山东省滨州市邹平县高一数学下学期期中试题(一二区)-人教版高一全册数学试题

某某省滨州市邹平县2016-2017学年高一数学下学期期中试题（一二区）（时间：120分钟，分值：150分）
一．选择题（每题5分，共60分）
1．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）
A．a3＞b3B ．＜C．a2＞b2D．0＜b﹣a＜1
2．不等式≤0的解集为（）
A．{x|≤x≤2} B．{x|x＞2或x≤} C．{x|≤x＜2} D．{x|x＜2}
3．在△ABC中，下列等式正确的是（）
A．a：b=∠A：∠B B．a：b=sinA：sinB
C．a：b=sinB：sinA D．asinA=bsinB
4．设变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）
A．0 B．3 C．D．7．
5．在△ABC中，a=b，A=120°，则B的大小为（）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．△ABC中，若C=30°，a=8，b=8，则S△ABC等于（）
A．32 B．12C．32或16D．16
7．在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）
A．第16项B．第24项C．第26项D．第28项
8．已知数列{a n}为等比数列，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1=（）
A．8 B．16 C．32 D ．64
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b（2sinB﹣sinA）+（2a﹣b）sinA=2csinC，
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则C=（）
A．B．C． D．
10．在等差数列{a n}中，已知a3=2，a6+a10=20，则数列{a n}的前10项和S10的值为（）
A．120 B．100 C．66 D．60
11．在等比数列{a n}中，设a2=3，a5=81，b n=log3a n，则数列{b n}的前n项和S n为（）A．B．C．D．
12．已知在数列{a n}中，a1=2，a n=2﹣（n≥2，n∈N*），设S n是数列{b n}的前n项和，b n=lga n，则S99的值是（）
A．2 B．3 C．5 D．4
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．不等式x（1﹣2x）＞0的解集为．
14．等差数列{a n}中，已知前15项的和S15=90，则a8等于．
15．数列{a n}的前n项和S n=3n2﹣2n，则它的通项公式是．
16．已知x＞0，当的值最小时x的值为．
三．解答题（共70分）
17．（10分）已知方程x2+bx+c=0的两实根为﹣1和3，
（1）求b与 c；
（2）解不等式：x2+bx+c＞0．
18．（12分）已知△ABC中，a=3，c=2，B=150°，求：
（1）边b的长；
（2）求△ABC的面积．
19．（12分）已知等差数列{a n}中，a1+a3=6，a4+a6=24．
（1）求通项a n；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
20．（12分）已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且b（3b﹣c）cosA=•．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为2，并且边AB上的中线CM的长为，求b，c的长．
21．（12分）航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时．飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420秒后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取，）．
22．（12分）已知单调递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S3=7．
（I）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2a n+1（n∈N*），数列{}的前n项和T n，求证T n＜．
(1，2区) 高一年级数学（普通班）试题答案
一．选择题（共12小题）
1．（2016秋•某某校级月考）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）
A．a3＞b3B．＜C．a2＞b2D．0＜b﹣a＜1
【分析】由0＜a＜b＜1，可得0＜b﹣a＜1．即可得出．
【解答】解：∵0＜a＜b＜1，
∴0＜b﹣a＜1．
故选：D．
2．（2017春•淄川区校级月考）不等式≤0的解集为（）
A．{x|≤x≤2} B．{x|x＞2或x≤} C．{x|≤x＜2} D．{x|x＜2}
【分析】根据题意，把不等式化为等价的不等式，求出解集即可．
【解答】解：不等式≤0等价于（3x﹣1）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0，
解得≤x＜2，
故选：C
3．（2017春•扶余县校级月考）在△ABC中，下列等式正确的是（）
A．a：b=∠A：∠B B．a：b=sinA：sinB
C．a：b=sinB：sinA D．asinA=bsinB
【分析】在三角形BAC中，由正弦定理可得 a：b=sinA：sinB，由此可得结论．
【解答】解：在三角形BAC中，由正弦定理可得 a：b=sinA：sinB，
故选B．
