【易错题】九年级数学下期中第一次模拟试题及答案(1)

【易错题】九年级数学下期中第一次模拟试题及答案(1)
一、选择题
1．有一块直角边AB=3cm ，BC=4cm 的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A ．
67
B ．
3037
C ．
127
D ．
6037
2．若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）都在反比例函数1
y x
=-的图象上，并且x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列各式中正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 3＜y 1
C ．y 1＜y 3＜y 2
D ．y 3＜y 1＜y 2
3．已知4A 纸的宽度为21cm ，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则4
A 纸的高度约为（ ）
A ．29.7cm
B ．26.7cm
C ．24.8cm
D ．无法确定
4．对于反比例函数y=
1
x
，下列说法正确的是（ ） A ．图象经过点（1，﹣1） B ．图象关于y 轴对称
C ．图象位于第二、四象限
D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小
5．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k
x
与一次函数y ＝kx ﹣1（k 为常数，且k ＞0）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．在△ABC 中，若=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．105° 7．如果两个相似三角形对应边之比是1:3，那么它们的对应中线之比是（ ）
A ．1:3
B ．1:4
C ．1:6
D ．1:9
8．如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 处沿水平方向打入木桩底下，使木
桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm （如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A ．8tan20°
B ．
C ．8sin20°
D ．8cos20°
9．在平面直角坐标系中，点E （﹣4，2），点F （﹣1，﹣1），以点O 为位似中心，按比例1：2把△EFO 缩小，则点E 的对应点E 的坐标为（ ） A ．（2，﹣1）或（﹣2，1） B ．（8，﹣4）或（﹣8，4）
C ．（2，﹣
1）
D ．（8，﹣4）
10．如图，ABC △与ADE V 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是（ ）
A ．
AE AD
BE DC
= B ．
AE AB
AB AC
= C ．
AD AB
AC AE
= D ．
AE DE
AC BC
= 11．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ） A ．252-
B ．25-
C ．251-
D ．52-
12．如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，AD ⊥BC ，垂足为D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为
A ．
42
3
B ．2
C ．
82
3
D ．2
二、填空题
13．△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是_____．
14．在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2：3的两部分，连接BE 、AC 相
交于F ，则AEF CBF S S ∆∆：是_______．
15．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数k
y x
=
（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ▲ ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A （1，0），D （3，0），△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，若AB=2，则DE=______.
17．已知点(,)P m n 在直线2y x =-+上，也在双曲线1
y x
=-上，则m 2+n 2的值为______．
18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，B 在x 轴上，四边形OACB 为平行四边形，且∠AOB=60°，反比例函数y=
k
x
(k>0)在第一象限内过点A ，且与BC 交于点F ．当F 为BC 的中点，且S △AOF =123时，OA 的长为__________．
19．如图，若点 A 的坐标为 ()
1,3 ，则 sin 1∠ =________.
20．如果
a c e
b d f
===k （b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f ），那么k=_____． 三、解答题
21．已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 交于点G. (1)如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证：
DE AD
CF CD
=
； (2)如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得
DE AD
CF CD
=成立？并证明你的结论．
22．如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝22
，AC ＝2.求： （1）BC 的长； （2）sin ∠ADC 的值．
23．如图，在ABC ∆中，AB AC =,以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作
DE AB ⊥于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F .
（1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若
,且
,求⊙O 的半径与线段
的长.
24．如图，M 、N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M 、N 两点之间的直线距离，选择测量点A 、B 、C ，点B 、C 分别在AM 、AN 上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M 、N 两点之间的距离.
