2014-2015学年北京二十四中高三(上)开学数学试卷(文科)(解析版)

2014-2015学年北京二十四中高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设全集U＝R，A＝{x|﹣x2﹣3x＞0}，B＝{x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合为（）
A．{x|x＞0}B．{x|﹣3＜x＜﹣1}C．{x|﹣3＜x＜0}D．{x|x＜﹣1} 2．（5分）已知p是真命题，q是假命题，则下列复合命题中的真命题是（）A．p且q B．￢p且￢q C．￢p且q D．￢p或￢q 3．（5分）“a＞b”是“a＞|b|”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知平面向量＝（1，2），＝（﹣2，m），且∥，则m的值为（）A．1B．﹣1C．4D．﹣4
5．（5分）在△ABC中，已知2sin A cos B＝sin C，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．正三角形
6．（5分）若a＝log23，b＝log32，，则下列结论正确的是（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
7．（5分）为了得到函数y＝2x﹣3﹣1的图象，只需把函数y＝2x上所有点（）A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
8．（5分）已知函数f（x）＝lg，若f（a）＝b（b≠0），则f（﹣a）等于（）A．﹣b B．b C．D．﹣
9．（5分）函数y＝lg（x2﹣5x+6）的单调递减区间为（）
A．（2，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，2）10．（5分）函数f（x）＝log2x﹣的零点所在区间（）
A．（1，2）B．（2，3）C．（0，）D．（，1）11．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足对任意的x1，x2∈（8，+∞）（x1＜x2），有f （x1）＞f（x2），且函数y＝f（x+8）为偶函数，则（）
A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）
C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）
12．（5分）已知函数f（x）＝（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（﹣1，0）D．[﹣1，0）
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
13．（5分）i是虚数单位，复数＝．
14．（5分）2log510+log50.25＝．
15．（5分）（文科）已知α∈（，π），sinα＝，则tan＝．
16．（5分）已知||＝2，||＝3，，的夹角为60°，则|2﹣|＝．
17．（5分）若x＜，则y＝4x﹣2+最大值是．
18．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝a n+（n∈N*），则a n＝．
19．（5分）奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若f（x）在[0，2]上单调递减，且f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围是．
20．（5分）函数y＝x3+x2﹣5x﹣5的单调递增区间是
三、解答题：本大题共4小题，共50分．
21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc．（1）求角A的大小；
（2）设函数f（x）＝sin cos+cos2，求f（B）的最大值．
22．（12分）知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝5，S15＝225．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；
（Ⅱ）设b n＝+2n，求数列{b n}的前n项和T n．
23．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣2ax2+bx+c．
（Ⅰ）当c＝0时，f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y＝x+2，求a，b的值；
（Ⅱ）当f（x）无极值时，a，b要满足什么条件？
（Ⅲ）当a＝，b＝﹣9时，f（x）在点A，B处有极值，O为坐标原点，若A，B，O 三点共线，求c的值．
24．（14分）函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）．
（1）求f（1）和f（﹣1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f（4）＝1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．
2014-2015学年北京二十四中高三（上）开学数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：∵A＝{x|﹣x2﹣3x＞0}＝{x|﹣3＜x＜0}，B＝{x|x＜﹣1}，图中阴影部分表示的集合为A∩B，
∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜﹣1}．
故选：B．
2．【解答】解：p且q有一假则假，p或q有一真则真，非p真假相反
∵p是真命题，q是假命题，
∴p且q均为假命题，￢p为假命题，￢q为真命题，
则￢p且￢q为假命题，￢p且q为假命题，￢p或￢q为真命题，
故选：D．
3．【解答】解：若a＞b，取a＝2，b＝﹣3，推不出a＞|b|，若a＞|b|，则必有a＞b．所以a＞b是a＞|b|的必要非充分条件．
故选：B．
4．【解答】解：∵∥∴1×m＝2×（﹣2）∴m＝﹣4
故选：D．
5．【解答】解：由2sin A cos B＝sin C知2sin A cos B＝sin（A+B），
∴2sin A cos B＝sin A cos B+cos A sin B．
∴cos A sin B﹣sin A cos B＝0．
∴sin（B﹣A）＝0，
∵A和B是三角形的内角，
∴B＝A．
故选：B．
