常微分方程与差分方程

高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
例 1 求( x2 ), 2 ( x2 ), 3 ( x2 ).
解 设y x 2，则
第4页
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1
2 yx 2( x2 ) (2x 1)
3 yx zx yx1zx zxyx yxzx zx1yx
4

yx zx

zxyx yxzx zx zx1

zx1yx yx1zx zx zx1
可参照导数的四则运算法则学习
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第18页
例 8 确定下列方程的阶 (1) yx3 x 2 yx1 3 yx 2
(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
(2)是六阶差分方程.
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx f x 2
f x 0
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第24页
1.n阶齐次线性差分方程解的结构
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx 0 1
第十章 常微分方程与差分方程
第9页
证明（3）
yx zx
yx1 zx1 yx zx
yx1 zx1 yx zx1 yx zx1 yx zx
yx1 yx zx1 yx zx1 zx
z x1Δ y x y xΔ z x
( x 1) ( x n 1)x( x 1)( x n 2)
nx(n1) （公式）
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第8页
2.差分的四则运算法则
(1)(Cyx ) Cyx (C为常数) (2)( yx zx ) yx zx
y x1Δ z x z xΔ y x
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第11页
例5 设y x 3，求Δ3 y x .
分 析
y x3
x( x 1)(x 2) 3x( x 1) x
x3 3x2 x1
借助公式 x(n) nx(n1) 和差分的运算法则可求
例4 设y x(n) x( x 1)(x 2)( x n 1), x(0) 1，求Δ y x (即Δ( x(n) )).
解 yx ( x 1)(n) x(n) ( x 1)x( x 1)( x 1 n 1) x( x 1) ( x n 2)( x n 1)
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第15页
定义：
含 有 未 知 函 数 两 个 或 两个 以 上 时 期 的 符 号 yx , yx1 ,的方程，称为差分方程.
形式：F ( x, yx , yx1,, yxn ) 0 或G( x, yx , yx1,, yxn ) 0 (n 1)
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
解 3 yx (yx )
(x(3) 3x(2) x(1) ) [3 x(2) 6 x(1) x(0) ]
[3x(2) 6x(1) 1]
6x(1) 6x(0) 6.
第20页
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件.
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
例9 yx ,U x , Z x分 别 是 下 列 差分 方 程 的解
A.2yx yx x
B. 3yx 3 yx a x
C .2 yx yx2 2 yx1 yx
D. yx 2 yx1 3 yx2 4
解 由差分方程的定义有：A, D是差分方程.
B的 左 端
3yx

3( yx1

yx )

3 yx1

3
loga ( x 1) loga x
1

loga (1
); x
(2)Δ y x sina( x 1) sinax 2cos a( x 1 ) sin a . 22
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第6页
例3 求y x! 的一阶差分，二阶差分.
e2 1 e2 x e2x e2 1 2 .
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第14页
10.6.2 差分方程的基本概念
1.差分方程与差分方程的阶
定义
含有未知函数的差分Δ yx ,Δ2 yx ,的函数方程 称 为 差 分 方 程.
形式：F ( x, yx , yx , 2 yx ,, n yx ) 0
Vx 是所给差分方程的解.
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第23页
10.6.3 线性差分方程解的结构
n阶齐次线性差分方程的标准形式
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx 0 1
n阶非齐次线性差分方程的标准形式
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第10页
又证明3）
yx zx
yx1 zx1 yx zx
yx1 zx1 yx1 zx yx1 zx yx zx
yx1 zx1 zx yx1 yx zx
由于该方程可以化为 yx3 3 yx2 3 yx1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t x 1，即可写成 yt2 3 yt1 3 yt 1 0.
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第17页
例 7 下列等式是差分方程的有( ).
2( x 1) 1 (2x 1) 2
3 yx 3 ( x2 ) 2 2 0
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第5页
例 2 求下列函数的差分
(1)y loga x;
(2)y sinax
解 (1)yx yx1 yx
注：设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间I 内的n
个函数．如果存在n 个不全为零的常数，
使得当x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0
那么称这些函数在区间内线性相关； 否则称线性无关.
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
定理 6 如果函数 y1( x), y2 ( x), ， y k ( x ) 是
方程(1)的 k 个解,那末 y C1 y1 C2 y2 Ck yk 也 是(1)的解.（ C1, C2，，Ck 是任意常数）
问题: 若k n，则 y C1 y1 C2 y2 Ck yk 一定是通解吗？
解 yx yx1 yx
( x 1)! x!
x x!
2 yx yx x x! x 1 x 1! x x!
x 2 x 1 x!
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第7页
Δ2 y x Δ(Δ y x ) Δ( y x1 y x ) ( yx2 yx1 ) ( yx1 yx ) y x2 2 y x1 y x
同 样 可 定 义 三 阶 、 四 阶差 分 ： 3 yx (2 yx ),4 yx (3 yx )
将之简记为
y0，y1，y2，，y x，y x1 ,
称 函 数 的 改 变 量y x1

y
为
x
函
数y的
差
分
，
也 称 为 一 阶 差 分 ， 记 为Δ y x y x1 y x .
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第3页
函 数y f ( x)的 二 阶 差 分 为 函 数y的 一 阶 差 分 的 差 分,即
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第19页
2.差分方程的解
如果函数y φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第25页
定理 7：如果 y1 ( x), y2 ( x)，，yn ( x) 是方程(1)
的 n 个线性无关的特解, 那么
y C1 y1 C2 y2 Cn yn 就是方程(1)的通解. （ C1, C2，，Cn 是任意常数）
第22页
证明 由题设知：yx1 ayx f1( x) U x1 aU x f2 ( x) Z x1 aZ x f3 ( x)
Vx1 aVx yx1 ayx U x1 aU x Z x1 aZ x f1(x) f2(x) f3(x)
yx1 ayx f1( x), yx1 ayx f2( x),
yx1 ayx f3( x)
求证Vx

yx
Ux

Z
是差分方程
x
yx1 ayx f1( x) f2 ( x) f3 ( x)的解.
第21页
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第十章 常微分方程与差分方程
第1页
10.6 差分方程
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第2页
10.6.1 差分的概念及性质
1.差分的定义
设 函 数y f ( x).当x取 非 负 整 数 时 ，
函 数 值 可 以 排 成 一 个 数列 :
f (0)，f (1)，，f ( x)，f ( x 1)，
y
，
x
则 等 式 实 为 3 yx1 a x， 仅 含 一 个 时 期 的 函 数
值y
x
，
1
故
不
是
差
分
方
程.而C的
左
端2
y
x

( yx1

yx)
y x 1
yx

yx2
2 yx1

y
，
x
恰 好 等 于 右 端 ， 故 不 是差 分 方 程.
嘉兴学院
17 June 2019
第12页
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第13页
例6 设y e 2 x，求Δ2 y x .
解 yx yx1 yx e2x1 e2x
e2x e2 1 ;
2 yx yx e2 x e2 1
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第16页
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。
如yx5 4 yx3 3 yx2 2 0是三阶差分方程；
3 yx yx 1 0，虽然含有三阶差分， 但 实 际 上 是 二 阶 差 分 方程 ，