高三数学5月模拟考试试题理含解析试题

2021-2021学年度第二学期高三模拟考试
数学〔理科〕试题
第I 卷〔选择题，一共60分〕
一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕
{|x 1}A x =<，{}
21x B x =，那么〔 〕
A. {|1}A B x x ⋃=<
B. A B ={}x 0x
C. {|01}A
B x x =<<
D. {|0}A
B x x =<
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出集合B ，再利用交集定义和并集定义能求出结果． 【详解】由21x >得x ＞0，所以B ＝{x |x ＞0}． 所以A ∩B ＝{x |0<x <1}．A B R ⋃=， 应选：C ．
【点睛】此题考察交集、并集的求法及应用，涉及指数函数单调性的应用，是根底题． z 满足
1
z i z
+=，那么以下说法正确的选项是〔 〕 A. z 为纯虚数
B. z 的虚部为12
i -
C. 在复平面内，z 对应的点位于第二象限
D. z =
【答案】D 【解析】
【分析】
设z=a+bi ，利用复数的运算及复数相等的概念建立方程，解得z ，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】∵z +1=z i ，设z=a+bi ，那么(a+1)+bi=-b+ai ，
∴1a b a b +=-⎧⎨=⎩，解得12
12a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴11
22
z i =-
-． ∴|z
|2
=
，复数z 的虚部为12-，
复数z 在复平面内所对应的点的坐标为〔12-，1
2
-〕，在第三象限． ∴正确的选项是D ． 应选：D ．
【点睛】此题考察复数代数形式的乘法运算及复数相等的概念，考察复数的根本概念，是根底题．
()a 1,1=-，()b 2,3=-，且()
a a m
b ⊥+，那么m (= )
A.
2
5
B. 25
-
C. 0
D.
15
【答案】A 【解析】 【分析】
结合向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立等式，计算参数，即可。

【详解】()()()1,12,312,31a mb m m m m +=-+-=--，结合向量垂直断定，建立方程，
可得12310m m --+=，解得2
5
m =
，应选A 。

【点睛】考察了向量垂直的断定，考察了向量数量积坐标运算，难度中等。

{}n a 是等差数列，以下结论一定正确的选项是〔 〕
A. 假设120a a +>，那么230a a +>
B. 假设130a a +<，那么032<+a a
C. 假设120a a <<，那么2a >
D. 假设10a <，那么
()()21230a a a a --<
【答案】C 【解析】 【分析】
对选项分别进展判断，即可得出结论．
【详解】假设a 1+a 2＞0，那么2a 1+d ＞0，a 2+a 3＝2a 1+3d ＞2d ，d ＞0时，结论成立，即A 不正确；
对于B 选项，当12a a ，，3a 分别为-4，-1，2时，满足a 1+a 3＜0，但a 2+a 3＝1>0，故B 不正确；
又{a n }是等差数列，0＜a 1＜a 2，2a 2＝a 1+a 3＞a 2，即C 正确； 假设a 1＜0，那么〔a 2﹣a 1〕〔a 2﹣a 3〕＝﹣d 2≤0，即D 不正确． 应选：C ．
【点睛】此题考察等差数列的通项公式的应用，考察分析问题的才能，比拟根底．
5.直线l 过抛物线C: x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，那么l 与C 所围成的图形的面积等于〔 〕
A.
43
B. 2
C.
83
D.
3
【答案】C 【解析】
试题分析：抛物线C 的焦点为(0,1)，直线1:=y l 与抛物线的交点为(2,1)±，因此
2
232
21
8(1)()|24123x S dx x x -=-=-=-⎰．
考点：积分的几何意义．
2
22,2()log (),2
x x f x x a x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为(2)f ，那么实数a 的取值范围为〔 〕
A. 0a <
B. 0a >
C. 0a
D. 0a ≥
【答案】D 【解析】 【分析】
由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得()21log x a +≥恒成立，可解得a 的范围．
【详解】当x 2≤时，f 〔x 〕＝22x 22x --=，单调递减，∴f 〔x 〕的最小值为f(2)=1， 当x ＞2时，f 〔x 〕＝()2log x a +单调递增，假设满足题意，只需()21log x a +≥恒成立， 即2x a +≥恒成立，
∴2x min a （）≥-，∴a ≥0，
应选：D ．
【点睛】此题考察了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，考察了指对函数的单调性，属于中档题．
7.0a b >>，且1=+b a ，b
a x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1，11log ab y a b ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，1log b z a =，那么x ，y ，z 的大小关系是〔 〕 A. y x z >>
B. z y x >>
C. x y z >>
D.
