2016-2017学年四川省资阳市高一下学期期末数学试卷(答案+解析)

四川省资阳市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）2sin cos的值是（）
A．B．C．D．1
2．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=1，a6=21，则a4=（）
A．22 B．16 C．11 D．5
3．（5分）直线的倾斜角是（）
A．B．C． D．
4．（5分）若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3
5．（5分）已知平面向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为（）A．10 B．5 C．﹣10 D．﹣5
6．（5分）已知2cos2x+sin2x=A sin（ωx+φ）+b（A＞0，0＜φ＜π），则A，φ，b的值分别为（）
A．B．
C．D．
7．（5分）若实数a，b满足，则ab的最小值为（）
A．B．2 C．2D．4
8．（5分）已知圆C的圆心在x轴上，点在圆C上，圆心到直线2x﹣y=0的距离为，则圆C的方程为（）
A．（x﹣2）2+y2=3 B．（x+2）2+y2=9 C．（x±2）2+y2=3 D．（x±2）2+y2=9
9．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°（即∠BAC=30°）的方向上；行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°（即∠CBE=75°）的方向上，且仰角为30°．则此山的高度CD=（）
A．m B．m C．m D．m
10．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=2a n，且，则=（）A．B．C．D．
11．（5分）若平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，则这两平行直线间的距离的最小值为（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为，则的取值范围为（）
A．[8，10] B．[9，11] C．[8，11] D．[9，12]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）求值sin75°=．
14．（5分）已知||=3，||=4，且＜，＞=120°，则|+|=．
15．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知每种产品各生产1吨所需原料及每天原料的可用限额如下表所示，如果生产1吨甲产品可获利润3万元，生产1吨乙产品可获利4万元，则该企业每天可获得最大利润为万元．
16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为，{b n}为等差数列，且b1=4，b3=10，
则数列的前n项和T n=．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等比数列{a n}中，2a4﹣3a3+a2=0，且，公比q≠1．
（1）求a n；
（2）设{a n}的前n项和为T n，求证．
18．（12分）已知直线l经过直线l1：2x﹣y﹣1=0与直线l2：x+2y﹣3=0的交点P，且与直线l3：x﹣y+1=0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C：（x﹣a）2+y2=8相交于P，Q两点，且，
求a的值．
19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求角C；
（2）若，△ABC的面积为，求a+b的值．
20．（12分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（0，5）．
（1）求b，c的值；
（2）若对任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的取值范围．
21．（12分）已知数列{a n}满足：．（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列的前n项和S n．
22．（12分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx﹣2．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，且，求k的值；
（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求证：直线CD过定点，并求出该定点的坐标．
【参考答案】
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C
【解析】2sin cos=sin=．
故选C．
2．C
【解析】等差数列{a n}中，a2=1，a6=21，
∴2a4=a2+a6=1+21=22
∴a4=11．
故选C．
3．C
【解析】直线的斜率为﹣，倾斜角是，
故选C．
4．B
【解析】因为两条直线平行，所以：
解得m=1
故选B．
5．D
【解析】∵平面向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），
∴t+=（t+6，﹣t﹣4），
∵⊥（t+），
∴=（t+6）﹣（﹣t﹣4）=0，
解得实数t=﹣5．
故选D．
6．A
【解析】∵2cos2x+sin2x=A sin（ωx+φ）+b（A＞0，0＜φ＜π），
∴cos2x+sin2x+1=A sin（ωx+φ）+b，
即sin（2x+）+1=A sin（ωx+φ）+b，∴A=，ω=2，φ=，b=1，
故选A．
7．D
【解析】实数a，b满足，则a，b＞0．
∴≥，可得ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号．
故选D．
8．D
【解析】设圆C的圆心（a，0）在x轴正半轴上，则圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2（a＞0），由点M（0，）在圆上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，
得，解得a=2，r=3．
∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=9．
同理设圆C的圆心（a，0）在x轴负半轴上，则圆的方程为（x+a）2+y2=r2（a＜0），
∴圆C的方程为：（x+2）2+y2=9．
综上，圆C的方程为：（x±2）2+y2=9．
故选D．
9．A
