山东省滨州市博兴县第一中学19年-20年学年高一上学期期中数学试题

高一模拟选课调考数学
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题，每小题4分，共48分.1-9单项题；10-12多项题，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分.
1.已知集合{}{}14,23A x N x B x x =∈-≤≤=-≤≤，则A
B =（ ） A. []1,3-
B. []2,4-
C. {}0,1,2,3
D. {}1,2,3 【答案】C
【解析】
【分析】
先化简集合A ，再求A B 得解.
【详解】因为{}0,1,2,3,4A =，所以{}0,1,2,3A
B =.
故选C 【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2.命题“2
0,11x x ∀≥-≥-”的否定是（ ） A. 20,11x x ∀≥-<-
B. 2
0,11x x ∀<-<- C. 20,1x x ∃≥-<-1
D. 20,11x x ∃<-<- 【答案】C
【解析】
【分析】
利用全称命题否定解答即得解. 【详解】所给命题为全称量词命题，故其否定为存在量词命题，同时要否定结论，
所以所给命题的否定为2
0,1x x ∃≥-<-1.
故选C
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
3.
已知函数20()1,0x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫+<⎪ ⎪⎝
⎭⎩，则()()3f f ＝（ ） A. 14
B. 4
C. 254
D. 1009 【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式代入求函数值即可.
【详解】(3)2f ==-，
2525((3))(2)24f f f ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭
， 故选：C
【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式，求函数值，属于容易题.
4.函数
y =的定义域为( )
A. {|1x x <-或4}x >
B. {}|14x x -<<
C. {}|41x x -<<
D. {}1|4x x -≤≤ 【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式分母不为零、非负数有偶次方根得到不等式，解不等式即可.
【详解】由题意可知：()2
251034014x x x x x +-->⇒--<⇒-<<.
故选：B
【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了一元二次不等式的解法，考查了数学运算能力.
5.已知某停车场的收费标准：停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车时间超过3小时，每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应
交的停车费为( )
A. 16元
B. 17元
C. 18元
D. 20元 【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可知：汽车在该停车场停了7小时20分钟，应该按8小时计算，这样求解即可.
【详解】由已知可知：车主应交的停车费为5(83)320+-⨯=.
故选：D
【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了分段函数的定义，属于基础题.
6.“04a <<”是“关于x 的方程210ax ax ++=无实根”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】
由“关于x 的方程210ax ax ++=无实根”得04a ≤<，根据{|04}a a <<是{|04}a a ≤<的真子集得解.
【详解】当0a =时，所给方程无实数根；
当0a ≠时，若所给方程无实数根，则有240a a ∆=-<，解得04a <<.
所以当210ax ax ++=无实数根时，则有04a ≤<.
因为{|04}a a <<是{|04}a a ≤<的真子集，
所以“04a <<”是“关于x 的方程210ax ax ++=无实根”的充分不必要条件.
故选A
【点睛】本题主要考查二次型方程的根的判断，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7.函数()221
x f x x =+的图象大致为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数的定义域和奇偶性，再判断()221x f x x =
+和()1g x =大小关系，最后判断出图象一致形状. 【详解】()221
x f x x =+的定义域为全体实数集，()222()2()()11x x f x f x x x --==-=--++，所以该函数是全体实数集上的奇函数，故排除C,D ；设()1g x =，则有
2
222(1)()()10()()11
x x g x f x g x f x x x --=-=≥⇒≥++，当且仅当1x =时，取等号，故函数有最大值为1，排除选项A.
故选：B
【点睛】本题考查了函数图象，考查了函数奇偶性的判断，考查了函数的最值，属于基础题.
8.若函数()f x 满足3(2)2x f x x ++=
+，则()f x 在[1)∞，＋上的值域为（ ） A. [2)∞，＋ B. (12]， C. (2]∞－， D. 4(0,3⎤
⎥⎦
【答案】B
【解析】
【分析】 根据3(2)2
x f x x ++=
+，利用配凑法求出函数()f x 解析式，求值域即可. 【详解】因为21(2)2
x f x x +++=+， 所以11()1x f x x x +==+.
因为1x ，
所以1()2f x <≤.
函数值域为(1
2]，， 故选：B
【点睛】本题主要考查了求函数解析式，函数的值域，属于容易题.