4．（2016春•魏都区校级月考）设变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．0 B．3 C．D．7．
【分析】作出不等式组表示的可行域，以及直线y=2x，平移通过目标函数z=2x﹣y的几何意义，即可得到所求最大值．
【解答】解：作出约束条件表示的可行域，
作出直线y=2x，平移直线，当过点A（3，﹣1）时，
2x﹣y取最大值7．
故选：D．
5．（2017春•石河子校级月考）在△ABC中，a=b，A=120°，则B的大小为（）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值可求sinB=，结合B的X围即可得解B的值．【解答】解：∵a=b，A=120°，
∴由正弦定理，可得：sinB=，
又∵B∈（0°，60°），
∴B=30°．
故选：A．
6．（2017春•辛集市校级月考）△ABC中，若C=30°，a=8，b=8，则S△ABC等于（）A．32B．12C．32或16D．16
【分析】利用三角形的面积公式S△ABC=absinC可求得答案．
【解答】解：△ABC中，∵C=30°，a=8，b=8，
∴S△ABC=absinC=×8×8×=16．
故选：D．
7．（2017春•扶余县校级月考）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项B．第24项C．第26项D．第28项
【分析】先求出数列的通项公式，a n=，由此能求出答案．
【解答】解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，
∴a n==，
∴=2=，
∴n=26，
故2是这个数列的第26项，
故选：C．
8．（2017春•双流县校级月考）已知数列{a n}为等比数列，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1=（）
A．8 B．16 C．32 D．64
【分析】由a2•a3=2a1，求出a4=2．由，求出，由此能求出a1的值．
【解答】解：由a2•a3=2a1，得，即a4=2．
又，
所以，故，
故a1===16．
故选：B．
9．（2017春•武侯区校级月考）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b（2sinB﹣sinA）+（2a﹣b）sinA=2csinC，则C=（）
A．B．C． D．
【分析】根据题意，由正弦定理可以将b（2sinB﹣sinA）+（2a﹣b）sinA=2csinC转化为b（2b﹣a）+（2a﹣b）a=2c2，变形可得：b2+a2﹣c2=ab，进而由余弦定理cosC=计算可得cosC的值，由C的X围即可得答案．
【解答】解：根据题意，由正弦定理==，
又由b（2sinB﹣sinA）+（2a﹣b）sinA=2csinC，
有b（2b﹣a）+（2a﹣b）a=2c2，
变形可得：b2+a2﹣c2=ab，
则cosC==，
则C=；
故选：B．
10．（2017春•五华区校级月考）在等差数列{a n}中，已知a3=2，a6+a10=20，则数列{a n}的前10项和S10的值为（）
A．120 B．100 C．66 D．60
【分析】依题意，求出a8=10，再利用等差数列前n项和公式能求出数列{a n}的前10项和S10的值．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a3=2，a6+a10=20，
∴依题意，有a6+a10=2a8，∴a8=10，
∴．
故选：D．
11．（2017春•南明区校级月考）在等比数列{a n}中，设a2=3，a5=81，b n=log3a n，则数列{b n}的前n 项和S n为（）
A．B．C．D．
【分析】利用已知条件可求出等比数列{a n}的通项公式，进而可知数列{b n}的通项公式，利用求和公
式计算即得结论．
【解答】解：设{a n}的公比为q，依题意得
解得因此，，
∴b n=log3a n=n﹣1，
所以数列{b n}的前n项和，
故选：A．
12．（2016秋•某某校级月考）已知在数列{a n}中，a1=2，a n=2﹣（n≥2，n∈N*），设S n是数列{b n}的前n项和，b n=lga n，则S99的值是（）
A．2 B．3 C．5 D．4
【分析】利用两边取倒数将递推公式化简变形为：=1，利用等差数列的定义和通项公式可得a n，代入b n=lga n利用对数的运算性质化简，利用“裂项相消法”求出S n，即可得到答案．【解答】解：∵a n=2﹣（n≥2，n∈N*），
∴a n﹣1=1﹣=（n≥2，n∈N*），
两边取倒数得，==+1，
∴=1
∴数列{}是等差数列，且首项为1、公差为1，
则=1+n﹣1=n，解得a n=，
∴b n=lga n═lg（n+1）﹣lgn，
∴S n=（lg2﹣lg1）+（lg3﹣lg2）+…+[（lgn﹣lg（n﹣1）]+[lg（n+1）﹣lgn）
=lg（n+1）﹣lg1=lg（n+1），
∴S99=lg100=2．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．（2016秋•某某校级月考）不等式x（1﹣2x）＞0的解集为{x|0} ．
【分析】利用二次不等式求解即可．
【解答】解：不等式x（1﹣2x）＞0，即x（x﹣）＜0，解得0．
不等式x（1﹣2x）＞0的解集为：{x|0}．
故答案为：{x|0}．
14．（2017春•奉新县校级月考）等差数列{a n}中，已知前15项的和S15=90，则a8等于 6 ．
【分析】由=90，能求出a8．
【解答】解：∵等差数列{a n}中，前15项的和S15=90，
∴=90，
解得a8=6．
故答案为：6．
15．（2016秋•曲阜市校级月考）数列{a n}的前n项和S n=3n2﹣2n，则它的通项公式是a n=6n﹣5 ．【分析】由给出的数列的前n项和公式，分n=1和n≥2分类求解，然后验证n≥时的通项公式是否满足a1即可．
