基于核心素养下的高一数学复习课——由一道习题引起的“分段函数”问题浅探

基于核心素养下的高一数学复习课
由一道习题引起的 分段函数 问题浅探
王晓丹
(江苏省梁丰高级中学ꎬ江苏苏州２１５６００)
摘㊀要:文章立足于核心素养的视角ꎬ以 分段函数 为例ꎬ对高一数学复习课教学进行了分析ꎬ关注学生的关键能力与必备品质的形成.
关键词:核心素养ꎻ高一数学ꎻ复习课ꎻ分段函数
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００３５－０３
收稿日期:２０２３－０８－０５
作者简介:王晓丹(１９８５.１１－)ꎬ女ꎬ江苏省苏州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.
㊀㊀刚从初中升上高中的学生普遍不能立刻适应ꎬ
都觉得高一数学难学ꎬ数学成绩出现严重滑坡ꎬ渐渐地他们认为数学神秘莫测ꎬ从而产生畏惧心理ꎬ动摇了学好数学的信心ꎬ甚至失去了学习数学的兴趣.如何根据学生现有的认知水平ꎬ帮助学生尽快适应高中数学教学特点和学习特点ꎬ跨过 高台阶 ꎬ成为了高一数学教师的首要任务[１].本文以 分段函数 为例ꎬ对高一数学复习课教学进行分析ꎬ以发展学生的数学核心素养.
１分段函数的定义
对于自变量的不同取值范围ꎬ函数有着不同的对应法则ꎬ这样的函数通常叫做分段函数.其表达形式可表示为:ｆ(ｘ)＝ｇ１
(ｘ)ꎬｘɪＤ１ꎬｇ２(ｘ)ꎬｘɪＤ２ꎬｇ３(ｘ)ꎬｘɪＤ３
ｇｎ(ｘ)ꎬｘɪＤｎꎬìîíïïïï
ï
ïïꎬ其中ｆ(ｘ)的定
义域是ＤꎬＤ＝Ｄ１ɣＤ２ɣＤ３ɣ ɣＤｎꎬ且ＤｉɘＤｊ＝∅ꎬ(ｉꎬｊɪ１ꎬ２ꎬ ꎬｎ{}且ｉʂｊ).同时ꎬ我们应该注意
以下两点:
(１)分段函数是一个函数ꎬ而不能误认为它是几个函数ꎻ
(２)分段函数的定义域是各段函数自变量范围
的并集ꎬ值域也是各段函数中ｙ取值范围的并集.
２解决分段函数的两种思想
２.１分类讨论ꎬ面面俱到
引例㊀已知函数ｆ(ｘ)＝
ｘ２－４ｘ＋６ꎬｘɤ０ꎬ－ｘ＋６ꎬｘ>０ꎬ
{
若
ｆ(ｘ)<ｆ(－１)ꎬ则实数ｘ的取值范围是
.
解析㊀因为ｆ(－１)＝１１ꎬ所以
ｘɤ０ꎬ
ｘ２
－４ｘ＋６<１１ꎬ
{
所以ｘɪ(－１ꎬ０]ꎻ或
ｘ>０ꎬ
－ｘ＋６<１１ꎬ{
所以ｘ>０ꎬ
ｘ>－５ꎬ
{
所以ｘɪ(０ꎬ＋¥).
综上ꎬｘ的取值范围是(－１ꎬ＋¥).
点评㊀解方程㊁不等式或求取值范围时ꎬ应该根据自变量的分段范围把分段函数问题转化为不同区间上的方程㊁不等式(组)求解ꎬ然后再取这些方程㊁不等式(组)解集的并集.
变式１㊀
已知实数ａʂ０ꎬ函数ｆ(ｘ)＝
５３
２ｘ＋ａꎬｘ<１ꎬ－ｘ－２ａꎬｘȡ１ꎬ
{
若ｆ(１－ａ)＝ｆ(１＋ａ)ꎬ则ａ的值
.
此题中出现１－ａꎬ１＋ａꎬ需要同时讨论它们与１的关系ꎬ这让很多同学在思考的时候感觉瞻前就不能顾后ꎬ没法下手ꎬ大多数同学都是简单思考一下就直接放弃.但我们分析讨论后不难发现:若１－ａ<１ꎬ即ａ>０ꎬ即１＋ａ>１ꎻ若１－ａ>１ꎬ即ａ<０ꎬ即１＋ａ<１ꎬ也就是说１－ａꎬ１＋ａ刚好分别符合分段函数的两段ꎬ那么也就不难
求
解
ａ>０ꎬ
－(１＋ａ)－２ａ＝２(１－ａ)＋ａ
{
或
ａ<０ꎬ
－(１－ａ)－２ａ＝２(１＋ａ)＋ａꎬ
{
所以ａ＝－
３４
.２.２数形结合ꎬ化繁为简
分段函数虽然分段ꎬ但是当遇到常规思路进行
处理难以奏效或计算冗繁的时候ꎬ通过分析分段函数的数量及图形特征ꎬ可以尝试从整体着眼ꎬ跳过常规解题步骤ꎬ寻求解决问题的方法ꎬ这是分段函数考查的一个重要方面[２].