25．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡200
AB=米，坡度为1:3；将斜坡AB的高度AE降低20
AC=米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1:4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
试题解析：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=1
2
AB•BC=
1
2
AC•BP，
∴BP=
·3412
55 AB BC
AC
⨯
==．
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，
∴DE BQ AC BP
=．
设DE=x ，则有：125
125
5
x x -=，
解得x=60
37
，
故选D ． 2．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x 1＜0＜x 2＜x 3即可得出结论． 【详解】
∵反比例函数y =﹣
1
x
中k =﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．
∵x 1＜0＜x 2＜x 3，∴B 、C 两点在第四象限，A 点在第二象限，∴y 2＜y 3＜y 1． 故选B ． 【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
设A4纸的高度为xcm ，对折后的矩形高度为2
x
cm ，然后根据相似多边形的对应边成比例列方程求解. 【详解】
设A4纸的高度为xcm ，则对折后的矩形高度为2
x
cm ， ∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似， ∴21=212
x x
解得29.7=≈x 故选A. 【点睛】
本题考查相似多边形的性质，熟记相似多边形对应边成比例，找到对应边列出方程是关键. 4．D
解析：D
【解析】
A选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=1
x
的图象上，故本选项错
误；
B选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误；
C选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误；
D选项：∵k=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故是正确的．
故选B．
5．B
解析：B
【解析】
当k＞0时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A、C选项错误；
∵一次函数y=kx-1与y轴交于负半轴，
∴D选项错误，B选项正确，
故选B．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．
【详解】
由题意，得 cosA=，tanB=1，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．
故选C．
7．A
解析：A
【解析】
∵两个相似三角形对应边之比是1:3，
∴它们的对应中线之比为1:3.
故选A.
点睛: 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°． 【详解】
设木桩上升了h 米，
∴由已知图形可得：tan20°
=8
h
， ∴木桩上升的高度h =8tan20° 故选B.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用位似比为1：2，可求得点E 的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算． 【详解】
∵E （-4，2），位似比为1：2，
∴点E 的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）． 故选A ． 【点睛】
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论. 【详解】
由题意可得，A ABC DE ∽△△，所以AE DE
AC BC
=， 故选D . 【点睛】
在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C '.
11．A
解析：A 【解析】
根据黄金比的定义得：
12
AP AB =
，得1
422AP =⨯= .故选A. 12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知可知△ADC 是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得，在Rt △ABD 中，
由∠B=60°，可得BD=
tan 60AD ︒=3
，再由BE 平分∠ABC ，可得∠EBD=30°，从而可求
得DE 长，再根据AE=AD-DE 即可 【详解】 ∵AD ⊥BC ，
∴△ADC 是直角三角形， ∵∠C=45°， ∴∠DAC=45°， ∴AD=DC ， ∵AC=8，
∴，
在Rt △ABD 中，∠B=60°，∴BD=
tan 60AD ︒，
∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBD=30°，
∴DE=BD•tan30°=
33=3
，
∴AE=AD-DE==
故选C. 【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.
二、填空题
13．12【解析】【分析】根据位似是相似的特殊形式位似比等于相似比其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可【详解】解：∵△ABC 与△A′B′C′是位似图形位似比是1：2∴△ABC ∽△A′B′C′相似比是
解析：12 【解析】 【分析】
根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】
解：∵△ABC 与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2， ∴△ABC ∽△A′B′C′，相似比是1：2，
∴△ABC 与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC 的面积是3， ∴△A′B′C′的面积是12， 故答案为12． 【点睛】
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
