2025届黑龙江省示范性高中高考数学全真模拟密押卷含解析

2025届黑龙江省示范性高中高考数学全真模拟密押卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知[]2240a b a b +=⋅∈-，，
，则a 的取值范围是（ ） A ．[0，1]
B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
C ．[1，2]
D ．[0，2]
2．已知随机变量X 的分布列如下表：
其中a ，b ，0c >.若X 的方差()1
3
D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13
b ≤
B ．23
b ≤
C ．13b ≥
D ．2
3
b ≥
3．已知函数3(1),1
()ln ,1
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）
A ．
2211
11
a b <++ B C ．2a ab <
D ．(
)(
)
2
2
ln 1ln 1a b +>+
4．若双曲线22
214
x y a -= ）
A ．
B ．
C ．6
D ．8
5．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
6．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，则()f x 的最小值为( )
A ．212
+
B ．
12
C ．212
-
D ．214
-
7．已知复数21i
z i
=+，则z =（ ） A ．1i +
B ．1i -
C ．2
D ．2
8．函数y =2x sin2x 的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
9．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
10．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U
A B =∅”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知向量0,2a ，()
23,b x =，且a 与b 的夹角为
3
π
，则x =（ ） A ．-2
B ．2
C ．1
D ．-1
12．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知变量，满足约束条件
，则
的最小值为__________．
14．若22000,150x x a x ∃∈-+<R 为假，则实数a 的取值范围为__________.
15．设函数()()f x x R ∈ 满足()(),()(2)f x f x f x f x -==-,且当[0,1]x ∈时3()f x x =,又函数()|cos()|g x x x π=,则函数()()()h x g x f x =-在13
[,]22
-
上的零点个数为___________. 16．已知实数0a ≠，对任意x ∈R ，有()5
25
01251ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，且1240a a +=，则
0125a a a a +++⋅⋅⋅+=______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设函数()()ln ,x
f x x x ae p x kx =-=，其中,a R e ∈是自然对数的底数.
（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若()ln 1'(),(1)x x f x e ϕ=+-ϕ=，函数()x ϕ与函数()p x 的图象交于()()1122,,,A x y B x y ，且AB 线段的中点为()00,P x y ，证明：00()(1)x p y ϕ<<.
18．（12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b
+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x 轴上
方），斜率为()0k k <的直线交椭圆E 于,A B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交
y 轴于点D .
（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,
3b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求e 的值. （2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且2
k <，是否存在k 2AC =成立？如果存在，求出k 的值；
如果不存在，请说明理由.
19．（12分）已知公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，37
2
S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(21)2
n
n n a b -=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（12分）已知函数()()2x
f x x e ax =-+.
（Ⅰ）已知2x =是()f x 的一个极值点，求曲线()f x 在()()
0,0f 处的切线方程 （Ⅱ）讨论关于x 的方程()()ln f x a x a R =∈根的个数.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的的参数方程为4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为
2sin 4cos ρθθ=.
（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2
）过点)
P
作直线l 的垂线交曲线C 于,D E 两点(D 在x 轴上方)，求
11PD PE
-的值. 22．（10分）已知函数()e 2x f x m x m =--.
（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
设2m a b =+，可得[]2
240a b a m a ⋅=⋅-∈-，，
构造（14a m -）2≤22116m +，
结合2m =，可得113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
，，根据向量减法的模长不等式可得解. 【详解】
设2m a b =+，则2m =，
[]22240b m a a b a m a =-⋅=⋅-∈-，，，
∴（14a m -
）2212a a =-•2116m m +≤221
16
m + |m |2
m =2
＝4，所以可得：21
82
m =，
配方可得
222111192()428482
m a m m =≤-≤+=， 所以113422a m ⎡⎤-
∈⎢⎥⎣⎦
，， 又111
||||
||||||||444
a m a m a m -≤-≤+ 则a ∈[0，2]． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 2、D 【解析】
根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为2
1()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝
⎭,从而可以利用二
次函数的性质求出其最大值为1
13
b -≤,进而得出结论. 【详解】
由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+, 又1a b c ++=,
所以X 的方差()()()()2
2
2
11D X a c a a c b a c c =-+-+-++-
()()()22
2a c a b c a c a c =-++--++ ()2
a c a c =--++
()2
211a b b =--++-
2
1412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝
⎭,
因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12
b
a -=时,()D X 取最大值1
b -, 又()1
3D X ≤
对所有()0,1a b ∈-成立, 所以113b -≤,解得2
3
b ≥,
故选:D. 【点睛】
本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题. 3、B 【解析】
利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【详解】
∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >.
∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，
2211
11
a b =++，故A 错误； 对C ，当1,1a b ==-时，21,1a ab ==-，故C 错误；
对D ，当1,1a b ==-时，()()
22
ln 1ln 1a b +=+，故D 错误；
对B ，对a b >B 正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算
求解能力，属于基础题. 4、A 【解析】
依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】
解：∵双曲线22
214
x y a -=
所以2
24
13e a
=+
=，∴22a =，∴c =故选：A 【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 5、B 【解析】
根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】
解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；
∴f （x ）＝2x ﹣1；
∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ．
【点睛】
本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小． 6、C 【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值. 【详解】
由于()221cos 21cos 22cos sin 422x x f x x x ππ⎛
⎫-+ ⎪
+⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎝
⎭ cos 2sin 2122
x x
=+
+
124x π⎛
⎫=+
+ ⎪⎝
⎭，
故其最小值为：12
-. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题. 7、C 【解析】
根据复数模的性质即可求解. 【详解】
21i z i
=
+
, |2||1|i z i ∴=
==+, 故选：C 【点睛】
本题主要考查了复数模的性质，属于容易题. 8、D 【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π
(,π)2上的符号，即可判断选择.
详解：令()2sin 2x f x x =，
因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π
(,π)2
x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 9、A 【解析】
先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系. 【详解】
()2log 31,2a =∈，()422log 6log 61,log 3b ==∈，()0.150,1c -=∈，因此a b c >>，故选：A.
【点睛】
本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题. 10、C 【解析】
作出韦恩图，数形结合，即可得出结论. 【详解】
如图所示，⊆⇒⋂=∅U
A B A B ，
同时⋂=∅⇒⊆U
A B A B .
故选:C.
【点睛】
本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题. 11、B 【解析】
由题意cos 3
a b a b
π
⋅=
，代入解方程即可得解.
【详解】 由题意221cos
3
2
2a b a b
x π
⋅=
=
=，
所以0x >，且2x =2x =.
故选：B. 【点睛】
本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 12、B 【解析】
设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与CD 所成角判断④的正误． 【详解】
解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则11AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又11//BC BC ，
∴①不正确；
对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，1AD DC =1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；
对于③由②可知，在1ADC ∆中，DF =连结CF ，易知CF =而在Rt CBD ∆中，CD 222DF CF CD ∴+=， 即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确；
以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11AC 的直线为x 轴，11AC 所在的直线为
y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；
()
10,0,0A ， )1
B ，()10,2,0
C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， )
D
；
()10,2,2AC =-， (
)
3,1,1CD =
--；
异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||
AC CD AC CD θ==，故90θ=︒．④不正确．
故选：B ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-5
【解析】
画出，满足的可行域，当目标函数经过点时，最小，求解即可。