变式２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝
ｘ２＋１ꎬｘȡ０ꎬ
１ꎬｘ<０ꎬ
{
则满足不等式ｆ(１－ｘ２)>ｆ(２ｘ)的ｘ的取值范围
.
解析㊀一般地ꎬ应该将１－ｘ２ꎬ２ｘ与０相互之间
进行比较ꎬ以确定ｆ(１－ｘ２)ꎬｆ(２ｘ)的解析式ꎬ通过分类讨论求解ꎬ但是这样求解较为烦琐.我们注意到该函数在Ｒ上不严格单调递增ꎬ于是由ｆ(１－ｘ２)>ｆ(２ｘ)ꎬ可得
１－ｘ２>２ｘꎬ１－ｘ２
>０ꎬ
{
解得ｘɪ(－１ꎬ２－１)
３分段函数的几类问题
３.１分段函数奇偶性相关问题
变式３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝
－ｘ２－４ｘꎬｘȡ０ꎬ
ｘ２－４ｘꎬｘ<０ꎬ
{
若
ｆ(ａ－２)＋ｆ(ａ)>０ꎬ则实数ａ的取值范围是
.
在思考本题时ꎬ学生很容易作出函数的图象ꎬ但对于ｆ(ａ－２)＋ｆ(ａ)>０的处理会出现困难ꎬ尝试得到ｆ(ａ－２)>－ｆ(ａ)ꎬ观察所作图象及奇函数定义可以判断出函数ｆ(ｘ)为奇函数ꎬ那么式子可以变形得到ｆ(ａ－２)>ｆ(－ａ)ꎬ结合图象得到ｆ(ｘ)在Ｒ上单调递减ꎬ所以ａ－２<－ａꎬ解得ａ<１.
变式
４㊀
已知函数
ｆ(ｘ)
＝
ａｘ２－２ｘ－１ꎬｘȡ０ꎬｘ２
＋ｂｘ＋ｃꎬｘ<０
{
是偶函数ꎬ若方程ｆ(ｘ)－ｔ＝０
有四个不同的实数解ꎬ则实数ｔ的取值范围是.
分析㊀本题有两个难点需要突破ꎬ首先要求解出ａꎬｂꎬｃ的值ꎬ可以利用分段函数的奇偶性:当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)＝ａｘ２－２ｘ－１ꎬ则－ｘ<０ꎬｆ(－ｘ)＝(－ｘ)２＋ｂ(－ｘ)＋ｃ＝ｘ２－ｂｘ＋ｃ＝ａｘ２－２ｘ－１.利用待定系数法ꎬ我们很快能得到ａ＝１ꎬｂ＝２ꎬｃ＝－１.
第二个难点是学生对于解的个数的理解ꎬ方程的解可以转换为两个函数图象ｙ＝ｆ(ｘ)和ｙ＝ｔ的交点问题ꎬ结合偶函数图象ꎬ得到实数ｔ的取值范围是(－２ꎬ－１).
３.２分段函数单调性问题
变式５㊀已知ｆ(ｘ)＝(３－ａ)ｘ－４ａꎬｘ<１ꎬ
ｘ２＋(ａ＋２)ｘ－３ꎬｘȡ１
{
在
Ｒ上为增函数ꎬ则实数ａ的范围是
.
提示学生结合所学增函数的定义ꎬ得出结论:Ｒ上增函数需要保证在分段函数的每一段中都要单调递增ꎬ当然仅考虑这两点是不够的ꎬ我们可以结合典型函数ｙ＝
１
ｘ
ꎬ在(－¥ꎬ０)和(０ꎬ＋¥)都是单调递减的ꎬ但是在整个定义域上不是单调递减的.结合分段函数图象ꎬ引导学生挖掘条件ꎬ需要注意到:大于１的时候函数取到最小值ꎬ小于１的时候 最大值 ｆ(１)是取不到的ꎬ是开区间ꎬ对两段需要整体考虑ꎬ结合图象ꎬ此时还需满足１２＋(ａ＋２) １－３ȡ(３－ａ) １－４ａꎬ等号的取得是此题的难点ꎬ让学生感受到图象的连续性
在此题中的关键之处ꎬ从而提炼出方法
３－ａ>０ꎬ－ａ＋２２ɤ１ꎬ
１２＋(ａ＋２) １－３ȡ(３－ａ) １－４ａꎬìî
íï
ïï
ï解得ｘɪ[１
２ꎬ３).变式６㊀已知ｆ(ｘ)＝(２ａ－１)ｘ＋２ꎬ
ａ＋２
ｘ
ꎬ{
ｘɤ２ꎬｘ>２ꎬ
对
６３
于任意ｘ１ʂｘ２ꎬｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)
ｘ１－ｘ２
<０ꎬ则ａ的取值范围
是
.分析㊀
讨论可以得出类似上面的结论:
２ａ－１<０ꎬａ＋２>０ꎬ(２ａ－１) ２＋２ȡａ＋２
２ꎬìî
í
ïïïï解得ａɪ[２７ꎬ１
２)ꎬ也就是说ꎬ函数是Ｒ上的减函数ꎬ在考虑图象连续性的基础上可以得到类似于Ｒ上增函数的分段函数的结论ꎬ也方便学生对于这种类型的理解和记忆ꎬ从而达到降低错误率.