14．或【解析】【分析】分两种情况根据相似三角形的性质计算即可【详解】解：①当时∵四边形ABCD 是平行四边形②当时同理可得故答案为：或【点睛】考查的是相似三角形的判定和性质平行四边形的性质掌握相似三角形的
解析：425：或925： 【解析】 【分析】
分2332AE ED AE ED ：＝：、：＝：两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】
解：①当23AE ED ：＝：时， ∵四边形ABCD 是平行四边形，
//25AD BC AE BC ∴，：＝：， AEF CBF ∴∆∆∽，
2
24255
AEF CBF S S ∆∆∴：＝（）＝：；
②当32AE ED ：＝：时，
同理可得，2
39255
AEF CBF S S ∆∆：＝（）＝：， 故答案为：425：或925：．
【点睛】
考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15．【解析】待定系数法曲线上点的坐标与方程的关系反比例函数图象的对称性正方形的性质【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的设小正方形的边长为b 图中阴影部分的面积等于9可求出b
解析：
3
y
x =．
【解析】
待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质．【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（3a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：
∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积．
设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6．
∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=3．
∵点P（3a，a）在直线AB上，∴3a=3，解得a=1．∴P（3，1）．
∵点P在反比例函数
3
y
x
=（k＞0）的图象上，∴k=3×1=3．
∴此反比例函数的解析式为：．
16．6【解析】【分析】利用位似的性质得到AB：DE=OA：OD然后把
OA=1OD=3AB=2代入计算即可【详解】解：∵△ABC与△DEF位似原点O是位似中心∴AB：DE=OA：OD即2：DE=1：3∴D
解析：6
【解析】
【分析】
利用位似的性质得到AB：DE=OA：OD，然后把OA=1，OD=3，AB=2代入计算即可．【详解】
解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴AB：DE=OA：OD，即2：DE=1：3，
∴DE=6．
故答案是：6．
【点睛】
考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
17．6【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图
象上点的特征得出n+m 以及mn 的值再利用完全平方公式将原式变形得出答案详解：∵点P （mn ）在直线y=-x+2上∴n+m=2∵点P （m
解析：6
【解析】
分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m 以及mn 的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．
详解：∵点P （m ，n ）在直线y=-x+2上，
∴n+m=2，
∵点P （m ，n ）在双曲线y=-
1x
上， ∴mn=-1，
∴m 2+n 2=（n+m ）2-2mn=4+2=6．
故答案为6．
点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m ，n 之间的关系是解题关键． 18．8【解析】分析：过点A 作AH⊥OB 于点H 过点F 作FM⊥OB 于点M 设OA=x 在由已知易得：AH=OH=由此可得S△AOH=由点F 是平行四边形AOBC 的BC 边上的中点可得BF=BM=FM=由此可得S△B
解析：8
【解析】
分析：
过点A 作AH ⊥OB 于点H ，过点F 作FM ⊥OB 于点M ，设OA=x ，在由已知易得：
，OH=12x ，由此可得S △AOH 2x 由点F 是平行四边形AOBC 的BC 边上的
中点，可得BF=
12x ，BM=14x ，FM=x ，由此可得S △BMF 2x ，由S △OAF =
可得S △OBF =S △OMF =2x +，由点A 、F 都在反比例函数k y x =的图象上可得S △AOH =S △BMF ，由此即可列出关于x 的方程，解方程即可求得OA 的值. 详解：
如下图，点A 作AH ⊥OB 于点H ，过点F 作FM ⊥OB 于点M ，设OA=x ，
∵四边形AOBC 是平行四边形，∠AOB=60°，点F 是BC 的中点，S △OAF =
∴，OH=12x ，BF=12x ，∠FBM=60°，S △OBF =
∴S △AOH =
28x ，BM=14x ，x ，
∴S △BMF =2332x ， ∴S △OMF =236332
x +， ∵由点A 、F 都在反比例函数k y x =
的图象上， ∴S △AOH =S △BMF ，
∴238
x =236332x +， 化简得：23192x =，解得：1288x x ==-，（不合题意，舍去），
∴OA=8.
故答案为：8.
点睛：本题是一道考查“反比例函数的图象和性质及平行四边形的性质”的综合题，熟记“反比例函数的图象和性质及平行四边形的性质”是解答本题的关键.
19．【解析】【分析】根据勾股定理可得OA 的长根据正弦是对边比斜边可得答案【详解】如图由勾股定理得：OA==2sin ∠1=故答案为
解析：
3 【解析】
【分析】 根据勾股定理，可得OA 的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．
【详解】
如图，由勾股定理，得：OA =22OB AB +=2．sin ∠1=3AB OA =，故答案为3．
20．3【解析】
∵=k∴a=bkc=dke=fk∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)∵a+c+e=3(b+d+f)∴k=3故答案为：3
解析：3
【解析】
∵a c e
b d f
===k，∴a=bk，c=dk，e=fk，∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)，
∵a+c+e=3(b+d+f)，∴k=3，故答案为：3.
