41不定积分的概念与性质

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定理 2
原函数都在函数族 证: 1) 即 ( C 为任意常数 ) 内 .
又知
故 [( x) F ( x)]
( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0
( x) F ( x) C0 (C0 为某个常数 ) 即 ( x) F ( x) C0 属于函数族 F ( x) C . 2019/3/5
第四章 不定积分
（Indefinite Integrals）
微分法: F ( x) ( ? )
积分法: ( ? ) f ( x)
互逆运算
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主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
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不定积分的概念与性质 换元积分法 分部积分法 几种特殊类型函数的积分 积分表的使用
i 1 i i
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例3
求
x x [( 2 e ) 5 2 )dx
解: 原式 =
(2e) x 2x C 5 ln(2e) ln 2
x e 5 x 2 C ln 2 1 ln 2
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例4
求
2 (sec x 1)dx 解: 原式 =
2
第四章
第一节 不定积分的概念与性质
（Conceptions and properties of Indefinite Integrals）
一、原函数与不定积分的概念
二、基本积分表
三、不定积分的性质 四、小结与思考题
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一、原函数与不定积分的概念
(Primitive Function and the Indefinite Integral) 定义 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 则称 F (x) 为f (x)
在区间 I 上的一个原函数 .
例如, 的原函数有 cos t ,
cos t 3,
问 题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
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定理1（原函数存在定理） 存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C x x e d x e C
sh xdx ch x C
ch xdx sh x C
e e sh x 2
x x
x a C (13) a x dx ln a
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内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 2. 直接积分法:
积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 利用恒等变形、 分项积分
常用恒等变形方法
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加项减项
利用三角公式 、代数公式 等
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思考与练习
1. 若
2 x f (ln x) d x
1 2 x C 2
x
提示:
e e
ln x
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2. 若
是 e x 的原函数 , 则

f (ln x) d x x
x f ( x) e
提示: 由
有 f ( x ) e x C0
1 f (ln x) C0 x f (ln x) 1 C0 2 x x x
求A,B. 解: 等式两边对 x 求导, 得
x
2
1 x2
A 1 x Biblioteka 2Ax22
1 x2

B 1 x2
( A B) 2 Ax 1 x2
A B 0 故 2 A 1
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A 1 2 1 B 2
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(6) (7 )
(8)
cos xdx sin x C sin xdx cos x C dx 2 sec cos 2 x xdx tan x C
10
dx (9) 2 csc 2 xdx cot x C sin x
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(10) (11) (12)
2 x x 1dx, x 1, x C1 , x 1 2 解： f ( x)dx 2 (2 x )d x , x 1 x x 1, C2 , 又因为 f ( x) 的原函数在 R 上可导，从而必连续，所以
x2 1 2 lim x C1 lim x C2 C1 C2 , x 1 2 2 x 1 x2 x C , x 1, 记 C1 C ，则 2 f ( x)dx 2 1 x C , x 1. 2019/3/5 2
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3. 若
是( B ).
的导函数为
则
的一个原函数
( A) 1 sin x ; (C ) 1 cos x ;
提示: 已知 求 即
( B) 1 sin x ; ( D) 1 cos x .
f ( x) sin x ( ? ) f ( x) ( ? ) sin x
(14)
(15)
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e x e x ch x 2
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例1
求
解: 原式 =
x
4 3
3x
例2 求
1 3
3 x dx 4 C 3 1
4 1
C
解: 原式=

1 sin x dx 2
1 cos x C 2
12
x x 2 x 或： 原式=2 sin dsin sin C 2 2 2 2019/3/5
1 2 2 sec x csc x (3) 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x
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5. 求不定积分
解：
(e2 x e x 1)
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6. 已知

x
2
1 x2
dx A x 1 x B
2
dx 1 x2
sec 2 xdx dx tan x x C
例5
求
(1 x 2 ) x 解: 原式 = dx 2 x (1 x )
1 1 dx dx 2 1 x x
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ln x arctan x C
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x 1, x 1, 例 6 * 设 f ( x) 求 f ( x) d x . 2 x, x 1,
三、不定积分的性质
(Properties of the Indefinite Integral)
1.
k f ( x) dx k f ( x)dx (k 0) 2. [ f ( x) g ( x)] dx f ( x)dx g ( x) d x
则
n
推论: 若
f ( x)dx k f ( x)dx
或由题意 f ( x) cos x C1 , 其原函数为
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f ( x) d x sin x C1x C2
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4. 求下列积分:
提示:
(1)
1 1 2 2 2 x (1 x ) x (1 x 2 )
1 1 2 x 1 x2
( x 4 1) 1 ( x 2 1)( x 2 1) 1 x 2 1 1 2 (2) 1 x 2 2 1 x 1 x
故
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定义 2
在区间 I 上的原函数全体称为 其中 — 被积函数; — 被积表达式.
上的不定积分, 记作
— 积分号;
— 积分变量; 若 则
( C 为任意常数 ) 例如,
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e dx e C 2 1 x3 C x d x 3 sin xdx cos x C
(2)
x dx
1 x 1 1
C
( 1)
dx (3) ln x C x
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x 0时 1 ( ln x ) [ ln( x) ] x
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dx (4) arctan x C 或 arc cot x C 2 1 x dx (5) arcsin x C 或 arc cos x C 1 x2
x
x
C 称为积分常数 不可丢 !
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不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
f ( x) dx 的图形
y
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o
x0
x
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由不定积分定义可知: d (1) f ( x) 或 d dx 或

f ( x ) dx
利用逆向思维 二、 基本积分表 ( k 为常数) (1) k dx k x C