记直角三角形“三边关系”的发现
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
老师很高兴 ， 等 了一 会 ， 大 部 分 人都 得 到这个结果后 ， 就问我 ： “ 你再想想 ， 这 个 等
方法２ ： 直接计算得： ｓ 梯 形 ＝ ÷（ 叶６ ） ．
式 与 原 来 的 图形 有 什 么关 系 ？有 没 有 特 别 老师没有就此罢休 ， 而是接着 问我们 ， 的发 现 ？ ”
此 解法依 托乘 法 公式 ， 巧 妙 地 从 两 个 已知条件ａ ＋ ｂ ＝ ４， ａ ２ ＋ ６ 。 ＝ １ ２ 出发 ， 利用 （ ａ ＋ ｂ ）
・
巧解 ， 现整理如下 ， 与大家分享．
解 ： ’ ． 。 ａ ＋ ｂ ＝ ４ ，
・ ． ．
（ ａ ２ ＋ ｂ ） ＝ ＋ ６ ＋ （ ａ ＋ ｂ ） ， 得￣ Ｊ ｔ ａ ３ ＋ ｂ ＝ ４ ０ ， 再
１ 一 麓数 掌
妙思 的妙 思
巧 解 一 道 竞 赛 填 空题
江 苏 省 东 台市 实 验 中学 七 （ ７） 班 贺妙 思
题 目： 若 ａ＋ｂ＝４， ａ ２ ＋ ６ ＝１ ２， 则０ ５ ＋６ ：
这是我去年４ 月参加第 二十五届 “ 希望 杯” 全 国数 学邀 请 赛 第２ 试 试 卷 上 的第 ２ ０
大 家 有 没 有 进 一 步 发现 什 么 呢 ？老 师 的 问
我 定 睛 一 扫 图形 ｌ ， 才发 现 ： 呀！ 怎 么是
题 一抛 出 ， 教 室里 立 即 鸦 雀无 声 ， 大 家 都 直 角 ｊ 角 形 的 ｉ边 关 系 呢 ？小 学 就 一 直 陪 陷入 了思 考 … … 伴 我 们 的直 角 ｉ 角形 ， 从 来 没 有 哪 个 老 师
薯
翻 冒 豳
Ｃ Ｈ Ｕ Ｚ Ｈ ０ Ｎ Ｇ Ｓ Ｈ ｉ 、 ｌ Ｇ Ｓ Ｈｌ Ｊｌ Ｅ
记直角三角形
“ 三边关系” 的发 现
江 苏 省 海 安 县 城 南 中学 七 （ ８） 班 陈颖 萍
在复习《 整 式 乘 法 与因式 分 解 》 这一 章 我 的 同 桌 却 说 ｍ 了… 一 个 与 众 不 同 的想 法 ， 时， 老师让我们思考教材第 ８ ９ 页“ 小 结 与 思 他把 图 １ 补 成 一 个大 的正 方 形 ，并指 出 ： 这 考” 中 的第 ４ 点， 完 成 两 个 直 角 三 角 形 的 拼 个 大 的 正 方 形 的 面 积 也 有 两 种 不 同 的 表
（ ａ ＋ ｂ） ＝１ ６ ， 即（ ｚ ２ ＋ ２ ＋ ６ ２ － １ ６ ．
利用 （ ａ ２ ＋ ６ ） （ ＋ ６ ） ＝ ａ ｓ ＋ ６ ｓ ＋ （ ｎ ６ ） （ ０ ＋ ６ ） ， 最
又 ． ’ ＋ ６ ＝１ ２ ． ａ ｂ ＝ ２ ．
终 得 到 ＋ ６ ＝ ４ ６ ４ ， 从０ 、 ｂ 的和 、 平 方 和 求 出 层 递进 ， 步步为 营 ， 其 构思 之精妙 ， 令 人 拍 案 叫绝 ！
如下一些方法 ．
老师 ： 同 学 们 能 用 本 章 的 整 式 乘 除 运
算将这个等式变形 吗？
很快 ， 我Ｉ ｒ １ ￣ ， Ｊ ｉ 个 三 角 形 的面 积 之和得 ： Ｓ 梯 形 ： ＋ ＋ ；
合并 ， 竟然还是 得出 了： ＋ ６ － Ｃ ．
２
接 着 老 师 让他 把 两 种 计 算 方 法 写 成 连
ｂ
等 的形式 ， 过 了 一会 又 让 他 擦 去 “ ｓ ＝ ” ． 这
图 ｌ
ｌ
时 黑 板 上 就 留下 了“ （ ａ ＋ ｂ ） ＝ ４ ×
２
” ．
解决 这 道 题 目并 不 【 术 】 难， 不 少 同学 说 小 学 里 就 曾求 过 类 似 的 面 积 ， 很 快 有 人 说 出