三、解答题
21．（1）详见解析；（2）当∠B＋∠EGC＝180°时，DE AD
CF DC
=成立，理由详见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据矩形的性质可得∠A＝∠ADC＝90°，由DE⊥CF可得∠ADE＝∠DCF，即可证得△ADE∽△DCF，从而证得结论；
(2)在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．根据平行线的性质可得∠A＝∠CDM，再结合∠B+∠EGC＝180°，可得∠AED＝∠FCB，进而得出∠CMF＝
∠AED即可证得△ADE∽△DCM，从而证得结论；
【详解】
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴DE AD CF DC
=
(2)当∠B＋∠EGC＝180°时，DE AD
CF DC
=成立，证明如下：
在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，
则∠CMF＝∠CFM.
∵AB∥CD.∴∠A＝∠CDM.
∵AD∥BC，∴∠CFM＝∠FCB.
∵∠B＋∠EGC＝180°，∴∠AED＝∠FCB，
∴∠CMF＝∠AED，∴△ADE∽△DCM，∴DE AD
CM DC
=，即
DE AD
CF DC
=.
【点睛】
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
22．（1）BC ＝4；（2）sin ∠ADC
＝22
. 【解析】
（1）如图，作AE⊥BC， ∴CE =AC •cos C =1，∴AE =CE =1，1tan 3B =
， ∴BE =3AE =3，∴BC =4；
（2）∵AD 是△ABC 的中线，∴DE =1，
∴∠ADC =45°，∴2sin ADC ∠= 23．（1）证明参见解析；（2）半径长为
154，AE =6. 【解析】
【分析】
（1）已知点D 在圆上，要连半径证垂直，连结OD ，则OC OD =，所以
ODC OCD ∠=∠，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .由
DE AB ⊥得出OD EF ⊥，于是得出结论；（2）由35
OD AE OF AF ==得到35
OD AE OF AF ==，设3OD x =，则5OF x =.26AB AC OD x ===，358AF x x x =+=，362AE x =-，由363285
x x -=，解得x 值，进而求出圆的半径及AE 长.
【详解】
解：（1）已知点D 在圆上，要连半径证垂直，如图2所示，连结OD ，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠.∵OC OD =，∴ODC OCD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .∵DE AB ⊥，∴OD EF ⊥.∴EF 是⊙O 的切线；（2）在Rt ODF ∆和Rt AEF ∆中，∵35OD AE OF AF ==，∴35
OD AE OF AF ==. 设3OD x =，则5OF x =.∴26AB AC OD x ===，358AF x x x =+=.∵32EB =，∴362
AE x =-.∴
363285x
x -=，解得x =54，则3x=154,AE=6×54-32=6,∴⊙O 的半径长为154，AE =6.
24．5千米
【解析】
【分析】
先根据相似三角形的判定得出△ABC ∽△AMN,再利用相似三角形的性质解答即可
【详解】
在△ABC 与△AMN 中，305549AC AB ==，151.89
AM AN ==， ∴AC AM AB AN
=，
∵∠A=∠A ， ∴△ABC ∽△ANM ， ∴AC AM BC MN =，即30145MN =，解得MN=1.5(千米) ，
因此，M 、N 两点之间的直线距离是1.5千米.
【点睛】
此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握运算法则
25．斜坡CD 的长是8017
【解析】
【分析】
根据题意和锐角三角函数可以求得AE 的长，进而得到CE 的长，再根据锐角三角函数可以得到ED 的长，最后用勾股定理即可求得CD 的长．
【详解】
∵90AEB =︒∠，200AB =，坡度为3
∴3tan 33
ABE ∠==，
∴30ABE ∠=︒， ∴11002
AE AB ==， ∵20AC =，
∴80CE =，
∵90CED ∠=︒，斜坡CD 的坡度为1:4， ∴
14CE DE =， 即8014
ED =， 解得，320ED =，
∴CD =米，
答：斜坡CD 的长是
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．。