【解析】在△ABC中，AB=600，∠BAC=30°，∠ACB=∠CBE﹣∠BAC=45°，
由正弦定理得，即，
解得BC=300，
在Rt△BCD中，∵tan30°==，
∴CD=BC=100．
故选A．
10．A
【解析】数列{a n}满足a n+1=2a n，且，
可得数列{a n}为公比q为2的等比数列，
可得a1q2﹣a1=2，解得a1=，
则
===1﹣．
故选A．
11．C
【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示；
∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等；
联立方程组，
解得A（2，1），代入y=x+b′中，求得b′=﹣；
联立方程组，
解得B（1，2），代入y=x+b中，求得b=；
则两条平行线分别为y=x﹣，y=x+，
即2x﹣3y﹣1=0，2x﹣3y+4=0，
∴平行线间的距离为d==，
即两平行线间的最小距离为．
故选C．
12．B
【解析】∵AB⊥BC，∴AC是单位圆的直径，
∴=2=（﹣，﹣4），
设B（cosα，sinα），则=（cosα﹣，sinα﹣2），
∴=（cosα﹣8，sinα﹣6），
∴||2=（cosα﹣8）2+（sinα﹣6）2=101﹣16cosα﹣12sinα=101﹣20sin（α+φ），∴当sin（α+φ）=1时，||取得最小值=9，
当sin（α+φ）=﹣1时，||取得最大值=11．
故选B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
【解析】sin75°=sin（45°+30°）
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=×+×
=
故答案为
14．
【解析】=3×4×cos120°=﹣6，
∴（）2=+2+=9﹣12+16=13，
∴||=．
故答案为．
15．18
【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，
则，
目标函数为z=3x+4y．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．
由z=3x+4y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，
直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大，
解方程组，解得x=2y=3，
即B的坐标为（2，3），
∴z max=3x+4y=6+12=18．
即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故答案为18．
16．n×2n+2
【解析】∵数列{a n}的前n项和为，
∴a1=S1=3+8=11，
a n=S n﹣S n﹣1=（3n2+8n）﹣[3（n﹣1）2+8（n﹣1）]=6n+5，
n=1时，上式成立，
∴a n=6n+5．
∵{b n}为等差数列，且b1=4，b3=10，
∴b3=4+2d=10，解得d=3，
∴b n=4+（n﹣1）×3=3n+1，
∴==（n+1）•2n+1，
∴数列的前n项和：
T n=2×22+3×23+4×24+…+（n+1）×2n+1，①
2T n=2×23+3×24+4×25+…+（n+1）×2n+2，②
①﹣②，得：
﹣T n=8+23+24+…+2n+1﹣（n+1）×2n+2
=8+﹣（n+1）×2n+2
=﹣n×2n+2．
∴T n=n×2n+2．
故答案为n×2n+2．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）由等比数列{a n}中，2a4﹣3a3+a2=0，且，公比q≠1．
得：或q=1（舍去），
所以．
（2）证明：因为，，所以，
因为在R上为减函数，且恒成立，
所以当n∈N*，n≥1时，，
所以．
18．解：（1）直线l经过直线l1：2x﹣y﹣1=0与直线l2：x+2y﹣3=0的交点P，由，得，所以P（1，1）．
因为l⊥l3，所以k l=﹣1，
所以直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．
（2）由已知可得：圆心C到直线l的距离为，
因为，所以，
所以，
解得a=0或a=4．
19．解：（1）由已知及正弦定理得2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，
即2cos C sin（A+B）=sin C，
故2sin C cos C=sin C，
可得，
所以．
（2）由已知，，
又，
所以ab=6，
由已知及余弦定理得a2+b2﹣2ab cos C=7，
故a2+b2=13，从而（a+b）2=25，
所以a+b=5．
20．解：（1）因为f（x）=2x2+bx+c，所以不等式f（x）＜0即为2x2+bx+c＜0，由不等式2x2+bx+c＜0的解集为（0，5），
所以方程2x2+bx+c=0的两个根为0和5，
所以；
（2）由（1）知：f（x）=2x2﹣10x，
所以“对任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立”等价于
“对任意x∈[﹣1，1]，不等式2x2﹣10x+t≤2恒成立”，
即：对任意x∈[﹣1，1]，不等式t≤﹣2x2+10x+2恒成立，
所以t≤（﹣2x2+10x+2）min，x∈[﹣1，1]，
令g（x）=﹣2x2+10x+2，x∈[﹣1，1]，
则，
所以g（x）=﹣2x2+10x+2在[﹣1，1]上为增函数，
所以g min（x）=g（﹣1）=﹣10，
所以t≤﹣10，即t的取值范围为（﹣∞，﹣10]．
另解：由（Ⅰ）知：f（x）=2x2﹣10x，
所以“对任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立”等价于
“对任意x∈[﹣1，1]，不等式2x2﹣10x+t﹣2≤0恒成立”，
令g（x）=2x2﹣10x+t﹣2，x∈[﹣1，1]，则g max（x）≤0，x∈[﹣1，1]，
因为g（x）=2x2﹣10x+t﹣2在[﹣1，1]上为减函数，
所以g max（x）=g（﹣1）=10+t≤0，
所以t≤﹣10，即t的取值范围为（﹣∞，﹣10]．
21．（Ⅰ）证明：因为，
所以，
即：，
又因为，
所以
所以数列为等差数列，首项为，公差为d=1．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，
所以，
所以，
所以
=．
22．解：（1）因为，所以原点O到直线l的距离为，
又因为，
所以．
（2）由题意可知O，P，C，D四点共圆，且在以OP为直径的圆上，设，
则以OP为直径的圆的方程为：，
即，
又C，D在圆O：x2+y2=2上，
所以直线CD的方程为，
即．
因为t∈R，所以
所以直线CD过定点．。