椭圆函数滤波器响应

低通原型滤波器器件参数的确定
最平坦响应的低通原型滤波器至15阶时的衰减曲线如 下：
低通原型滤波器器件参数的确定
对于等波纹响应的低通原型滤波器，至10阶的滤波 器参数值列表如下(带内波纹0.01dB)：
LAr = 0.01dB
n g1
g2
g3
g4
g5
g6
g7
g8
g9
g10
g11
1 0.0960 1.0000
Rejection: it is parameter according to the specification of a filter
Qulity factor Q: Another parameter describing filter selectivity
Q = f0 / BW
微波网络综合法设计滤波器
• 一般先设计低通原型滤波器，实际的低通高 通带通带阻滤波器可由低通原型变换得到。
• 微波网络综合法设计滤波器时，将整个滤波 器看成是多级二端口网络的级联，实际中这 些二端口网络是串连电感并联电容。
微波网络综合法设计滤波器
• 由转移参量可以得到整个滤波器的频率响应特性。
A C
B D
1 0
RG 1
with ripple of 1dB
100 100
1
10
1
10
Comparison of Frequency response between Butterworht and Chebyshev Filters
典型滤波器响应
椭圆滤波器（elliptic filter）是利用椭圆函数（elliptic function） 的双周期函数性质设计的。
的相位不像幅度那样有较简单的表达式，器件参数求 解更复杂。至10阶的滤波器参数值列表如下：
n
g1
g2
g3
g4
g5
g6
g7
g8
就低通滤波器而言，如将巴特沃思滤波器与切比雪夫滤波器的幅频特 性加以比较，它们具有以下特点：
①在巴特沃思滤波器中，无论是通带还是阻带均表现为单调衰减， 并且不产生波纹；
②在切比雪夫滤波器中，通带内产生波纹，但阻带则为单调衰减； ③切比雪夫滤波器的截止特性比巴特沃思滤波器更为陡峭。
因而可以这样设想，如果在通带和阻带两方面都允许波纹存在，就能 得到截止特性比切比雪夫滤波器更为陡峭的滤波器。基于这种思路的滤 波器，就是由W.Cauer提出的椭圆滤波器。
ω＋c是k2截，止常频选率为，-3通dB带，为故(0，
k＝1。 带外衰减随频率增加而单调增加， ω>>ωc
时速,率L上≈升( ω。/ωc )2N, 所以衰减以每10倍频 20N dB的
典型滤波器响应
等波纹响应(Chebyshev响应)
L ＝ 1 ＋ k2 [ TN( ω /ωc ) ]2
式中TN(x)是Chebyshev函数，其多项式表示 为 T1(x) ＝x T2(x) ＝2x2－1 T3(x) ＝4x3－3x
IL dB
fLx fLp
fo
fHp fUx
Rejection
IL: RF insertion loss Rp: Ripple in the passband BW: Difference between upper and
lower freqencies at which the attenuation is 3 dB SF: Describing the sharpness of the response with the ratio between the Ax dB and the 3 dB bandwiths
TOPIC 4
Filters Design
Basic Filters1
0dB -3dB -Ax dB
0dB -3dB
Rp dB
fc fx Rp dB
Lowpass
Passband: 0 — fc (Hz) Stopband: fx—∞ (Hz)
3dB (Cutoff ) Frequency : fc (Hz) Maximum Passband Attenuation : 3dB Passband Ripple : Rp (dB) Stopband Frequency : fx (Hz) Minimum Stopband Attenuation : Ax
with ripple of 0.25dB
60
T( 0.5, 5, ) ): attennuation response of 5-order chebysT(h1e 7v -t)ype 70
with ripple of 0.5dB
80
T(1, 7, ) ): attennuation response of 7-order chebyshev-type 90
典型滤波器响应
