2.2.3一元二次不等式的解法(2课时)高一数学同步精讲课件(人教B版2019必修第一册)

两边开平方得| + 1| < 6,
从而− 6 < + 1 < 6
解得− 6 − 1 < < 6 − 1
所以原不等式的解集为
(− 6 − 1, 6 − 1).
（2）原不等式可化为
2 − 8 + 1 ≥ 0
因为 2 − 8 + 1 = ( − 4)2 −15.
所以原不等式可化为
( − 4)2 −15 ≥ 0,
(1 , 2 )
不等式( − 1 )( − 2 ) > 0的解集是
口诀：小于号取中间，
(−∞, 1 ) ∪ (��2 , +∞)
大于号取两边
练一练：1.不等式( − 2)( − 3) < 0的解集是
(2,3) .
2.不等式( − 2) > 0的解集是 (−∞, 0) ∪ (2, +∞) .
（1）原不等式可化为( − )( − 2 ) > 0.
两根大小
2
2
2
③由
>

得
令( − )( − ) = 0 ，得1 = , 2 = .
0<<1
①当 < 0或 > 1时， < 2 ,不等式解集为(−∞, ) ∪ ( 2 , +∞)
②当0 < < 1时， > 2 ,不等式解集为(−∞, 2 ) ∪ (, +∞)；
探究点1 一元二次不等式的定义
思考1：在上述情境中，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到
它们车速的取值范围，你能列出不等式解决这个问题吗？
1
1
1
1
2
2
【解析】甲： v − v > 6 ,乙： v − v > 10
100
10
200
20
即 2 − 10 − 600 > 0和 2 − 10 − 2000 > 0
方程( − )[ − ( + 1)] = 0的解为
1 = , 2 = + 1.
因为 < + 1
所以不等式解集为(, + 1).
探究点3 简单分式不等式的解法
例3
2+1
求不等式
−2
≥ 1的解集 .
【解析】
（方法一）由题意知 − 2 ≠ 0.因此( − 2)2 > 0,
3.不等式( + 1)( − 2) < 0的解集是
(−1,2)
.
例1.求不等式 2 − − 2 > 0的解集.
【解析】因为 2 − − 2 = ( + 1)( − 2).
所以不等式等价于( + 1)( − 2) > 0,
因此，所求解集为(−∞, −1) ∪ (2, +∞).
解集；当 > 0时，两边开根号转化为绝对值不等式.
例2.求下列不等式的解集：
（1） 2 + 4 + 1 ≥ 0;
（2） 2 − 6 − 1 ≤ 0；
（3）− 2 + 2 − 1 < 0；（4）2 2 + 4 + 5 > 0.
【解析】
（1）因为 2 + 4 + 1 = 2 + 4 + 4 − 4 + 1 = ( + 2)2 −3.
可化为
( + 40)( − 50) > 0,
解得 < −40（舍去）或 > 50
因此乙车的车速略大于50km/h.
上述一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解.这种方
法只能在不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么
办呢？
思考：下列不等式的解集是什么？
（1） 2 < −1；（2） 2 > −2；（3） 2 < 9.
<0
或
−1>0
−1<0
解得 > 1或 < 0,
因此,不等式的解集为(−∞, 0) ∪ (1, +∞).
> 0 ⟺ , 同号
>
⟺
或
>
<0
<0
思考2：一元二次不等式( + 1)( − 1) < 0如何解？
【解析】不等式可化为两个不等式组
+1<0
+1>0
或
−1>0
可以是
“<”“≥”或“≤”.
探究点1 一元二次不等式的解法
思考1：对于一元二次不等式( − 1) > 0,
1
（1）集合 = −2， − 1，0， ，1，2，3 中哪些数是不等式的解？
（2）如何解这个不等式？
2
【解析】（1）−2, −1,2,3是不等式的解；
（2）不等式可化为两个不等式组
>0
应的二次方程无根;
(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集.
特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,
则可立即写出不等式的解集.
例2 解关于的不等式： 2 − ( 2 + ) + 3 > 0.
①由 < 2 得
<0
【解析】
>1
需要比较
②由 = 2 得
= 0或 = 1
y>0
-2
,
不等式 2 − − 6 < 0的解集为
﹛|-2<<3﹜
= 2 − − 6
.
O
3
y<0
一元二次不等式解集表（ > ）
∆= −
二次函数
= + + ( > )
的图象
一元二次方程
+ + = ;
③当 = 0时，解集为{|∈R，且≠0}；
④当 = 1时，解集为{|∈R，且≠1}．
探究点2：含参数的一元二次不等式的解法
跟踪训练： 解关于的不等式： 2 − (2 + 1) + 2 + < 0.
【解析】
（1）原不等式可化为( − )[ − ( + 1)] < 0.
又因为 2 − 2 + 1 = ( − 1)2 .
所以原不等式可化为( − 1)2 > 0,解得 ≠ 1,
所以原不等式的解集为(−∞, 1) ∪ (1, +∞).
5
2
（4）原不等式可化为 2 + 2 + > 0
3
2
+ 2
= ( + 1) + .
2
2 3
所以原不等式可化为( + 1) +
（或< 0）
ℎ)2 >
( −