6．【解答】解：∵a＝log23＞log22＝1，0＝log31＜b＝log32＜log33＝1，＜log41＝0，
∴c＜b＜a
故选：D．
7．【解答】解：函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”．
把函数y＝2x的图象向右平移3个单位长度得到函数y＝2x﹣3的图象，再将所得图象再向下平移1个单位长度，得到函数y＝2x﹣3﹣1的图象
故选：A．
8．【解答】解：∵函数f（x）＝lg，f（a）＝lg＝b（b≠0），
∴f（﹣a）＝lg＝﹣lg＝﹣b．
故选：A．
9．【解答】解：令t＝x2﹣5x+6＞0，求得x＜2，或x＞3，故函数的定义域为{x|x＜2，或x ＞3}，且函数y＝lgt，
故本题即求函数t在定义域内的减区间．
再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为（﹣∞，2），
故选：D．
10．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，∵f（1）＝log21﹣1＝﹣1＜0，f（2）＝log22﹣，
∴在（1，2）内函数f（x）存在零点，
故选：A．
11．【解答】解：∵对任意的x1，x2∈（8，+∞）（x1＜x2），有f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（8，+∞）递减，
∵函数y＝f（x+8）为偶函数，
∴函数f（x）关于x＝8对称，在（﹣∞，8）递增，
如图示：
，
∴到x＝8的距离越小，函数值越大，
故选：D．
12．【解答】解：由解析式可得函数的左半部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，
右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下：
结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，
而红线与y轴的焦点坐标为a+1，且只需0≤a+1＜1，即﹣1≤a＜0即可
故选：D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
13．【解答】解：因为＝＝＝1+2i
故答案为：1+2i
14．【解答】解：∵2log510+log50.25
＝log5100+log50.25
＝log525
＝2
故答案为：2．
15．【解答】解：∵α∈（，π），sinα＝，∴cosα＝﹣，∴tanα＝﹣．∴tan＝＝，
故答案为：．
16．【解答】解：∵已知，，、的夹角为60°，∴＝2×3cos60°＝3，∴＝＝＝＝，
故答案为．
17．【解答】解：∵x＜，∴5﹣4x＞0．
∴y＝4x﹣2+＝﹣（5﹣4x+）+3+3＝1，当且仅当x＝1时取等号．
故答案为：1．
18．【解答】解：∵a1＝1，a n+1＝a n+（n∈N*），
∴a n+1﹣a n＝＝﹣，（n∈N*），
则a2﹣a1＝1﹣，
a3﹣a2＝，
…
a n﹣a n﹣1＝﹣，
等式两边同时相加得
a n﹣a1＝1﹣，
故a n＝，
故答案为：
19．【解答】解：∵函数函数f（x）定义域在[﹣2，2]上的奇函数，
则由f（1+m）+f（m）＜0，可得f（1+m）＜﹣f（m）＝f（﹣m）
又根据条件知函数f（x）在定义域上单调递减，
∴﹣2≤﹣m＜1+m≤2
解可得，﹣＜m≤1．
故答案为：．
20．【解答】解：∵y＝x3+x2﹣5x﹣5∴y'＝3x2+2x﹣5
令y'＝3x2+2x﹣5＞0 解得：x＜﹣，x＞1
故答案为：（﹣∞，﹣），（1，+∞）
三、解答题：本大题共4小题，共50分．
21．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2﹣a2＝bc，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A可得cos A＝．（余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分）（3分）
∵0＜A＜π（或写成A是三角形内角）（4分）
∴A＝．（5分）
（Ⅱ）函数f（x）＝＝（7分）
＝sin（x+）+，（9分）
∵A＝∴B∈（0，）∴（没讨论，扣1分）（10分）
∴当，即B＝时，f（B）有最大值是．（13分）
22．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，
由题意，得，
解得，
∴a n＝2n﹣1；
（Ⅱ），
∴T n＝b1+b2+…+b n＝（4+42+…+4n）+2（1+2+…+n）
＝＝．
23．【解答】解：（Ⅰ）当c＝0时，f（x）＝x3﹣2ax2+bx．
则f'（x）＝3x2﹣4ax+b
由于f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y＝x+2，
可得f（1）＝3，f'（1）＝1，
即，
解得；
（Ⅱ）函数f（x）＝x3﹣2ax2+bx+c的导数f′（x）＝3x2﹣4ax+b，
当f（x）无极值时，则判别式△≤0，即16a2﹣12b≤0，
故a，b要满足4a2≤3b；
（Ⅲ）当a ＝，b＝﹣9时，f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c．
所以f'（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x﹣3）（x+1）
令f'（x）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1．
当x变化时，f'（x），f（x）变化情况如下表：
所以当x＝﹣1时，f（x）极大值＝5+c；当x＝3时，f（x）极小值＝﹣27+c．
不妨设A（﹣1，5+c），B（3，﹣27+c）
因为A，B，O三点共线，所以k OA＝k OB．
即＝，解得c＝3．
故所求c值为3．
24．【解答】解：（1）令x1＝x2＝1，得f（1）＝2f（1），则f（1）＝0，令x1＝x2＝﹣1，则f（1）＝2f（﹣1）＝0，即f（﹣1）＝0；
（2）f（x）为偶函数．由于f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，
可令x1＝x，x2＝﹣1，则f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1）＝f（x），故f（x）为偶函数．（3）由于f（4）＝1，则f（16）＝2f（4）＝2．
f（x﹣1）＜2即为f（x﹣1）＜f（16）．
由于f（x）在（0，+∞）上是增函数，
则0＜|x﹣1|＜16，解得﹣15＜x＜17且x≠1．故x的取值范围是（﹣15，1）∪（1，17）．。