【详解】
画出，满足的可行域，由解得，当目标函数经过点时，取得最小值为-5.
【点睛】
本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。

需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。

-∞
14、(],4
【解析】
由2
00,50x x ∃∈-<R 为假，可知2,50x x ∀∈-≥R 为真，所以2a ≤
对任意实数x 恒
2
的最小值，令2min a ≤即可.
【详解】
因为200,50x x ∃∈-<R 为假，则其否定为真，
即2,50x x ∀∈-≥R 为真，所以2
a ≤
对任意实数x 恒成立，所以2min a ≤.
2
4=≥=
x =时，等号成立，所以4a ≤.
故答案为：(],4-∞. 【点睛】
本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题. 15、1 【解析】
判断函数()f x 为偶函数，周期为2，判断()g x 为偶函数，计算(0)0,(1)1f f ==，1
13(0)()()()0222
g g g g ==-==，画出函数图像，根据图像到答案. 【详解】
()()f x f x -=知，函数()f x 为偶函数，()(2)f x f x =-，函数关于1x =对称。

()(2)(2)f x f x f x =-=-，故函数()f x 为周期为2的周期函数，且(0)0,(1)1f f ==。

()|cos()|g x x x π=为偶函数，113
(0)()()()0222
g g g g ==-==，()11g =，
当10,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()cos()g x x x π=，()'()cos()sin g x x x x πππ=-，函数先增后减。

当13,22x ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
时，()cos()g x x x π=-，()'()sin cos()g x x x x πππ=-，函数先增后减。