y z x >>
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意a ＞b ＞0，a +b ＝1，可得1＞a 1
2
＞＞b ＞0，利用指数函数和对数函数的单调性即可比拟大小．
【详解】∵a ＞b ＞0，a +b ＝1，∴1＞a 12
＞＞b ＞0， ∴111a b
＜＜，
∴x ＝〔1a 〕b ＞〔1a
〕0
=1， y ＝log 〔ab 〕〔11a b +〕＝ log 〔ab 〕1
ab =﹣1，
z ＝log b 1
b b log a log b a
=--=-＞1．
∴x ＞z ＞y ． 应选：D ．
【点睛】此题考察了对数函数的单调性的应用，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．
8.如图，网格纸上小正方形的为长为1，粗实线面出的是某几何体的三视图，该几何体的各
个面中有假设干个是梯形，这些梯形的面积之和为〔 〕
A. 6
B. 9
C.
152
D.
32
62
+
【答案】A 【解析】 【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解即可．
【详解】由三视图可知该几何体的各个面分别为，两个梯形PQCD 和PQBA ，一个矩形ABCD ，两个三角形PDA 和三角形QCB ， 所以两个梯形的面积相等，和为()1
212262
S =⨯⨯+⨯=． 应选：A ．
【点睛】此题考察三视图与直观图的关系，解题的关键是几何体的直观图的形状，考察空间
想象才能以及计算才能．
9.中国剪纸是一种用剪刀或者刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或者配合其他民俗活动的民间艺术；蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息，现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边.假设在正方形内随机取一点，那么该点取自黑色局部的概率为〔〕
A. 3
32
π
B.
(32)
2
-π
C.
(22)
4
π
D.
8
π
【答案】B
【解析】
【分析】
如下图，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，求出圆的面积，根据概率公式计算即可
【详解】如下图，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，
故BE＝O2E＝O2O＝r，
∴BO22
=，
∵BO2+O2O＝BO
1
2
=BD2
=，
∴2r +r 22
=
， ∴r 22
2
-=
， ∴黑色局部面积S ＝π〔
222-〕2322
2
-=π，正方形的面积为1， ∴在正方形内随机取一点，那么该点取自黑色局部的概率为
322
2
-π， 应选：B ．
【点睛】此题考察了几何概型的概率计算问题，确定面积为测度是关键．
()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||
2
π
ϕ，
4
为()f x 的零点：且()
4f x f π⎛⎫
⎪⎝⎭
恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭-上有最小值无最大值，那么ω的最大值是〔 〕 A. 11 B. 13
C. 15
D. 17
【答案】C 【解析】 【分析】 先根据x 4
π
=
为y ＝f 〔x 〕图象的对称轴，4
x π
=-
为f 〔x 〕的零点，判断ω为正奇数，
再结合f 〔x 〕在区间1224，ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上单调，求得ω的范围，对选项检验即可． 【详解】由题意知函数()()024
f x sin x x ππ
ωϕωϕ⎛
⎫
=+≤= ⎪⎝
⎭＞，
， 为y ＝f 〔x 〕图象的
对称轴，4
x π
=-
为f 〔x 〕的零点，∴
214n +•
22
ππ
ω=，n ∈Z ，∴ω＝2n +1． f 〔x 〕在区间1224，ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上有最小值无最大值，∴周期T ≥〔2412ππ+〕8π=，即28ππω≥，∴ω≤16．
∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω＝15， 当ω＝15时，由题意可得4
π
-⨯15+φ＝k π，φ4
π
=-
，函数为y ＝f 〔x 〕＝sin 〔15x 4
π
-
〕， 在区间1224，ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上，15x 4π-∈〔32π-，38π〕，此时f 〔x 〕在x 2π=-时获得最小值，
∴ω=15满足题意． 那么ω的最大值为15， 应选：C ．
【点睛】此题考察的知识点是正弦型函数的图象和性质，考察了分析转化的才能，难度较大．
11.在直角坐标平面内，)0,2(-A ，n 以及动点C 是ABC ∆的三个顶点，且
sin sin 2cos 0A B C -=，那么动点C 的轨迹曲线Γ的离心率是〔 〕
B.