３.３绝对值函数的单调性问题
对于函数解析式中带有绝对值的问题ꎬ我们该怎样来求它的单调区间和最值呢?
绝对值函数问题初看上去不是一个分段函数ꎬ但根据绝对值意义分类讨论后ꎬ去掉绝对值ꎬ其本质仍然是分段函数问题.
变式７㊀已知函数ｆ(ｘ)＝｜ｘ｜(ｘ－ａ)(ａ<０)ꎬ求ｆ(ｘ)的单调区间.
分析㊀该题转化为:ｆ(ｘ)＝
ｘ２
－ａｘꎬ
－ｘ２＋ａｘꎬ{
ｘȡ０ꎬ
ｘ<０ꎬ
ｘȡ０时ꎬ方程两根为ｘ＝０ꎬｘ＝ａ(ａ<０)ꎬ由于０和ａ
的大小关系是明确的ꎬ那么我们结合分段函数图象可以得到ｆ(ｘ)在[０ꎬ＋ɕ)单调递增ꎻｘ<０时ꎬ方程两根为ｘ＝０ꎬｘ＝ａ(ａ<０)ꎬ由图象得到ｆ(ｘ)在(－ɕꎬａ２)上单调递增ꎬ在[ａ
２
ꎬ０)上单调递减.
变式８㊀设函数ｆ(ｘ)＝－ｘ２＋ａ｜ｘ－１｜ꎬ若
ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递减ꎬ求实数ａ的取值范围.㊀
分析㊀已知单调区间求取值范围问题ꎬ也能够通过对分段函数的研究得出ｆ(ｘ)＝
－ｘ２＋ａｘ－ａꎬ－ｘ２－ａｘ＋ａꎬ{
ｘȡ１ꎬｘ<１ꎬ
分析题意可以得到ꎬ在[１ꎬ＋¥)和(０ꎬ１)上都是单调递减ꎬ结合图象得到ａ２
ɤ１ꎬ
－ａ２ɤ０.ìî
íïïïï解得ａɪ[０ꎬ２]
４绝对值函数的最值问题
变式９㊀已知函数ｆ(ｘ)＝｜ｘ－ａ｜－９
ｘ
＋ａꎬｘɪ[１ꎬ６]ꎬａɪ(１ꎬ６)ꎬ求函数ｆ(ｘ)的最大值.
分析㊀因为１<ａ<６ꎬ所以ｆ(ｘ)＝２ａ－(ｘ＋９ｘ)ꎬ１ɤｘɤａꎬｘ－９ｘꎬａ<ｘɤ６ꎬìî
í
ïï
ïï(１)当１<ａɤ３时ꎬｆ(ｘ)在[１ꎬａ]上单调递增ꎬ在[ａꎬ６]上也是单调递增ꎬ所以当ｘ＝６时ꎬｆ(ｘ)ｍａｘ＝
９
２
.(２)当３<ａ<６时ꎬｆ(ｘ)在[１ꎬ３]上单调递增ꎬ
在[３ꎬａ]上单调递减ꎬ在[ａꎬ６]上单调递增ꎬｆ(３)＝２ａ－６ꎬｆ(６)＝
９２ꎬ当３<ａɤ２１４时ꎬ２ａ－６ɤ９
２
ꎬ当ｘ＝６时ꎬｆ(ｘ)取得最大值为
９２ꎻ当２１
４
ɤａ<６时ꎬ２ａ－６>９
２
ꎬ当ｘ＝３时ꎬｆ(ｘ)取得最大值为２ａ－６.综上ꎬｆ(ｘ)ｍａｘ
＝９２
ꎬ１<ａɤ２１４ꎬ
２ａ－６ꎬ２１４<ａɤ６.ìî
í
ïïïï罗增儒教授曾把解题总结为 条件预示可知并启发解题手段ꎬ结论预告须知并诱导解题方向 .我们一线教师的根本任务就是帮助学生把一个个具体知识理解到位ꎬ并能用于解决实际问题.这要求我们在日常教学中ꎬ要思考和贯彻新理念方法ꎬ从不同层面帮助学生进一步加深对分段函数的理解并灵活应用ꎬ从而在数学知识的教学中寻找发展学生数学核心素养的途径.
参考文献:
[１]胡方杰.基于直观想象的数学核心素养的解题
策略:例谈三棱锥外接球问题[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０２０(１３):３７－４０.[２]袁玉兵.核心素养下高中数学复习课创新实践
与思考[Ｊ].高考ꎬ２０２３(０８):２９－３１.
[责任编辑:李㊀璟]
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