(临门一脚 山东专用)高考数学 热点专题复习热点十 圆锥曲线及其应用 理

热点十 圆锥曲线及其应用
【考点精要】
考点一. 椭圆、双曲线、抛物线的离心率. 如：设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线
与抛物线y=x 2
+1相切，则该双曲线的离心率等于( )
B. 2
考点二. 圆锥曲线的第一或第二定义. 如：已知椭圆2
2:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =uu r uu r
,则AF uu u r =( )
B. 2
D. 3
考点三. 圆锥曲线的渐近线的方程和离心率等概念之间的关系. 直线与圆锥曲线的位置关系,
考查学生对基本概念、基本方法和基本技能的掌握. 如：设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的虚
轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为( )
A. x y 2±=
B. x y 2±=
C. x y 2
2
±
=
D . x y 21±= 考点四. 圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径. 将圆锥曲线的相关知识与向量等知识相结合，
考查圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径等知识.
考点五. 圆锥曲线中有关角、线段、面积. 以圆锥曲线为依托，借助点与线的关系，考查圆锥曲线中有关角、线段、面积等知识，考查综合运算能力. 如：设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M
0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF =2，则∆BCF 与∆ACF
的面积之比
BCF
ACF
S S ∆∆=( ) A.
4
5
B.
2
3
C.
4
7
D.
12
考点六. 圆锥曲线中有关的距离最短、距离之和最小. 利用圆锥曲线与直线的特殊关系，研究有关的距离最短、距离之和最小等，考查学生分析问题、解决问题以及数形结合的能力. 如：已知直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到1l 和2l 的距离之和的最小值是( )
A.2
B.3
C.
11
5
D.
37
16
考点七. 待定系数法求曲线方程. 能用待定系数法求曲线方程，处理直线与圆锥曲线的相关问题以及有关对称问题. 此类问题多属于中档或高档题. 如：过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦
点在x 轴上且离心率为
22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =2
1
x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程
.
考点八. 求圆锥曲线方程的方法. 能运用多种方法（如：直接法、定义法、几何法、代入法、参数法、交规法等）求圆锥曲线的方程，求动点轨迹时应注意它的完备性和纯粹性.
巧点妙拨
1. 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想与方法.
2. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
3. 求圆锥曲线中的最值问题解决方法一般有两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来做非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.
【典题对应】
例1. ( 2014· 山东理10) 已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 22
22=+b
y a ，双曲线2C 的方程
为1x 22
22=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为2
3，则2C 的渐近线方程为( )
A. 0x =
B.02=±y x
C.20x y ±=
D.20x y ±=
命题意图：本题主要考查圆锥曲线的离心率、渐近线方程. 解析：
(
)222
2
1222222
222
442
44
124344
2
c a b e a a c a b e a a a b e e a b a b a -==
+==
-∴==∴=∴
=±
答案：A
名师坐堂：注意渐近线方程仅对双曲线而言，无其他限制条件渐近线方程应成对出现. 例2. ( 2014· 山东理21) 已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF V 为正三角形. （I ）求C 的方程；
（II ）若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，
（i ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；
（ii ）ABE V 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
命题意图：本题主要考查抛物线的定义，直线的方程，最值等，考查学生综合分析问题的能力. 解析：（1）由抛物线第二定义得：
23322
p p
-
=+ 解得：2p =或18p =（舍去）
当18p =时，经检验直线l 与C 只有一个交点，不合题意.
C ∴ 的方程为：24y x =.
（2）由（1）知直线AE 过焦点(1,0)F ， 所以0000
11
(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++. 设直线AE 的方程为1x my =+， 因为点A 00(,)x y 在直线AE 上， 故00
1
x m y -=
. 设11(,)B x y 直线AE 的方程为0
00()2
y y y x x -=--， 由于00y =， 可得00
2
2x y x y =-
++，
代入抛物线方程得2
00
8
840y y x y +
--=， 所以010
8y y y +=-
， 可求得101000
84,+4y y x x y x =--
=+， 所以点B 到直线AE 的距离为：
d =
=
=+
，
则ABE ∆
的面积0011
42162S x x =
⨯⨯++≥）， 当且仅当
00
1
x x =，即01x =时等号成立. 所以ABE ∆的面积的最小值为16.
例3.（2012·新课标理8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B
两点，AB =C 的实轴长为（ ）
A
B 、
C 、
4
D 、8
命题意图：此题考查双曲线的性质、抛物线的性质的应用；
解析：设等轴双曲线方程为)0(2
2>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,
则32=A y ，所以A 的坐标为)32,4(-，把A 的坐标代入双曲线方程得
412162
2
=-=-=y x m ，
所以双曲线方程为42
2
=-y x ，即14
422=-y x ，所以2,42
==a a ，所以实轴长42=a ，选C.
名师坐堂：等轴双曲线方程可设为)0(2
2
≠=-k k y x ，在抛物线中通径的长度、焦半径等的求法应熟练掌握.
例4.（2012·新课标理）设12,F F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为直线
32a
x =
上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A. 12 B. 23 C. 34 D. 45
命题意图：此考查椭圆的离心率的求法、三角形中的相关计算.
解析：如下图1所示，因为12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为
02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，
所以21222
1
21F F PF D F ==
， 即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为4