（或< k）
解法
解集为(−∞, 1 ) ∪ (2 , +∞)
或(1 , 2 )
k > 0时,
转化为| − ℎ| >
或| − ℎ| <
2.2.3一元二次不等式的解法（2）
函数 = 2 − 2 − 3是我们初中
学过的一元二次函数，它与一元二次
−1<0
解得−1 < < 1,
因此,不等式的解集为(−1,1).
< 0 ⟺ , 异号
>
⟺
或
<
<0
>0
追问：根据上述问题你能说出一元二次不等式( − 1 )( − 2 ) < 0
（或> 0）的解集吗？
【总结】
一般地，如果1 < 2 ,则不等式( − 1 )( − 2 ) < 0的解集是
不等式 2 − 2 − 3 > 0有什么样的关
系呢？这节课我们一起研究一下吧.
1.掌握一元二次不等式的解法及分式不等式的解
法.(重点）
2.能用分类讨论的思想方法分析解决含参数的一
元二次不等式问题.(重点）
3.掌握不等式中恒成立问题，感悟分类讨论的数
学思想.（难点）
探究点1 一元二次不等式的解法
【解析】因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，
因此,（1）解集为∅；（2）解集为;
（3）x 2 < 9两边同时开根号可得 2 < 9,
即|| < 3,解得−3 < < 3,因此，解集为(−3,3).
配方法：一元二次不等式 2 + + > 0( ≠ 0)通过配方可以
转化为( − ℎ)2 > 或( − ℎ)2 < 的形式.当 < 0时，直接得到
的解集
y
0
无实根
R
∅
x
例1.解不等式（1）−2 2 + 4 − 3 > 0；（2）2 2 + − 3 ≥ 0.
【解析】
（1）原不等式可化为2 2 − 4 + 3 < 0.
∆= (−4)2 −4 × 2 × 3 = −8 < 0.
所以不等式解集为∅.
（2）原不等式可化为(2 + 3)( − 1) ≥ 0
∆=
y
x1
0
∆<
y
x2
x
有两个不等实根
, ( < )
0
x1(x2) x
有两个相
等实根
=
一元二次不等式
﹛| ≠ ﹜
+ + > （ > ） ﹛| < 或
> ﹜
的解集
一元二次不等式
∅
+ + < （ > ）﹛| < < ﹜
超过10m。已知甲、乙两种车型的刹车距离m与车速km/h
之问的关系分别为
1
1
1
1
2
2
甲 =
− ,乙 =
−
100
10
200
20
试判断甲、乙两车有无超速现象.
1.通过实例了解一元二次不等式.
2.理解一元二次方程、一元二次不等式与相应二次函数的
关系.（难点）
3.掌握简单一元二次不等式的解法.（重点）
即( − 4)2 ≥ 15,所以| − 4| ≥ 15
所以 − 4 ≤ − 15或 − 4 ≥ 15
解得 ≤ 4 − 15或 ≥ 4 + 15
所以原不等式的解集为
(−∞, 4 − 15) ∪ (4 + 15, +∞).
方法
因式分解法
配方法
不等式类型
( − 1 )( − 2 )>0
一元二次不等式的一
般形式可通过因式分
解进行等价转化.
跟踪训练：求问题情景中不等式的解集.
【解析】 2 − 10 − 600 > 0可化为
( + 20)( − 30) > 0,
解得 < −20（舍去）或 > 30
因此甲车的车速略大于30km/h.
【解析】 2 − 10 − 2000 > 0
所以原不等式可化为( + 2)2 −3 ≥ 0,即( + 2)2 ≥ 3，
两边开平方得| + 2| ≥ 3,从而 + 2 ≤ − 3或 + 2 ≥ 3,
解得 ≤ −2 − 3或 ≥ −2 + 3,
所以原不等式的解集为(−∞, −2 − 3] ∪ [−2 + 3, +∞).
（2）因为 2 − 6 − 1 = 2 − 6 + 9 − 9 − 1 = ( − 3)2 −10.
3
令(2 + 3)( − 1) = 0 ，得1 = − , 2 = 1.
3
所以不等式解集为(−∞, − ]
2
2
∪ [1, +∞).
【提升总结】解一元二次不等式的一般步骤
(1)化为标准形式（不等号右侧为0，二次项系数为正）;
(2)确定判别式Δ的符号;
(3)若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根,若Δ<0，则对
思考2：这两个不等式有什么共同点？
【解析】有两个共同点
（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数为2.
一元二次不等式定义：
一般地,形如
2 + + > 0
的不等式称为一元二次不等式.其中,,是常数,而且 ≠ 0.
思考：如何解一元二次不等式呢？
一元二次不等式的一般
表达形式中，不等号也
3
x
y
= −2或3
(2)当取 ______________
时, = 0；
<-2 或 >3
当取______________
时, > 0；
当取______________
时, < 0.
-2<<3
y>0
（3）由图像写出
不等式 2 − − 6 > 0 的解集为
﹛|<-2或>3﹜
作二次函数 = 2 − − 6的图象,它的对应值表与图象如下：
y
x
y
-3
6
-2
0
-1
-4
0
-6
1
-6
2
-4
3
0
4
6
0
-2
思考：(1)图象与轴交点的坐标为____________,
(-2,0)、(3,0)
该坐标与方程 2 − − 6 = 0的解有什么关系：
交点的横坐标即为方程的根
.
-6
2.2.3一元二次不等式的解法（1）
汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一
段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”刹车距离
是分析交通事故的一个重要依据.
在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向
而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场
勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略
所以原不等式可化为( − 3)2 −10 ≤ 0,即( − 3)2 ≤ 10，
两边开平方得| − 3| ≤ 10,从而− 10 ≤ − 3 ≤ 10,
解得3 − 10 ≤ ≤ 3 + 10,
所以原不等式的解集为[3 − 10, 3 + 10].
（3）原不等式可化为 2 − 2 + 1 > 0
2
3
即( + 1)2 > − ,
2
因为 2
5
+
2
所以原不等式的解集为.
> 0,
跟踪训练.求下列不等式的解集：
（1） 2 + 2 − 5 < 0;
（2）− 2 + 8 − 1 ≤ 0.
【解析】
（1） 2 + 2 − 5 = ( + 1)2 −6.
所以原不等式可化为
( + 1)2 −6 < 0,即( + 1)2 < 6，