均值不等式

1 1． 2006 江西文、理）若不等式 x + ax +1≥0 对一切 x ∈ 0， 成立，则a 的最小值 江西文、 （ 2 5 0 − 为（ ） Ａ． Ｂ．−2 Ｃ． Ｄ．−3 2
2
2.（2000 全国，7）若 a＞b＞1，P＝ lg a ⋅ lg b ， （ 全国， ） ＞ ＞ ， ＝ Q＝ （lga＋lgb） ＝ lg（ ＝ ，R＝ （ ＋ ） ， A.R＜P＜Q ＜ ＜
1 2
D． D． 1
2
4.（ 4. （ 08 辽宁卷 4 ） 已知 0 < a <1 ， x = loga 2 + loga 3 ， y = loga 5 ，
z = loga 21 − loga 3 ，则（
） C． y > x > z D． z > x > y
A． x > y > z
B． z > y > x
10 n 10 + n + 0.1n 2 = + +1 ≥ 3 = n n 10
当
10 n ,即n = 10时, y有最小值 有最小值3. 即 时 有最小值 = n 10
因此,使用 年报废最合算 年平均费为3万元 因此 使用10年报废最合算 年平均费为 万元 使用 年报废最合算,年平均费为 万元.
如图,为处理含某种杂质的污水 要制造一底宽为2 的无盖长 为处理含某种杂质的污水,要制造一底宽为 练习 如图 为处理含某种杂质的污水 要制造一底宽为 m的无盖长 方体沉淀箱污水从A孔流入 经沉淀后从B孔流出 设箱体的长度为a 孔流入,经沉淀后从 孔流出,设箱体的长度为 方体沉淀箱污水从 孔流入 经沉淀后从 孔流出 设箱体的长度为 m,高度为 m,已知流出的水中 设杂质的质量分数与 的乘积 成 高度为b 已知流出的水中 设杂质的质量分数与a,b的乘积 已知流出的水中,设杂质的质量分数与 的乘积ab成 高度为 反比,现有制箱材料 现有制箱材料60m2,问a,b各为多少时 经沉淀后流出的水中 该 各为多少时,经沉淀后流出的水中 反比 现有制箱材料 问 各为多少时 经沉淀后流出的水中,该 杂质的质量分数最小. 杂质的质量分数最小
A B b z a
典型例题
例 1．设 a、b∈R + ，试比较 a + b ，
2 ab ， a 2 + b2 2
， 1 2 1 的大小
a + b
说明： 题中的 1
2
1 + a b
、
a +b a2 + b2 ab 、 、 2 2
分别叫做正数的调和平均数， 几何平均数，
算术平均数，平方平均数．也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明．
（=3 ） （= 2）
1 （= ） 2
x2 − 2x + 2 变形 4、求 y = , x >1的最小值。 x −1
x −1 变形 5、求 y = 2 , x >1的最大值。 x − 2x + 2
1 的最 2x 1 的最 若 x < 0 ，则 1 − 2 x − 2x 27 2 2 、 已 知 函 数 y = 1 + 3x + 2 , 当 x = x 是 。 1 3、若 x > 3, 函数 y = x + ,当x = x−3 1 4、 x > 4, 函数 y = − x + 若 ,当 x = 4− x
(3)若正数a, b, x, y满足a + b = p ,
2 2 2
x + y = q ( p, q > 0), 则 ax + by
2 2 2
的最大值为 _________________ .
(4)若a > b > 1, P = lg a ⋅ lg b , 1 a+b Q = (lg a + lg b), R = lg( )则 2 2 A.R < P < Q B.P < Q < R C.Q < P < R D.P < R < Q
2.若 x + 2 y =1，则2 x + 4y 的最小值是______
3.正数 x, y 满足 x + 2 y = 1，则 + 的最小值为______ （答：3+ 2 2 ）
1 x
1 y
4.如果正数a 、b 满足ab = a + b + 3，则ab 的取值范围是____
5 ．设 0 < x < 3 ， 求函数 y = 4 x (3 − 2 x ) 的最大值。 2
4800 4800 l = 150 × + 120( 2 × 3x + 2 × 3 × ) 3 3x 1600 = 240000 + 720( x + ) x
1600 ≥ 240000 + 720 × 2 x ⋅ x = 240000 + 720 × 2 × 40 = 297600 4800 1600 ,即x = 40, 有最小值297600. 当 x= 即 = 40 时, l 有最小值 x 3x 因此,当水池的底面是边长为 当水池的底面是边长为40m的正方形时 水池的总造 的正方形时,水池的总造 因此 当水池的底面是边长为 的正方形时 价最低,最低总造是 最低总造是297600元. 价最低 最低总造是 元
1 2 a +b ，则 ） 则（ ， 2
） D.P＜R＜Q ＜ ＜
B.P＜Q＜R ＜ ＜
C.Q＜P＜R ＜ ＜
3.（ 20 08 江西卷 9 ）若 0 < a1 < a2 , 0 < b1 < b2 ,且 a1 + a 2 = b1 + b2 = 1 ，则下列 代数式中值最大的是 A． a1b1 + a2 b2 B． B． a1 a2 + b1b2 C． C． a1b2 + a 2b1
1 例练 1 、求 y = x + , x ＞0 x
的最小值。
（ = 2） ( = 4)
1 （= ） 2
x2 + 4 变形 1、求 y = , x＞0 的最小值。 x
sinx 变形 2、求 y = 2 ， < x < π ）的最大值。 （0 sin x +1 1 变形 3、求 y = x + , x >1的最小值。 x −1