2
D. 3
【答案】A 【解析】 【分析】
将sinAsinB-2cosC=0，化简得tanAtanB=2，即2AC BC k k ⋅=-，设C 〔x ，y 〕，依题意得
2AC BC k k ⋅=-，由A 〔﹣2，0〕，B 〔2，0〕，得
()2022
y y
y x x ⋅=-≠+-，由此能求出动点C 的轨迹方程，进而求得离心率．
【详解】∵sinAsinB -2cosC=0，∴sinAsinB=2cosC=-2cos 〔A+B 〕=-2(cosAcosB-sinAsinB)， ∴sinAsinB=2cosAcosB，即tanAtanB=2，∴2AC BC k k ⋅=-， 设C 〔x ，y 〕，又A 〔﹣2，0〕，B 〔2，0〕， 所以有
()2022
y y
y x x ⋅=-≠+-，， 整理得()221048x y y +=≠
，∴a c 2==，
离心率是c a = 应选A ．
【点睛】此题考察了三角函数的化简，考察了点的轨迹方程的求法及椭圆的离心率，属于中档题.
2,0,()ln ,0,x x x f x x x x
⎧+⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x ax =-，假设()g x 有4个零点，那么a 的取值范围为
〔 〕 A. 20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 10,
2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.
()
2,1e
D. 1,12e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得x=0为1个零点，只需要x ≠0时，21,0a 0x x lnx x x ，+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，即y=a 与y 2
1,00x x lnx
x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，
有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y 2
1,00x x lnx x x +≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩，的图象，即可得出结论．
【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当x 0≠时，由题意可得21,0
a 0x x lnx x x ，+≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩，即y=a 与
y 2
1,0
0x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，有3个交点且交点的横坐标不为0，
令h(x)=2 x 0lnx x >，,那么h′〔x 〕=3
12l 0nx
x -=，那么x=12
e ，且在〔0，12e 〕单增，在〔1
2e ∞+，〕上单减，
∴y 2
1,0
0x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，的大致图像如图：
又h(1
2e )=1 2e
，
假设y=a 与y 2
1,0
0x x lnx x x +≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩，有3个交点且交点的横坐标不为0，那么10a 2e <<，
应选B.
【点睛】此题考察分段函数的零点，考察了利用导数解决函数零点的问题，考察了分析转化问题的才能，属于中档题．
第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕
6
2
x
⎫
⎪
⎭
的展开式中，常数项的数值为________.
【答案】60
【解析】
【分析】
通过二项式展开式的通项，令x的指数等于零，求得r的值，从而求得常数项.
【详解】
3
63
2
166
2
2
r
r r
r r r
r
T C C x
x
--
+
⎛⎫
==⋅⋅
⎪
⎝⎭
当
3
30
2
r
-=，即2
r=时，常数项为22
6
260
C⋅=,故填60.
【点睛】本小题主要考察二项式展开式的通项公式.需要将二项展开式公式化简后，再来求指定项的值.属于根底题.
x，y满足约束条件
10,
220,
2,
x y
x y
y
--
⎧
⎪
+-
⎨
⎪
⎩
那么z x y
=+的最大值为________.
【答案】5
【解析】
【分析】
首先画出平面区域，利用z的几何意义求最大值．
【详解】x，y满足平面区域如图：
z=x+y 代表直线y=-x+z ，其中z 为直线的截距， 当直线y ＝﹣x +z 经过A 〔3，2〕时，z 最大， 所以z 的最大值为5； 故答案为5．
【点睛】此题考察了简单线性规划问题，正确画出平面区域及利用目的函数的几何意义求最值是关键．
}{n a 的各项均为正数，记n S 为}{n a 的前n 项和，假设2
112n
n n n
a a a a ++=-*()n N ∈，11a =，
那么使不等式2019n S >成立的n 的最小值是________. 【答案】11 【解析】 【分析】
由2
112n n n n
a a a a ++=-可得数列{a n }是等比数列，利用等比数列求和公式计算n S ，解不等式即
可.