【解答】解：由数列{a n}的前n项和S n=3n2﹣2n，
当n=1时，；
当n≥2时，=6n﹣5．
当n=1时a n=6n﹣5成立．
∴数列{a n}的通项公式是a n=6n﹣5．
故答案为：a n=6n﹣5．
16．（2017春•淄川区校级月考）已知x＞0，当的值最小时x的值为9 ．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：x＞0，≥=18，当且仅当x=9时取等号．
故答案为：9．
三．解答题（共6小题）
17．（2016秋•开福区校级月考）已知方程x2+bx+c=0的两实根为﹣1和3，
（1）求b与 c；
（2）解不等式：x2+bx+c＞0．
【分析】（1）由题意，利用根与系数的关系即可求出b、c的值；
（2）把b、c的值代入不等式，解一元二次不等式即可．
【解答】解：（1）由方程x2+bx+c=0的两实根为﹣1和3，
利用根与系数的关系得
，
解得b=﹣2，c=﹣3；
（2）b=﹣2，c=﹣3时，原不等式为x2﹣2x﹣3＞0，
即（x+1）（x﹣3）＞0，
解得x＜﹣1或x＞3；
所以不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
18．（2017春•枣阳市校级月考）已知△ABC中，a=3，c=2，B=150°，求：（1）边b的长；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）由已知利用余弦定理即可计算得解；
（2）由已知利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）∵a=3，c=2，B=150°，
∴由余弦定理可得：b2=（3）2+22﹣2×cos150°=49，
∴可得：b=7；
（2）∵a=3，c=2，B=150°，
∴．
19．（2014春•开县校级月考）已知等差数列{a n}中，a1+a3=6，a4+a6=24．
（1）求通项a n；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
【分析】由已知条件，利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出等差数列的通项公式和前n项和．
【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1+a3=6，a4+a6=24，
∴，解得a1=0，d=3，
∴a n=3n﹣3．
（2）∵a1=0，d=3，
∴=．
20．（2017春•某某月考）已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且b（3b﹣c）cosA=•．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为2，并且边AB上的中线CM的长为，求b，c的长．
【分析】（1）运用向量的数量积的定义，以及正弦定理和诱导公式，化简即可得到cosA；
（2）由三角形的面积公式，以及余弦定理，解关于b，c的方程，即可得到．
【解答】解：（1）b（3b﹣c）cosA=•即为
b（3b﹣c）cosA=bacosC，
即有3bcosA=ccosA+acosC，
由正弦定理可得，
3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，
即有cosA=；
（2）由cosA=，可得sinA==，
则三角形的面积S=bcsinA=2，
即bc=6，
在△ACM中，CM2=b2+﹣2b cosA，
即为=b2+﹣2，即b2+=，
解得b=2，c=3．或b=，c=4．
21．（2016秋•肃南裕县校级月考）航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时．飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420秒后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取，）．
【分析】先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，可求CD=BCsin∠CBD，即可求得山顶的海拔高度．
【解答】（本题满分为12分）
解：如图∵∠A=15°，∠DBC=45°，
∴∠ACB=30°，…（2分）
（m），…（4分）
∴在△ABC中，，
∴，…（8分）
∵CD⊥AD．
∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin45°==
=7350，…（10分）
山顶的海拔高度=10000﹣7350=2650（米）=2.65千米…（12分）
22．（2013秋•五华区校级月考）已知单调递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S3=7．（I）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2a n+1（n∈N*），数列{}的前n项和T n，求证T n＜．
【分析】（I）设首项为a1，公比为q，根据等比数列的通项公式和求和公式联立方程求得a1和为q，进而可得数列的通项公式．
（Ⅱ）把（I）中求得的a n代入到中，进而利用裂项法求得数列{}的前n项之和T n，即可证明结论．
【解答】（I）解：设首项为a1，公比为q，
由条件可得a1q=2，a1+a1q+a1q2=7
∵q＞1，
∴q=2，a1=1，∴a n=a1q n﹣1=2n﹣1；
（Ⅱ）证明：∵b n=log2a n+1=log22n=n，
∴==﹣
∴T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣＜1＜．。