在同一坐标系下作出两函数在13[,]22-上的图像，发现在13
[,]22
-内图像共有1个公共点， 则函数()h x 在13
[,]22
-
上的零点个数为1．
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，确定函数的奇偶性，对称性，周期性，画出函数图像是解题的关键. 16、-1 【解析】
由二项式定理及展开式系数的求法得1
1225
54()()0C a C a -+-=，又0a ≠，所以2a =，令1x =得：5012345(121)a a a a a a -⨯=+++++，所以0123451a a a a a a +++++=-，得解．
【详解】
由5250125(1)ax a a x a x a x -=+++⋯+，且1240a a +=，
则1
1225
54()()0C a C a -+-=， 又0a ≠， 所以2a =， 令1x =得：
5012345(121)a a a a a a -⨯=+++++，
所以0123451a a a a a a +++++=-， 故答案为：1-． 【点睛】
本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）1
0a e
<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】
（Ⅰ）依题意()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，等价于'()0f x =在()0,∞+有两个不等实根，由ln 1e 0x x a +-=参变分类可得ln 1
e x x a +=
，令ln 1()x
x g x e +=，利用导数研究()g x 的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；
（Ⅱ）由题解得1a =，()x
x e ϕ=，要证()()001x p y ϕ<<成立，只需证：122112
2
212
x x x x x x e e e e e
k x x +-+<=<-，即：
12
21122
212x x x x x e e e e e e
x x +-+<<-，只需证：212121221112x x x x x x e e x x e ----+<<-，设210t x x =->，即证：2112
t
t t e e e t -+<<，再分别证明2
1t
t e e t -<，11
2
t t e e t -+<
即可； 【详解】
解：（Ⅰ）由题意可知，0,'()ln 1x x f x x ae >=+-，
()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，等价于'()0f x =在()0,∞+有两个不等实根，
由ln 1e 0x x a +-=可得，ln 1
e x x a +=
，令ln 1()x
x g x e +=，
则()1
ln 1'()x
x x g x e -+=，令
1()ln 1h x x x
=--， 可得211
'()h x x x
=-
-，当0x >时，'()0h x <， 所以()h x 在()0,∞+上单调递减，且(1)0h = 当()0,1x ∈时，()0,'()0,()h x g x g x >>单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0,'()0,()h x g x g x <<单调递减； 所以1x =是()g x 的极大值也是最大值，max 11
()(1)g x g a e e
∴==∴<又当0,()x g x →→-∞，当,()x g x →+∞大于0趋向与0，
要使'()0f x =在()0,∞+有两个根，则1
0a e
<<， 所以a 的取值范围为10a e
<<
； （Ⅱ）由题解得1a =，()x
x e ϕ=，要证()()001x p y ϕ<<成立，
只需证：122112
2
212
x x x x x x e e e e e
k x x +-+<=<-
即：122112
2
212
x x x x x e e e e e e
x x +-+<<-， 只需证：2121212
21112
x x x x x x e e x x e
----+<<- 设210t x x =->，即证：2
11
2
t
t t e e e t -+<<
要证2
1
t
t e e t
-<，只需证：22t t e e t -->
令()1122
F t e e
t -=--，则()2
2
1'102t t
F t e e -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭
()F t ∴在()0,∞+上为增函数
()()00F t F ∴>=，即2
1
t
t e e t -<成立；
要证112t t e e t -+<，只需证明：112
t t e t e -<+
令()112t
t e t G t e -=
-+，则()()
()()
()()
2
222
2
41121'0212121t t t t
t t
t
e e e e G t e e e -+--=-==
<+++
()G t ∴在()0,∞+上为减函数，()()00G t G ∴<=，即11
2
t t e e t -+<
成立 2
11
,02
t
t t e e e t t -+∴<<>成立，所以()()001x p y ϕ<<成立.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式，属于难题; 18、（1）12
e =；（2）不存在，理由见解析 【解析】
（1）写出2,b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据AD AB ⊥，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率；
（2）写出直线AB 的方程，根据韦达定理求出点B 的坐标，计算出弦长AB ，根据垂直关系同理可得AC ，利用等
AB AC =即可得解. 【详解】
（1）由题可得2,b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D .
点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,
3b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， AB AC ⊥即AD AB ⊥，
1AD AB
k k =-，222
131
0b b b a a a a c c a
--⋅=---
化简得：22230c ac a -+=， 即22310e e -+=，解得1
2
e =或1e =（舍去）， 所以12
e =
； （2）椭圆E 的方程为2
212
x y +=，
由（1
）可得1,
,:22A AB y kx k ⎛=-+ ⎝⎭
，k <
联立2212
2x y y kx k +⎧=-+⎪⎪⎨=⎪⎪⎩得：(
)(
222
2212210k k x x k k +-+--=，
设B 的横坐标B x
，根据韦达定理1B x ⨯=，
即B x =
，k <，
所以1B A B ==-，
同理可得2
1212
1k AC k ⎫-+⎪⎝⎭==⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
+若存在k
AB AC =成立，
则
22
2
122
k
k k
+
=
++
，
20
k
+=，∆<0，此方程无解，
所以不存在k
AC
=成立.
【点睛】
此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.
19、（1）
2
1
2
n
n
a
-
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
（2）
1
1
6(23)
2
n
n
T n
-
⎛⎫
=-+⋅ ⎪
⎝⎭
【解析】
（1）判断公比q不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比q，进而得到所求通项公式；
（2）求得
1
(21)1
(21)
22
n
n
n
n a
b n
-
-⎛⎫
==-⋅ ⎪
⎝⎭
，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和.
【详解】
解：（1）设公比q为正数的等比数列{}n a的前n项和为n S，且12
a=，
3
7
2
S=，
可得1
q=时，
31
7
36
2
S a
==≠，不成立；
当1
q≠时，
()3
3
217
12
q
S
q
-
==
-
，即2
7
1
4