3=e ，选C. 名师坐堂：求解圆锥曲线的离心率关键是找到c a ,的关系，未必将c a ,求出. 对于不同的圆锥
曲线应注意离心率的范围.
例5.（2011· 山东22)已知动直线l 与椭圆C ：22
132
x y +=交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同
点，且OPQ ∆的面积2
OPQ S ∆=
，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===
？若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由．
命题意图：本题主要考查直线方程、椭圆的标准方程、面积公式、一元二次方程的根与系数的关系、求最值的方法以及分类讨论的思想，考查学生解析几何的基本思想方法，考查逻辑推理、运算能力．
解析：（Ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，
由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=
，而11OPQ S x y ∆==
，则111x y == 于是22123x x +=，22122y y +=.
当直线l 的斜率存在，设直线l 为y kx m =+，代入22
132
x y +=可得 2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x km m +++-=，0∆>，即2232k m +>
2121222
636
,2323km m x x x x k k -+=-=++
12PQ x =-=
=
d =
1122POQ
S d PQ ∆=⋅⋅==则22
322k m +=，满足0∆>
22
2
2
21
2121222
63(2)
()2()232323km m x x x x x x k k
-+=+-=--⨯=++， 222222*********
(3)(3)4()2333
y y x x x x +=
-+-=-+=， 综上可知22123x x +=，22122y y +=.
（Ⅱ）当直线l
的斜率不存在时，由（Ⅰ）知12OM x PQ =⋅== 当直线l 的斜率存在时，由（Ⅰ）知
12322x x k
m
+=-， 2121231
()222y y x x k k m m m m
++=+=-+=， 22
221212222
9111()()(3)2242x x y y k om m m m
++=+=+=- 2222
2
2222
24(32)2(21)1
(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m
+-+=+==++ 2
2
221125(3)(2)4
OM
PQ m m =-
+≤，
当且仅当22
11
32m m
-
=+，即m =时等号成立，综上可知OM PQ ⋅的最大值为52.
（Ⅲ）假设椭圆上存在三点,,D E G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆=== 由（Ⅰ）知2222223,3,3D E E G G D x x x x x x +=+=+=，
2222222,2,2D E E G G D y y y y y y +=+=+=.
解得2
2
2
3
2
D E G x x x ===
,2221D E G y y y ===，
因此,,D E G x x x 只能从2
±
中选取，,,D E G y y y 只能从1±中选取，
因此,,D E G 只能从(1)2
±
±中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这
与ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===
故椭圆上不存在三点,,D E G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===
名师坐堂：求解定值问题可先考虑能否用特殊点或特殊值求出定值，再推广到一般结论. 在求解圆锥曲线的最值问题时，可考虑用重要不等式、二次函数、三角函数以及函数的单调性.
【命题趋向】
圆锥曲线是每一年高考的必考内容，其试题内容主要趋向以下几个方面： （1）圆锥曲线本身存在最值问题，如①椭圆上两点最大距离为a 2（长轴长）；②双曲线上两点间最小距离为a 2（实轴长）；③椭圆上的焦半径的取值范围为[],c a c a +-，c a -与c a +分别表示椭圆焦点到椭圆上的最短与最长距离；④抛物线上顶点与抛物线的准线距离最近. （2）圆锥曲线上的点到定点的距离最值问题，常与两点间的距离公式转化为区间上的二次函数最值解决，有时也用圆锥曲线中的参数方程，化为三角函数的最值问题.
（3）圆锥曲线上的点到定直线的距离最值问题，常转化为平行切线法.
（4）点在圆锥曲线上，求相关式子的取值范围，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数化为函数进行处理.
（5）由直线和圆锥曲线的位置关系，求直线中或圆锥曲线中某一个参数满足的范围，解决方法长把所求参数作为函数，另一个变元作为自变量求解.
【直击高考】
1. 已知双曲线1412222
222=+=-b
y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=（ ） A.3
B.5
C.3
D.2
2. 抛物线y =ax 2
与直线y =kx +b (k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交
点的横坐标是x 3,则恒有（ ） A. x 3=x 1+x 2 B. x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3 C. x 1+x 2+x 3=0
D. x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=0
3. 中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为2
1
，则椭圆方程为 .
4. 设a ＞0. 若曲线2x y =曲线与直线x=a,y=0所围成的封闭图形的面积为a ，则a = .
5. 已知1F 、2F 是椭圆1:22
22=+b
y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.
若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.
6. 已知抛物线y 2
=2px (p ＞0),过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，
且|AB |≤2p .
(1)求a 的取值范围.
(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.
7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>x =.
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 是圆2
2
:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.
8. 已知曲线m y x M =-2
2:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直
线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 四个点，O 为坐标原点． （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ∆的面积为定值；
（2）若BOC ∆的面积等于AOD ∆面积的3
1
，求证：||||||CD BC AB ==．
热点十圆锥曲线及其应用【直击高考】
1. 解析：可得双曲线的准线为
2
1
a
x
c
=±=±,
又因为椭圆焦点为(
所以有1
=.即b2=3故
故C.
2. 解析：解方程组
⎩
⎨
⎧
+
=
=
b
kx
y
ax
y2
,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=
a
k
,x1x2=－
a
b
,x3=－
k
b
,代入验证即可。