【详解】由2112n n n n
a a a a ++=-可得22
1120n n n n a a a a ++--=，那么〔12n n a a +-〕〔1n n a a ++〕
=0，
又数列{}n a 的各项均为正数，∴120n n a a +-=，
即12n n a a +=，可得数列{a n }是首项为11a =公比为q ＝2的等比数列，
∴21
21201921
n n n S -==->-,那么n>10，又*n N ∈，∴n 的最小值是11，
故答案为11.
【点睛】此题考察了数列递推关系的应用，考察了等比数列的判断及求和公式，考察了指数不等式的解法，属于中档题．
111ABC A B C -的底面边长为23，D 为1BB 的中点，平面1ADC 与平面ABC 所成的锐二
面角的正切值是
1
2
，那么四棱锥11A BCC B -外接球的外表积为________.
【答案】19π 【解析】 【分析】
延长C 1D 与CB 的延长线交于点M ，连接AM ．推导出D 也是C 1M 的中点，AM∥DE，AM⊥平面ACC 1A 1，可得1CC 3；再根据四棱锥A-BC 11C B 外接球即为正三棱柱ABC-111A B C 的外接球，找到球心位置，根据勾股数求得半径，即可得到外表积． 【详解】如图，延长C 1D 与CB 的延长线交于点M ，连接AM ． ∵B 1C 1∥BC，D 为BB 1的中点，∴D 也是C 1M 的中点，
又取E 是AC 1的中点，∴AM∥DE． ∵DE⊥平面ABB 1A 1，∴AM⊥平面ACC 1A 1．
∴∠C 1AC 为平面AC 1D 与平面ABC 所成二面角的平面角． ∴tan∠C 1AC 1
2=
，∴1CC 1AC 2
=，又AC ＝23，那么1CC 3，=
又四棱锥A-BC 11C B 外接球即为正三棱柱111ABC A B C -的外接球，其球心在底面ABC 中心
正上方的32处，又底面外接圆的半径为2r=234,
π
sin 3
=∴222319R r 24=+=（）， ∴四棱锥11A BCC B -外接球的外表积为24πR 19?π=，
故答案为19
π.
【点睛】此题考察球的组合体问题，考察了线面垂直的证明，考察四棱锥外接球半径的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，是中档题．
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕
17.ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设2
sin()4sin 2
B
A C +=. 〔1〕求
B cos ；
〔2〕假设2b =，ABC ∆面积为2，求c a +的值.
【答案】〔1〕3
5
；〔2〕【解析】 【分析】
〔1〕化简sin 〔A+C 〕=42
2
B
sin
，平方得到关于cosB 的方程，解之即可. 〔2〕由三角形面积公式可得ac ，再由余弦定理解得a+c. 【详解】〔1〕由题设及A B C π++=，得2
sin 4sin
2
B
B =， 故()sin 21cos B B =-.上式两边平方，整理得25cos 8cos 30B B -+=， 解得cos 1B =〔含去〕，3
cos 5
B =. 〔2〕由3cos 5B =
，得4sin 5B =，又1
sin 22
ABC S ac B ∆==，那么5=ac . 由余弦定理，2222cos b a c ac B =+- ()()()2
2
21cos 164a c ac B a c =+-+=+-=.
所以a c +=【点睛】此题考察了三角形面积公式及余弦定理的运用，考察了二倍角公式的应用，属于根底题．
18.为建立健全国家学生体质安康监测评价机制，鼓励学生积极参加身体锻炼，教育部印发?国家学生体质安康HY 〔2021年修订〕?，要求各每学年开展覆盖本校各年级学生的?HY?测试工作.为做好全的迎检工作，某在高三年级开展了一次体质安康模拟测试〔安康指数满分是100分〕，并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的安康指数绘制了如下图的频率分布直方图.