9.己知函数(1)y f x ＝＋
的定义域是[12]－，，则函数()y f x ＝－的定义域为（ ） A. []3,0-
B. [1,2]-
C. [0,3]
D. [2,1]-
【答案】A
【解析】
【分析】 由函数(1)y f x ＝＋
的定义域是[12]－，可求出013x +，令x －代替1x +，可得03x -，即可求出()y f x ＝－的定义域.
【详解】因为函数(1)y f x ＝＋
的定义域是[12]－， 由12x -，得013x +，
所以()y f x =的定义域是[0,3]，
由03x -
得30x -≤≤.
所以()y f x =-的定义域为[3,0]-.故选：A
【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域，属于中档题 .
10.（多选题）下列判断错误的是( ) A. 1x x +的最小值为2 B. {菱形}{矩形}={正方形}
C. 方程组1,3y x y x =-⎧⎨=-⎩
的解集为{}2,1 D. 如果0a b <<，那么22
11a b < 【答案】AC
【解析】
【分析】
A ：通过举特例进行判断即可；
B ：利用菱形、矩形、正方形的概念，结合集合交集的定义进行判断即可；
C ：根据方程组的解集进行判断即可；
D ：利用做差比较法进行判断即可
【详解】A ：当1x =-时，代数式的值为2-，而2-比2小，故本判断是不正确的；
B ：菱形是四边相等的平行四边形，矩形是四个内角相等的平行四边形，正方形是四边相等、四个内角相等的平行四边形，因此由交集的定义可知：{菱形}{矩形}={正方形}这个判断是正确的；
C ：方程组1,3y x y x =-⎧⎨=-⎩的解是为：21x y =⎧⎨=⎩
，因此用集合表示为{}(2,1)不是{}2,1，所以该判断是不正确的； D ：222222222222
11)()11110(0a a a a b a a b b a b b b b a b a b -==--+<-⇒<<∴<，所以该判断是正确的； 故选：AC
【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了代数式的最值判断、集合元素的属性特征，考查了做差比较法，属于基础题.
11.（多选题）下列命题为真命题的是( )
A. x R ∀∈，210x x ++>
B. 当0ac >时，x R ∃∈，20ax bx c +-=
C. 幂函数的图象都通过点()1,1
D. “23x -<<”是“(
)()222||4230x x x x -+--<”的充要条件
【答案】ABC
【解析】
【分析】 A ：利用配方法进行判断即可；
B ：利用根的判别式进行判断即可；
C ：根据幂函数的性质进行判断即可；
D ：求解不等式的解集，然后根据充要条件的定义进行判断即可.
【详解】A ：22131()024
x x x ++=++>∴故该命题是真命题； B ：当0ac >时，所以0a ≠，因此一元二次方程20ax bx c +-=的根的判别式为：
240b ac ∆=+>，所以方程有实根，故该命题是真命题；
C ：幂函数的解析式为y x α=，当1x =时，1y =，所以幂函数的图象都通过点()1,1，故该命题是真命题；
D ：()()()()222222||4230(||1)3230230x x x x x x x x x -+--<⇔-+--<⇔--<
13x ⇔-<<，
显然当13x 成立时，一定能推出23x -<<，但由23x -<<不一定能推出13x ，故该命题是假命题.
故选：ABC
【点睛】本题考查命题的真假判断，考查了充要条件的判断，考查了全称命题，属于基础题.
12.已知函数22,0(),0x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩
,若关于x 的方程(())0f f x =有8个不同的实根，则a 的值可能为（ ）.
A. -6
B. 8
C. 9
D. 12
【答案】CD
【解析】
【分析】
分a 的不同进行讨论再数形结合分析即可.
【详解】当0a ≤时, ()0f x =仅0x =一根,故(())0f f x =有8个不同的实根不可能成立.
当0a >时, 画出图象,当(())0f f x =时, 1()2f x a =-,2()0f x =,3()f x a =
又(())0f f x =有8个不同的实根,故1()2f x a =-有三根,且22224a a y x ax x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭. 故2
284
a a a ->-⇒>.又2()0f x =有三根, 3()f x a =有两根,且满足20a a a <⇒>. 综上可知,8a >.