答案：B
3. 解析：设所求圆的圆心为P(a,b），半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|
∵圆P截y轴所得弦长为2，∴r2=a2+1
又由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,故弦长|AB|=2r,故r2=2b2,从而有2b2－a2=1
又∵点P(a,b)到直线x－2y=0的距离d=
5
|
2
|b
a-
,
因此，5d2=|a－2b|2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2(a2+b2)=2b2－a2=1,
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1,从而d取最小值，为此有
⎩
⎨
⎧
-
=
-
=
⎩
⎨
⎧
=
=
⎩
⎨
⎧
=
-
=
1
1
1
1
1
22
2b
a
b
a
a
b
b
a
或
得,
∵r2=2b2, ∴r2=2
于是所求圆的方程为：(x－1）2+(y－1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2
4. 解析：
a
a
x
dx
x a=
=
=
=⎰3
3
a
2
3
1
3
1
S
, 解得3
=
a.
5. 解析：依题意，有
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
∙
=
+
2
2
2
2
1
2
1
2
1
4
|
|
|
|
18
|
|
|
|
2
|
|
|
|
c
PF
PF
PF
PF
a
PF
PF
，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。

6. 解析：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0
∴|AB|=2
24
)
(4
2a
p
a-
+
⋅≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2
又∵p＞0,∴a≤－
4
p
.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点C(x,y),
由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,
则有x=
2
2
2
,
2
2
1
2
1
2
1
a
x
x
y
y
y
p
a
x
x-
+
=
+
=
+
=
+
=p.
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0
）点N到AB的距离为p
a
p
a
2
2
|
2
|
=
-
+。

从而S△NAB=2
2
22
2
2
4
)
(4
2
2
1
p
ap
p
p
a
p
a+
=
⋅
-
+
⋅
⋅
当a 有最大值－
4
p 时，S 有最大值为2p 2。

7. 解析：
（Ⅰ）由题意，得2a c
c a
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得1,a c == ∴2
2
2
2b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2
2
12
y x -=. （Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆222x y +=上，圆在点()00,P x y 处的切线方程为
()0000
x y y x x y -=--，化简得002x x y y +=.由2
20
012
2
y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22
002x y +=得 ()222
00344820x
x x x x --+-= ①
()222
00348820x
y y x x ---+= ②
∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2
002x <<， ∴20340x -≠，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ， 则22
00121222
008228
,3434
x x x x y y x x --==--， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+=，∴ AOB ∠的大小为90︒
.
（∵22002x y +=且000x y ≠，∴220002,02x y <<<<，从而当2
0340x -≠时，方程①和方程
②的判别式均大于零）.
8.解析： 设直线l ：b kx y +=代入
m y x =-22得：
02)1(222=----m b bkx x k ，
0>∆得：0)1(2
2
>-+k m b ，
设),(11y x B ，),(22y x C ，
则有22112k bk x x -=+，2
2211)(k
m b x x -+-=，设),(33y x A ，),(44y x D ，易得：k b
x -=13，k b x +-=14，由||||||CD BC AB ==得||31||AD BC =，
故||31||4321x x x x -=-，代入得|12|311)(4)12(2
2222k b k
m b k bk -=-++-， 整理得：)1(8922
-=
k m b ，又|1|2||k b OA -=，|1|2||k
b OD +=，︒=∠90AOD ，
∴AOD S ∆=m k b 8
9
|1|2
2=-为定值. （2）设BC 中点为P ，AD 中点为Q 则22112k bk x x x p -=+=，2
4312k bk
x x x Q
-=+=，所以Q P x x =，P 、Q 重合，从而||||DP AP =，从而||||CD AB =，又BO C ∆的面积等于AOD ∆面
积的31，所以||3
1
||AD BC =，从而||||||CD BC AB ==.。