〔1〕估计这200名学生安康指数的平均数x 和样本方差2s 〔同一组数据用该组区间的中点值作代表〕；
〔2〕由频率分布直方图知，该学生的安康指数X 近似服从正态分布(
)2
,N μσ，其中μ近
似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . ①求(63.498.2)P X <<；
②该高三学生约有10000名，记体质安康指数在区间()63.4,98.2的人数为ξ，试求E ξ. 1.35 1.16≈， 假设随机变量X 服从正态分布(
)2
,N μσ
，那么683.0)(≈+<<-σμσμX P ，
(22)0.955P X μσμσ-<<+≈,
997.0)33(≈+<<-σμσμX P .
【答案】〔1〕75，135；〔2〕①0.819；②8190. 【解析】 【分析】
〔1〕以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均数x ，根据方差公式计算2s ； 〔2〕①利用正态分布的性质求得(63.498.2)P X <<； ②根据二项分布的期望公式得出E ξ．
【详解】〔1〕由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下： 分值区间
[)40,50 [)50,60
[)60,70 [)70,80 [)80,90
[]90,100
频数 5
15
40
75
45
20
∴()1
4555515654075758545952075200
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯
=， ()()()()2222
251540454575557565758575200200200200s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯
()2
209575135200
+-⨯=.
〔2〕①由〔1〕知X 服从正态分布()75,135N ，且11.6σ≈， ∴11
(63.498.2)(-+2)=
0.9550.6830.81922
P X P X μσμσ<<=<<⨯+⨯=. ②依题意，ξ服从二项分布，即ξ～(
)
4
10,0.819B ，那么8190E np ξ==.
【点睛】此题考察了正态分布的性质与应用，考察了二项分布的期望公式，考察了频率平均数与方差的运算，属于中档题．
19.如图，圆柱1OO ，底面半径为1，高为2，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其途径最短时在侧面留下的曲线记为Γ：将轴截面ABCD 绕着轴1OO ，逆时针旋转θ(0)θπ<<角到1111D C B A 位置，边11B C 与曲线Γ相交于点P .
〔1〕当2
π
θ=时，求证：直线⊥11B D 平面APB ； 〔2〕当6
π
θ=
时，求二面角D AB P --的余弦值.
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕
213
13
. 【解析】 【分析】
〔1〕法一：建立如下图的空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面ABP 的法向量，可得结论；
法二：由条件推导出AB ⊥A 1B 1，AB ⊥OO 1，得到AB ⊥平面A 1B 1C 1D 1，可得AB ⊥B 1D 1，结合OP ⊥B 1D 1由此能证明直线B 1D 1⊥平面PAB ．
〔2〕以AB 所在直线为y 轴，过点O 与AB 垂直的直线为x 轴，1OO 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，分别求得两个面的法向量，利用向量法能求出二面角D ﹣AB ﹣P 的余弦值．
【详解】〔1〕方法一：当2
π
θ=
时，建立如下图的空间直角坐标系，
那么有()0,1,0A -，()0,1,0B ，()1,0,1P -，()11,0,2C -，
()11,0,0B -，()11,0,2D
()0,2,0AB ⇒=，()1,1,1AP =-.
设平面ABP 的法向量为(),,n x y z =，那么20
y x y z =⎧⎨
-++=⎩，
可取1x =，得()1,0,1n =，()112,0,2D B =--，11//D B n . 所以直线⊥11B D 平面APB .
方法二：在正方形1111D C B A 中，11//OP A C ，1111D B A C ⊥，∴11OP B D ⊥，
1
11111AB OO AB A B AB OO A B O ⊥⎫⎪
⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭
平面1111D C B A ，又11B D ⊂平面1111D C B A 所以11AB B D ⊥，又11OP B D ⊥，AB OP O ⋂=，AB ，OP ⊂平面APB 所以直线⊥11B D 平面APB .