q q
++=，
解得
1
2
q=（
3
2
-舍去），
则
12
11
2
22
n n
n
a
--
⎛⎫⎛⎫
=⨯=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
；
（2）
1
(21)1
(21)
22
n
n
n
n a
b n
-
-⎛⎫
==-⋅ ⎪
⎝⎭
，
前n项和
0121
1111
135(21)
2222
n
n
T n
-
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅+⋅+⋅++-⋅
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
123
11111
135(21)
22222
n
n
T n
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅+⋅+⋅++-⋅
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
两式相减可得1231
1
1111112(21)222222n n
n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++++
+--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
111112212(21)1212n n n -⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⋅--⋅ ⎪
⎝⎭-，
化简可得1
16(23)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20、（Ⅰ）()
2
120e x y +-+=；（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）求函数的导数，利用x =2是f (x )的一个极值点，得f ' (2) =0建立方程求出a 的值，结合导数的几何意义进行求解即可；
（Ⅱ）利用参数法分离法得到()
()2ln x x e a h x x x
-==-，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可. 【详解】
（Ⅰ）因为()()2x
f x x e ax =-+，则()()'1x
f x x e a =-+，
因为2x =是()f x 的一个极值点，所以()'20f =，即()2
120e a -+=，
所以2a e =，
因为()02f =，()2
'01f e =+，
则直线方程为()221y e x -=+，即()
2
120e x y +-+=；
（Ⅱ）因为()ln f x a x =，所以()2ln 0x
x e a x ax -+-=，
所以()()2ln x
x e a x x -=--，设()()ln 0g x x x x =->，则()()1
'10g x x x
=
->， 所以()g x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数， 故()()110g x g <=-<，
所以()()2ln x
x e
a h x x x
-==
-，所以
()()()
2
21ln 1'ln x x e x x x x h x x ⎛⎫
-+
-- ⎪⎝⎭=
-， 设()2ln 1m x x x x =+
--，则()()()222'11
121x x x x x x
m =--=-+， 所以()m x 在()0,2上是减函数，()2,+∞上是增函数， 所以()()22ln 20m x m >=->，
所以当01x <<时，()'0h x <，函数()h x 在()0,1是减函数， 当1x >时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞是增函数， 因为01x <<时，()0h x <，()1h e =-，()20h =， 所以当a e <-时，方程无实数根，
当e a -<<0时，方程有两个不相等实数根， 当a e =-或0a ≥时，方程有1个实根. 【点睛】
本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题. 21、（1）32y x =-，24y x =；（2）1
2
【解析】
(1)利用代入法消去参数可得到直线l 的普通方程，利用公式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
可得到曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线DE
的参数方程为12x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，（t 为参数）
，
代入24y x =
得20t +-=，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果. 【详解】
（1）由题意得点A
的直角坐标为
)
，将点A
代入4x at y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
得1a t =⎧
⎪⎨
=⎪
⎩， 则直线l
的普通方程为2y =-.
由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =. 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =.
（2）设直线DE
的参数方程为12x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，（t 为参数），
代入24y x =
得20t +-=．
设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t
．则12t t +=-
12t t =-120,0t t ><.
121212*********
2
t t PD PE t t t t t t +∴
-=-=+==． 【点睛】
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相
应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222
tan x y y x
ρθ
⎧+=⎪
⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方
程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 22、（1）y x =-；（2）[2,)+∞ 【解析】
（1）1m =,对函数()y f x =求导,分别求出(0)f 和(0)f ',即可求出()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程;
（2）对()f x 求导,分2m ≥、02m <<和0m ≤三种情况讨论()f x 的单调性,再结合()0f x >在(0,)+∞上恒成立,可
求得m 的取值范围.
【详解】
（1）因为1m =,所以()e 21x f x x =--,所以()e 2x f x '=-,
则(0)0,(0)1f f '==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.
（2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2x f x m '=-,
①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增,
从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意;
②当02m <<时,令()0f x '<,解得20ln x m <<,即()f x 在20,ln m ⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减, 则2ln (0)0f f m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
,故02m <<不符合题意; ③当0m ≤时,0()e 2x f x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不符合题意.
综上,m 的取值范围为[2,)+∞.
【点睛】
本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题.。