故选：CD
【点睛】本题主要考查了数形结合以及分类讨论求解的方法,需要根据题意将复合函数零点(())0f f x =分步讨论,属于中等题型.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.） 13.用“∈”“∉”“⊆”“⊇”5Q ，[]0,2______[]1,2-.
【答案】 (1). ∉ (2). ⊆
【解析】
【分析】
利用元素与集合的关系，利用集合的关系分析解答.
【详解】Q 55Q ，
易知[]0,2是[]1,2-的子集，所以[][]0,21,2⊆-.
故答案为(1). ∉ (2). ⊆
【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14.已知幂函数f (x )=x a 的图象过点(4,2),则a =_______ 【答案】12
【解析】
【分析】
直接把点的坐标代入幂函数的解析式即得解.
【详解】由题得2242,a a
== 所以12
a =
. 故答案为12 【点睛】本题主要考查幂函数的解析式中参数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
15.若函数22,1()4,1
x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值范围为__________________. 【答案】50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
【解析】
【分析】
分段函数22,1()4,1
x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数需满足每段上都是增函数且当1x =-时，
124a a -+≤-+即可.
【详解】当1x ≤-时，2()2f x x a =-+为增函数，
所以当1x >-时，()4f x ax =+也为增函数，
所以0124
a a a >⎧⎨-+-+⎩，解得503a <≤. 故答案为：50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，属于中档题.
16.已知0x >，0y >，且41x y +=，则
14x x y ++的最小值为__________，此时y x -=________. 【答案】 (1). 17 (2).
38 【解析】
【分析】 利用1414()1()1x x y x y
++=++⋅进行恒等变换，最后利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为0x >，0y >，所以有：
14141416()1()11()(4)9917x y x x y x y x y x y x y ++=++⋅=+++=++≥+=，当且仅当16y x x y =时取等号，即4y x =，而41x y +=，因此有18x
，此时338y x x -==. 故答案为：17；38 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力，属于基础题.
三、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（13分）设集合{}|12A x x =-<<，{}2|30B x x x =-<，10|C x N N x ⎧
⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭
. （1）求A B ，A B ；
（2）用列举法表示集合C ，并求()B C R .
【答案】（1）{}|02x x <<，{}|13x x -<<；（2）{}5,10.
【解析】
【分析】
（1）解一元二次不等式化简集合B ， 用集合的交集和并集的定义，结合数轴进行求解即可； （2）根据
10N x ∈求出自然数x ，然后用列举法表示集合C ，然后根据补集的定义和交集的定义进行求解即可.
【详解】（1）因为{}
{}2|30|03B x x x x x =-<=<<，所以有 {}|02A B x x ⋂=<<，{}|13A B x x =-<<； （2）{}10|1,2,5,10C x N N x ⎧
⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭，(){0R B x x =≤或}3x ≥，所以有 (){}5,10B C =R .
【点睛】本题考查了集合的交集、并集、补集的定义，考查了一元二次不等式的解集，考查了集合的列举法表示，属于基础题. 18.（13分）设集合2{,,1
},{0,,}A a a b B a b =+=，且A B ＝. (1)求a b ＋的值；
(2)判断函数()b f x ax x
=+在[1)∞，＋上的单调性，并用定义法加以证明. 【答案】（1）2a b +=-（2）1()f x x x
=--
在[1,)+∞上单调递减,证明见解析 【解析】
【分析】 （1）根据集合相等及集合中元素的互异性可确定a,b ,计算+a b （2）由（1）知1()f x x x =--
，在[1,)+∞上单调递减，根据单调性的定义证明即可.
【详解】（1）由集合A B =知0a ≠，所以10b +=.
即1b =-，此时{}
2{,||,0},0,,1A a a B a ==-，
所以1a =- 此时{}1,1,0,{0,1,1
}A B =-=-满足A B =， 故2a b +=-
（2）由（1）知11(),()f x x f x x x x
=--=--在[1,)+∞上单调递减 证明:任取12,[1,)x x ∈+∞且12x x <，
则()()12121211f x f x x x x x ⎛
⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()112222111211x x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭
()22
21111x x x x x x -=- 因为12,[1,)x x ∈+∞且12x x <.
