，|AB ｜2＝｜AF ｜2＋|BF ｜2－2｜AF ||BF |·cos120°＝｜AF ｜2＋｜BF ｜2＋｜AF ｜｜BF |,
∴错误!2＝错误!·错误!
＝错误!错误!
＝错误!错误!
≤错误!×错误!＝错误!,
当且仅当|AF|＝|BF｜时取等号，
∴错误!的最大值为错误!。

15．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆（x－5)2＋y2＝r2（r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(2,4）．
解析:如图,设A(x1，y1），B（x2，y2）,M（x0，y0),
则错误!两式相减得,(y1＋y2)（y1－y2）＝4（x1－x2）．
当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条．
当k存在时,x1≠x2，
则有错误!·错误!＝2，
又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.
由CM⊥AB，得k·错误!＝－1,
即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3,
即M必在直线x＝3上．
将x＝3代入y2＝4x，
得y2＝12，则有－2错误!＜y0＜2错误!.
因为点M在圆上，所以（x0－5）2＋y2，0＝r2,
故r2＝y错误!＋4＜12＋4＝16.
又y2，0＋4＞4（为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，
所以4＜r2＜16,即2＜r＜4。

16．（2019·武汉调研）已知抛物线C：x2＝2py(p＞0）和定点M （0,1），设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点，抛物线C在A,B处的切线交点为N。

（1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值；
（2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解：(1)可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1），B(x2，y2），
将AB的方程代入抛物线C，得
x2－2pkx－2p＝0,显然方程有两个不等实根，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
又x2＝2py，得y′＝错误!，
则A，B处的切线斜率乘积为错误!＝－错误!＝－1,
则有p＝2。

（2）设切线AN为y＝错误!x＋b，
又切点A在抛物线y＝x2
2p上,
∴y1＝错误!，∴b＝错误!－错误!＝－错误!，
∴y AN＝错误!x－错误!。

同理y BN＝错误!x－错误!。

又∵N在y AN和y BN上，∴错误!
解得N错误!.
∴N(pk，－1）．
｜AB｜＝错误!｜x2－x1|＝错误!错误!,
点N到直线AB的距离d＝错误!＝错误!，S△ABN＝错误!·｜AB｜·d ＝错误!≥2错误!，
∴2错误!＝4，∴p＝2.
故抛物线C的方程为x2＝4y。