江苏省南通市海安县实验中学2016届高三第十三次练习数

海安实验高中2016届高三数学练习十三
海安实验高中2016届高三数学练习十三理科附加
22. （本小题满分10分)
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝AC＝4，AA1⊥平面ABC；AB⊥AC，（1）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
（2）在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，求BD
BC1
的值．1A
1
B
1
C
A
B
C
23. 已知函数0sin ()(0)x
f x x x
=
>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）计算01()()f x xf x +，122()()f x xf x +，233()()f x xf x +； （2）猜想1()()n n nf x xf x -+关于n 的解析式(非分段函数式)，并证明
海安实验高中2016届高三数学练习十三答案
【解答题答案】 15.
16.
17.
18.
19.
20.
【附加题答案】 21B.
21C.
22. 解： （1）如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ,
则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4), 设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(,
则11100
A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ,即34040y z x -=⎧⎨
=⎩, 令3z =,则0x =,4y =,所以(0,4,3)n =. 同理可得,平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =, 所以16
cos 25
⋅=
=
n m n,m |n ||m |. 由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角,
所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为16
25. ………5分 （2）设D (,,)x y z 是直线BC 1上一点,且1BD BC λ=
. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解
得4x λ=,33y λ=-,4z λ=.
所以(4,33,4)AD λλλ=-
.
由1·0AD A B = ,即9250λ-=.解得925
λ=
. 因为9
[0,1]25
∈,所以在线段BC 1上存在点D , 使得AD ⊥A 1B . 此时,
19
25
BD BC λ==
. ………10分
23. （1）01()()cos sin()2
f x xf x x x π
+==+
，
122()()cos()sin sin()2f x xf x x x x π
π+=+=-=+，
2333()()sin()2
f x xf x x π+=+
， （2）1()()sin()2
n n n nf x xf x x π-+=+
下面我们用数学归纳法证明1()()sin()2
n n n nf x xf x x π
-+=+对一切*n N ∈都成立， （1）1n =时命题已经成立，
（2）假设n k =时，命题成立，即1()()sin()2
k k k kf x xf x x π-+=+
， 对此式两边求导可得1'()()'()cos()2k k k k kf x f x xf x x π-++=+
1sin()2
k x π+=+， 即11
(1)()()sin()2
k k k k f x xf x x π++++=+
，因此1n k =+时命题也成立. 综合（1）（2）等式1()()sin()2
n n n nf x xf x x π
-+=+对一切*n N ∈都成立. .
16
. 17.
19.
22.
1
A 1
B 1
C A
B
C。