所以2112120,10,0x x x x x x ->->>，
所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 故1()f x x x
=--在[1,)+∞上单调递减. 【点睛】本题主要考查了集合相等，集合中元素的互异性，函数单调性的定义证明，属于中档题. 19.（14分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()3f x x ＝－.
(1)求()f x 的解析式；
(2)求不等式()12
x f x ≤-的解集. 【答案】（1）3,0()0,03,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩
（2）48,0,33⎛⎤⎡⎤-∞-⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【解析】
【分析】
（1）设0,x <则0x ->，计算()f x -，利用奇函数性质可得()f x ，当0x =时，(0)0f =即可求出解析式（2）分类讨论求解不等式即可.
【详解】（1）若0x <，则0x ->.
因为当0x >时.()3f x x =-，所以()3-=--f x x
因为()f x 是奇函数，所以()()3f x f x x =--=+.
因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =.
故3,0()0,03,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩
（2）当0x <时，()312x f x x =+≤-
， 解得43
x - 当0x =时，0(0)012
f =<-
， 则0x =是不等式()12
x f x ≤-的解； 当0x >时，()312x f x x =--. 解得83x ≤. 又0x >，所以803x <≤. 故原不等式的解集为48,0,33⎛⎤⎡⎤-∞-⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
【点睛】本题主要考查了利用奇函数性质求解析式，解分段函数形式不等式，分类讨论，属于中档题. 20.（14分）2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机
生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()
R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.
x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩
（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；
（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？
【答案】(1) ()24003200800,05,10004600,510.
x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最
大利润为5600万元.
【解析】
【分析】
（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.
（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润.
【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.
因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩
所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩
（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()2
40045600f x x =--+.
所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）
当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增，
所以()()105400f x f ≤=（万元）.
综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.
所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.
【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.
21.（14分）（1）若()21,,204
b x ax a x b =-∀∈+++≤R ，求a 的取值范围； （2）若22b a =--（a R ∈），求关于x 的不等式()220ax a x b +++≤的解集.
【答案】（1）[]4,1--；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）对a 分两种情况讨论，结合二次函数的图像和性质求出a 的取值范围；（2）原不等式等价于()()2210ax a x ++-≤.再对a 分类讨论解不等式得解.
【详解】（1）当0a =时，不等式可化为1204
x -≤，显然在R 上不恒成立，所以0a ≠. 当0a ≠时，则有()20,
20,a a a <⎧⎪⎨∆=++≤⎪⎩
解得41a -≤≤-.
故a 的取值范围为[]4,1--.
（2）()2
2220ax a x a ++--≤等价于()()2210ax a x ++-≤. ①当0a =时，()210x -≤，原不等式的解集为(],1-∞.
②当0a >时，220a a +-
<，原不等式的解集为22,1a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ③当0a <时，22321a a a a ++-
-=-. 若()222,1033
a x =---≤，原不等式的解集为R ； 若2
3222,0,3a a a a a ++<--<-<1，原不等式的解集为[)22,1,a a +⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝
⎦；
若232220,0,13a a a a a ++-<<->->，原不等式的解集为(]22,1,a a +⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】本题主要考查二次型不等式的恒成立问题，考查解二次型的不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22.（14分）已知函数()f x 满足()2
34880()()f x f x ax ax a ≠＋－＝－＋. (1)求()f x 的解析式；
(2)若3t >－，求()f x 在[]3t －，上的最大值.
【答案】（1）2()42f x ax ax =++（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
（1）根据方程令x -替换x 得新方程，联立方程组即可求出()f x （2）写出函数对称轴2x =-，根据二次函数开口方向及自变量与对称轴的关系分类讨论，即可求出函数的最大值.
【详解】（1）因为2()3()488f x f x ax ax +-=-+①
所以2
()3()488f x f x ax ax -+=++②
②×3-①.得28()83216f x ax ax =++. 所以2()42f x ax ax =++
（2）2
()(2)24f x a x a =++-，
当0a >时，
当1t -时.2max ()()42f x f t at at ==++ 当31t -<<-时.max ()(3)912223f x f a a a =-=-+=-
当0a <时，
当2t ≥-时，max ()(2)24f x f a =-=-；.
当32t -<<-时.2max ()()42f x f t at at ==++
【点睛】本题主要考查了求函数解析式，二次函数求最值，分类讨论，属于难题.。