5.（浙江卷 3）已知a ，b 都是实数，那么“ a2 > b2 ”是“a>b”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 （B）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件 a 6.（陕西卷6 “ 6.（陕西卷 6） a = 1”是“对任意的正数 x ，2x + ≥1”的（ ） x B．必要不充分条件 A．充分不必要条件
某种汽车购车时费用为10万元 每年保险、养路、汽油费用9000 万元,每年保险 例 某种汽车购车时费用为 万元 每年保险、养路、汽油费用 汽车的维修费各年为:第一年 第二年4000元,第三年 第三年6000元, 元;汽车的维修费各年为 第一年 汽车的维修费各年为 第一年2000元,第二年 元 第二年 元 第三年 元 依每年2000元的增量递增 问这种汽车最多使用多少年报废最合算 元的增量递增,问这种汽车最多使用多少年报废最合算 依每年 元的增量递增 (即使用多少年的平均费用为最少 ？ 即使用多少年的平均费用为最少)？ 即使用多少年的平均费用为最少 年的平均费用是y万元 依题意,得 解：设汽车使用n年的平均费用是 万元 依题意 得 设汽车使用 年的平均费用是 万元.依题意 (n + 1)n 10 + 0.9n + 0.2(1 + 2 + 3 + L + n) 10 + 0.9n + 0.2 × 2 y= = n n
（当且仅当 a = b 时取“=” ） 若 a , b ∈ R * ，则 a + b ≥ 2 ab （当且仅当 a = b 时取“=” ）
a+b ≥ ab 若 a , b ∈ R ，则 2 ） （当且仅当 a = b 时取“=”
*
a+b 若 a , b ∈ R ，则 ab ≤ 2
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为 ， 深为3m， 例 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 深为 如果池底每1m 的造价为150元，池壁每 2的造价为 如果池底每 2的造价为 元 池壁每1m 的造价为120元，问怎 元 样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 4800 设水池底面一边的长度为x ， m. 解：设水池底面一边的长度为 m，则另一边的长度为 3x 又设水池总造价为l 根据题意,得 又设水池总造价为 元.根据题意 得 根据题意
均值不等式以及与之相关的不等式内容 基本形式
其他形式
a2 + b2 若 a , b ∈ R ，则 ab ≤ 2
若 a , b ∈ R ，则 a 2 + b 2 ≥ 2 ab （当且仅当 a = b 时取“=” ）
均 值 定 理 及 重 要 变 形
（当且仅当 a = b 时取“=” ）.
a + b 2 a2 + b2 ) ≤ 若 a , b ∈ R ，则 ( 2 2
例 2. 已知 a，b，x，y∈R+（a，b 为常数） a + b = 1 ，求 x＋y 的最小值. ，
x y
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7.（浙江 卷（5）a ≥ 0, b ≥ 0,且a +b = 2 ， 则C （A）ab ≤ 1 2 （B）ab ≥ 1 2 （C）a2 +b2 ≥ 2 （D）a2 +b2 ≤ 3
1.基础练习题： 1.基础练习题： 基础练习题
(1)若正数a, b, c满足a + b + c = 1, 则 1 1 1 + + 的最小值为 _____ a b c (2)若正数a, b满足a + b + 3 = ab, 则a + b的取值范围是 _______
1、若 x > 0 ，则 1 − 2 x −
值是 值是
， 。 时 ，函数 有最 值
时，函数有最 时， 函数有最 。 。
值 5。 值 。
5、设 0 < x < 1, 则函数 y = x (1 − x ) 的最大值是 6、如果 log 3 M + log 3 N ≥ 4 ，则 M+N 的最小值是
7 、 点 ( x, y ) 在 直 线 x + 3 y − 2 = 0 上 移 动 ， 则 u = 3 x + 27 y + 1 的 最 小 值 是 。
*
2
（当且仅当 a = b 时取“=” ） a b 若 ab > 0 ，则 + ≥ 2 b a ） （当且仅当 a = b 时取“=”
“ 的
用均值不等式求最值问题
均值不等式： 均值不等式： a +b 如果 a , b ∈ R+ , 那么 ≥ ab (当且仅当a = b 时, 取"=" 号 ) 2 1. 利用均值不等式求最值结论：积一定，和有最小值；和一定， 利用均值不等式求最值结论：积一定，和有最小值；和一定， 积有最大值。 积有最大值。 2. 利用均值不等式求最值的条件：一正，二定，三相等。 利用均值不等式求最值的条件：一正，二定，三相等。 练习： 练习： 3 1.若x>0,当x= 3 时,函数 y = x + 的最小值是 2 3 . 若 当 函数 x 2 4 2.若x>0,当x= . 若 当 时,函数 y = + 9 x 有最 小 值 12 函数 3 x 1 3.若x>4,函数 y = − x + 若 函数 当x= 5 时,函数有最 大 值是 − 6 . 函数有最 4− x 3 1 4.已知 0 < x < 1,则 3 x(1 − x) 的最大值为 4 ,此时 此时x= . 已知 则 此时 2 5 25 5 5.若 0 < x < ,当x = . 若 当 时, y = x(5 – 2x)有最大值 有最大值 4 8 2 x 2 y= 2 6.若x>0,则 . 书:练习 习题 若 则 最大值为 练习,习题 练习 习题6.2 x +2 4
1.下列命题中正确的是
1 y = x + 的最小值是 2 A、 x
；
B、 y =
x2 + 3 x +2
2
的最小值是 2
4 C、 y = 2 − 3 x − ( x > 0) 的最大值是 2 − 4 x
3
（答：C）；
4 D、 y = 2 − 3 x − ( x > 0) 的最小值是 2 − 4 3 x