。 ＝ 么想 的 ． 于 是 我 胆 怯 地 汇 报 丫我 的 发 现 “ 直 角
进 行 了化 简 ， 竟 然 发现 这样 一个 等式 ：
Ｃ２
．
我 们都 举 起 了 手 ， 想说 出这个结论 ， 但
角 形 ■ 边 存 在 一种 平 方 关 系 … … ”
Ｔ ｎ ｔ ｅ ｌ Ｉ ｉ ｇ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
我想 ， 这 两种 方法计算 的结 果应 该相 等 ， 提 醒 我们 直 角 三角 形 的 三边 有这 种 平方 即 ｎ ６ ＋ （ ｚ ６ ＋
， ） ， ）
ｚ ： （ ｎ ＋ ６ ） ｚ ， 我 悄 悄 地
７
关 系 呀 ？是 不 是 我们 算 错 了 ？
老 师 发 现 了我 的犹 豫 ， 请我｝ 兑说 是 怎
（ 指 导教 师 ： 李长春 ）
、 ｂ 的立 方 和 ， 进 而得到ｏ 、 ｂ 的五 次方 和 ， 层 而 （ ａ ＋ ｂ ） （ ＋ ６ ） ＝ ＋ ｃ 击 ＋ ａ Ｚ ｂ ＋ ｂ ＝ ａ ３ ＋ ６ ４ － ０
ａ ｂ（ ｎ ＋ ６） ，
・ ． ．
４ｘ １ ２＝ ａ ３ ＋ｂ ＋２ｘ４，
题， 也 是填 空 题 的最 后 一题 ， 有 一 定 的难
度． 事后 ， 我 和 同学 一 起 探 究 ， 发 现 了一 种
＝ ＋ ６ － ４ － （ ａ ｂ） （ 叶 ６ ）
贝 Ｕ １ ２ ￣ ４ ０ ＝ ａ ｓ ＋ ６ ＋ ２ × ４ ，
故ａ ５ ＋ ６ ＝ ４ ６ ４ ．
图（ 图１ ） ， 并 让大 家 从 不 同 角度 计 算 这 个 图 永
形的面积． 老 师 让 他 剑 黑 板 上 嘲 出 爪 意 （ 如 图
２ ） ，并在 图旁 写 出 这 个 正 方 形 的 两 种 面积
１
表示 方 法 ： Ｓ ＝ （ ａ ＋ ｂ ） ２ ＿ ４ × 以＋ ｃ ．
则 ＋ ６ ＝ ４ ０ ． 又・ ． ・ （ ａ ２ ＋ ｂ ｚ ） （ ＋ ６ ） ＝ ＋ 。 ＋ ６ ２ ＋ ６ ｓ
方法２ ： 直接计算得： ｓ 梯 形 ＝ ÷（ 叶６ ） ．
式 与 原 来 的 图形 有 什 么关 系 ？有 没 有 特 别 老师没有就此罢休 ， 而是接着 问我们 ， 的发 现 ？ ”
此 解法依 托乘 法 公式 ， 巧 妙 地 从 两 个 已知条件ａ ＋ ｂ ＝ ４， ａ ２ ＋ ６ 。 ＝ １ ２ 出发 ， 利用 （ ａ ＋ ｂ ）
・
巧解 ， 现整理如下 ， 与大家分享．
解 ： ’ ． 。 ａ ＋ ｂ ＝ ４ ，
・ ． ．
（ ａ ２ ＋ ｂ ） ＝ ＋ ６ ＋ （ ａ ＋ ｂ ） ， 得￣ Ｊ ｔ ａ ３ ＋ ｂ ＝ ４ ０ ， 再
１ 一 麓数 掌
妙思 的妙 思
巧 解 一 道 竞 赛 填 空题
江 苏 省 东 台市 实 验 中学 七 （ ７） 班 贺妙 思
题 目： 若 ａ＋ｂ＝４， ａ ２ ＋ ６ ＝１ ２， 则０ ５ ＋６ ：
这是我去年４ 月参加第 二十五届 “ 希望 杯” 全 国数 学邀 请 赛 第２ 试 试 卷 上 的第 ２ ０
大 家 有 没 有 进 一 步 发现 什 么 呢 ？老 师 的 问
我 定 睛 一 扫 图形 ｌ ， 才发 现 ： 呀！ 怎 么是
题 一抛 出 ， 教 室里 立 即 鸦 雀无 声 ， 大 家 都 直 角 ｊ 角 形 的 ｉ边 关 系 呢 ？小 学 就 一 直 陪 陷入 了思 考 … … 伴 我 们 的直 角 ｉ 角形 ， 从 来 没 有 哪 个 老 师
薯
翻 冒 豳
Ｃ Ｈ Ｕ Ｚ Ｈ ０ Ｎ Ｇ Ｓ Ｈ ｉ 、 ｌ Ｇ Ｓ Ｈｌ Ｊｌ Ｅ
记直角三角形
“ 三边关系” 的发 现
江 苏 省 海 安 县 城 南 中学 七 （ ８） 班 陈颖 萍