〔2〕当6
π
θ=
时，以AB 所在直线为y 轴，过点O 与AB 垂直的直线为x 轴，1OO 所在的
直线为z 轴建立如图空间直角坐标系，()0,1,0A -
可得13123P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，所以1311,23AP ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，
设平面ABP 的法向量为()111,,m x y z =，那么
1111201
3110
23y x y z =⎧
⎪
⎫⎨-++=⎪⎪⎪⎝⎭⎩
，可取21=x ，得()2,0,3m =， 又平面ABD 的一个法向量为()1,0,0n =，那么213
cos ,13
m n =
所以二面角D AB P --213
. 【点睛】此题主要考察直线与平面的位置关系，二面角的大小等根底知识，考察了利用空间向量解决线面关系及空间角度问题，考察空间想象才能、推理论证才能和运算求解才能，属于中档题.
20.如图，椭圆22
22:1x y P a b
+=(0)a b >>的长轴12A A ，长为4，过椭圆的右焦点F 作斜率
为k 〔0k ≠〕的直线交椭圆于B 、C 两点，直线1BA ，2BA 的斜率之积为3
4
-
.
〔1〕求椭圆P 的方程；
〔2〕直线4:=x l ，直线B A 1，1A C 分别与l 相交于M 、N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC EF ⊥.
【答案】〔1〕13
42
2=+y x ；
〔2〕证明见解析. 【解析】 【分析】
〔1〕由长轴长为4可得a ，设出点B ，C 的坐标，利用斜率之积为34-，可得223
4
b a -=-，
即可得到b 2，可得椭圆方程；
〔2〕设直线BC 的方程为：y ＝k 〔x ﹣1〕与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，直线1A B 的方程为：y 1
12
y x =
+〔x +2〕与x=4联立，可得点M ，N 的坐标，可得线段MN 的中点E ．利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得EF k ，只要证明EF k k ⋅=-1即可．
【详解】〔1〕设()11,B x y ，()22,C x y ，因点B 在椭圆上，所以2
2112
2
1x y a b ，
故()222
21
12b y a x a
=-.又()1,0A a -，()2,0A a ，
所以12
211211BA BA y y b k k x a x a a ⋅=⋅=-+-，即2234
b a =，又2a =
，所以b =故椭圆P 的方程为13
42
2=+y x .
〔2〕设直线BC 的方程为：()1y k x =-，()11,B x y ，()22,C x y ，
联立方程组()22
143
1x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
，消去y 并整理得， ()2
2
2
2
4384120k x k x k +-+-=，那么3482221+=+k k x x ，2122412
43k x x k -=+.
直线B A 1的方程为()1122y y x x =
++，令4x =得1162
M y
y x =+， 同理，2
262
N y y x =
+； 所以()()()12
12121212
1263121
322224E M N kx x k x x k y y y y y x x x x x x ++-⎛⎫=
+=+= ⎪+++++⎝⎭， 代入化简得3
E y k =-，即点34,E k ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，又()1,0F ，
所以
3
13EF BC
k k k k -
=⋅=-，所以BC EF ⊥.
【点睛】此题考察了椭圆的HY 方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、互相垂直的直线斜率之间的关系，考察了推理才能与计算才能，属于难题．
()(1)1(0)kx f x x e x k =--->.
〔1〕假设()f x 在R 上单调递减，求k 的取值范围； 〔2〕假设0x >，求证：(2)(2)2x
x
x e x e x ---+<.
【答案】〔1〕02k <；〔2〕证明见解析.
【解析】 【分析】
〔1〕令f ′〔x 〕≤0在R 上恒成立，令()()g x f x ='，研究单调性求得g 〔x 〕的最小值，令其小于等于0，即可得出k 的范围；
〔2〕由〔1〕知当2k =时，()f x 在R 上单调递减，可得x>0时，那么()()00f x f <=，
()()00f x f ->=，从而()()221111x x x e x x e x -++->---，化简后令x t 2=，构造新函数可证得结论.
【详解】〔1〕因()f x 在R 上单调递减，所以()()11
0kx
f x e k kx =---'恒成立.
令()()()11kx
g x f x e k kx ==---'，那么()()2kx g x ke k kx =--'
因0k >，当2k x k ->
时，()0g x '<；当2
k x k -<时，()0g x '>， 所以()g x 在2,
k k -⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递增，在2,k k -⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递减， 所以()2
max 210k k g x g e k --⎛⎫==-
⎪⎝⎭
，即02k <.