在复习《 整 式 乘 法 与因式 分 解 》 这一 章 我 的 同 桌 却 说 ｍ 了… 一 个 与 众 不 同 的想 法 ， 时， 老师让我们思考教材第 ８ ９ 页“ 小 结 与 思 他把 图 １ 补 成 一 个大 的正 方 形 ，并指 出 ： 这 考” 中 的第 ４ 点， 完 成 两 个 直 角 三 角 形 的 拼 个 大 的 正 方 形 的 面 积 也 有 两 种 不 同 的 表
（ ａ ＋ ｂ） ＝１ ６ ， 即（ ｚ ２ ＋ ２ ＋ ６ ２ － １ ６ ．
利用 （ ａ ２ ＋ ６ ） （ ＋ ６ ） ＝ ａ ｓ ＋ ６ ｓ ＋ （ ｎ ６ ） （ ０ ＋ ６ ） ， 最
又 ． ’ ＋ ６ ＝１ ２ ． ａ ｂ ＝ ２ ．
终 得 到 ＋ ６ ＝ ４ ６ ４ ， 从０ 、 ｂ 的和 、 平 方 和 求 出 层 递进 ， 步步为 营 ， 其 构思 之精妙 ， 令 人 拍 案 叫绝 ！
如下一些方法 ．
老师 ： 同 学 们 能 用 本 章 的 整 式 乘 除 运
算将这个等式变形 吗？
很快 ， 我Ｉ ｒ １ ￣ ， Ｊ ｉ 个 三 角 形 的面 积 之和得 ： Ｓ 梯 形 ： ＋ ＋ ；
合并 ， 竟然还是 得出 了： ＋ ６ － Ｃ ．
２
接 着 老 师 让他 把 两 种 计 算 方 法 写 成 连
ｂ
等 的形式 ， 过 了 一会 又 让 他 擦 去 “ ｓ ＝ ” ． 这
图 ｌ
ｌ
时 黑 板 上 就 留下 了“ （ ａ ＋ ｂ ） ＝ ４ ×
２
” ．
解决 这 道 题 目并 不 【 术 】 难， 不 少 同学 说 小 学 里 就 曾求 过 类 似 的 面 积 ， 很 快 有 人 说 出
。 ＝ 么想 的 ． 于 是 我 胆 怯 地 汇 报 丫我 的 发 现 “ 直 角
进 行 了化 简 ， 竟 然 发现 这样 一个 等式 ：
Ｃ２
．
我 们都 举 起 了 手 ， 想说 出这个结论 ， 但
角 形 ■ 边 存 在 一种 平 方 关 系 … … ”
Ｔ ｎ ｔ ｅ ｌ Ｉ ｉ ｇ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
我想 ， 这 两种 方法计算 的结 果应 该相 等 ， 提 醒 我们 直 角 三角 形 的 三边 有这 种 平方 即 ｎ ６ ＋ （ ｚ ６ ＋
， ） ， ）
ｚ ： （ ｎ ＋ ６ ） ｚ ， 我 悄 悄 地
７
关 系 呀 ？是 不 是 我们 算 错 了 ？
老 师 发 现 了我 的犹 豫 ， 请我｝ 兑说 是 怎
（ 指 导教 师 ： 李长春 ）
、 ｂ 的立 方 和 ， 进 而得到ｏ 、 ｂ 的五 次方 和 ， 层 而 （ ａ ＋ ｂ ） （ ＋ ６ ） ＝ ＋ ｃ 击 ＋ ａ Ｚ ｂ ＋ ｂ ＝ ａ ３ ＋ ６ ４ － ０
ａ ｂ（ ｎ ＋ ６） ，
・ ． ．
４ｘ １ ２＝ ａ ３ ＋ｂ ＋２ｘ４，
题， 也 是填 空 题 的最 后 一题 ， 有 一 定 的难
度． 事后 ， 我 和 同学 一 起 探 究 ， 发 现 了一 种
＝ ＋ ６ － ４ － （ ａ ｂ） （ 叶 ６ ）
贝 Ｕ １ ２ ￣ ４ ０ ＝ ａ ｓ ＋ ６ ＋ ２ × ４ ，
故ａ ５ ＋ ６ ＝ ４ ６ ４ ．
图（ 图１ ） ， 并 让大 家 从 不 同 角度 计 算 这 个 图 永
形的面积． 老 师 让 他 剑 黑 板 上 嘲 出 爪 意 （ 如 图
２ ） ，并在 图旁 写 出 这 个 正 方 形 的 两 种 面积
１
表示 方 法 ： Ｓ ＝ （ ａ ＋ ｂ ） ２ ＿ ４ × 以＋ ｃ ．
则 ＋ ６ ＝ ４ ０ ． 又・ ． ・ （ ａ ２ ＋ ｂ ｚ ） （ ＋ ６ ） ＝ ＋ 。 ＋ ６ ２ ＋ ６ ｓ