〔2〕由〔1〕知当2k =时，()f x 在R 上单调递减，当x>0时，那么()()00f x f <=， 即()2110x
x e x ---<，又0x >时，0<-x ，那么()()00f x f ->=， 即()2110x
x e
x -++->，
从而()()221111x
x x e x x e x -++->---，
即()()221120x
x x e
x e x -++-+>，也即()()22222240x x x e x e x -++-+>
令20t x =>，那么()()2220t
t
t e t e t -++-+>， 即0x >时，()()222x
x
x e x e
x ---+<.
【点睛】此题考察了导数与函数单调性的关系，考察了利用函数单调性解决不等式的证明问题，运用了构造函数的技巧，属于较难题．
请考生在第22、23两题中任选一题答题.注意：只能做所选定的题目.假如多做，那么按所做的第一个题目计分. 选修4-4：坐标系与参数方程
O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立的极坐标系中，直线1:sin 4C πρθ⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭面直角坐标系xOy 中，曲线2cos ,
:1sin ,
x a C y a ϕϕ=⎧⎨=+⎩〔ϕ为参数，0a >〕.
〔1〕求直线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的极坐标方程； 〔2〕曲线3C 的极坐标方程为4
π
θ=(0)ρ>，且曲线3C 分别交1C ，2C 于A ，B 两点，假
设||4||OB OA =，求a 的值.
【答案】〔1〕1=+y x ,222sin 10a ρρθ-+-=；〔2〕a =【解析】 【分析】
〔1〕利用极坐标方程、参数方程与普通方程的互化公式直接转化即可；
〔2〕在直角坐标系下求得A 点的坐标，可得OB 长，即得B 的极坐标，代入2C 的极坐标方程即可.
【详解】〔1〕()1:sin sin cos 4222
C πρθρθρθ⎛
⎫
+
=⇒+= ⎪
⎝
⎭，即1=+y x . 由2:1x acos C y asin ϕϕ
=⎧⎨
=+⎩，消去参数ϕ得2C 的普通方程：()2
221x y a +-=.
又cos x ρθ=，2sin y C ρθ=⇒的极坐标方程为：()()2
2
2cos sin 1a ρθρθ+-=. 即2C 的极坐标方程为2
2
2sin 10a ρρθ-+-=.
〔2〕曲线3C 的直角坐标方程为y x = )0(>x ，由1
y x x y =⎧⎨
+=⎩，得11,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
2
OA =
，OB =即点B 的极坐标为22,4代入222sin 10a ρρθ-+
-=，得
a =.
【点睛】此题考察直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等根底知识，考察曲线的极坐标的应用，是根底题．
选修4-5：不等式选讲
()|1||2|f x ax x =+--.
〔1〕假设2a =，求不等式()2f x 的解集；
〔2〕假设关于x 的不等式()|1|f x x -在]2,1[上恒成立，务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕[5,1]-；〔2〕[1,0]-. 【解析】 【分析】
〔1〕分类讨论去绝对值符号，即可求出不等式的解集；
〔2〕由绝对值不等式的性质，不等式可化为|ax +1|≤1恒成立，只需11
211a a ⎧+⎪⎨+⎪⎩
，解得a 的
范围．
【详解】〔1〕当2a =时，()13,2131,223,2x x f x x x x x ⎧
--⎪⎪
⎪
=--<<⎨⎪
+⎪⎪⎩
，
()
2f x 等价于1,232x x ⎧⎪⎨⎪--⎩或者12
2
312
x x ⎧-<<⎪⎨⎪-⎩，或者232x x ⎧⎨+⎩ 解得51x -，所以不等式()2f x 的解集是[]5,1-. 〔2〕当[]
1,2x ∈时，()1f x x -等价于121ax x x +---，
即1
12ax x x +-+-.又[]1,2x ∈时，121x x -+-=，
所以11ax +在[]
1,2x ∈上恒成立，
只需11
211
a a ⎧+⎪⎨+⎪⎩，解得10a -.
所以a 的取值范围是[]1,0-.
【点睛】此题主要考察绝对值不等式的解法，考察不等式恒成立问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键，考察运算才能，属于根底题．
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

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乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。