• 实际的滤波器响应有以下几种：
最大平坦响应(Butterwoth响应)
等波纹响应(Chebyshev响应)
椭圆函数响应 线性相位响应
典型滤波器响应
最大平坦响应(butterwoth响应) L ＝ 1 ＋ k2 ( ω /ωc )2N
式中N是滤波器阶数， ωc )，通带边缘损耗为 1
~
C2=g2
Cn=gn
rL=gN＋1＝1
series inductance shunt capacitance
图中器件的编号从信号源端的g0一直到负载端的 gN+1. 两个电路同一编号的器件取值相同，给出同样 的频响。因此它们互为对偶电路。
低通原型滤波器器件参数的确定
原则上，可求任意N阶低通原型滤波器的器件参数 值。但工程应用时，N过大不实际。对于最平坦响应 的低通原型滤波器。前人将至10阶滤波器的参数值列 表如下：
1
0
R 1
1
j
C
0 1 1 1/ RL
0 1
1
R
RG
j C
j C 1
1 RL
RL
RG RL

1
S21= 2 / ( a + b + c + d ) 或 L ＝ 10 log 1 / |S21|2 ＝ 10 log |( a+b+c+d )/2|2
• 使频率响应满足指定的响应特性得到串连电 感并联电容的大小。
2 0.4488 0.4077 1.1007
3 0.6291 0.9702 0.6291 1.0000
4 0.7128 1.2003 1.3212 0.6476 1.1007
5 0.7563 1.3049 1.5773 1.3049 0.7563 1.0000
6 0.7813 1.3600 1.6896 1.5350 1.4970 0.7098 1.1007
•
其中 1 3 ••• 为零衰减频率，2 4 •••为无穷衰减频率，零衰减频率的个数与
无穷衰减频率的个数相等。
这种衰减特性与契比雪夫滤波器衰减特性相比，有如下特点： （1）通带内仍有契比雪夫滤波器响应的等波纹特性； （2）阻带内增加了有
限频率上的极点，也呈现等波纹特性；（3）过渡段区域的斜率更为陡峭。
Bandstop
Lower passband edge = fLp Upper passband edge = fHp Lower stopband edge = fLx Upper stopband edge = fUx Passband Bandwidth = fHp - fLp Passband Ripple = Rp dB
-Ax dB fx fc
Highpass
Passband: fc—∞ (Hz) Stopband: 0 — fx (Hz)
Rp dB
0dB -3dB
-Ax dB
fLx fLp
0dB -3dB
fLp fLx
-Ax dB
Rp dB
Basic of Filters
Bandpass
fo
fHp fUx
fo
fUx fHp
椭圆函数滤波器响应
典型滤波器响应
线性相位响应 Φ(ω) ＝ A ω[ 1 ＋ p (ω /ωc )2N]
式中Φ(ω) 滤波器电压转移函数的相位，p为常数。
通常良好的截止响应特性与良好的相位响应是一 对矛盾。
还可以有其他的响应，上述4种是最常用的。
低通原型滤波器器件参数的确定
低通原型滤波器器件参数的确定是一个道理简单计算
Maximun Passband Attenuation = 3dB
Minimum Stopband Attenuation = Ax
Center Frequency = fo = fHp fLp
Technical Parameters of Filter
0dB -3dB
-Ax dB
Rp dB
BW
2
T( 1 7 ) 2.25
2.5
where
2.7 5 33
0.1 0.1
0
0 1
10 1
20
B(3 )
B(3, ): attennuation response of 3-order butterworth-type
30
T( 0.25 3 ) 40
T( 0.25, 3, ) ): attennuation response of 3-order chebyTs(0h.5 e 5v -t)ype50
复杂的过程。在低通原型滤波器中，一般取g0＝1，
ωc＝1。
1L
对于N＝2的低通原型，
其结构图如右图所示：
~
C
R
由微波网络级联可得此电路的响应为 L=1+[(1-R)2+(C2R2+ L2- 2LCR2)ω2 +L2C2R2ω4]/4R
最平坦响应为 L=1+ k2ω4 得到 R=1, L = C = 21/2
10 0.8196 1.4369 1.8192 1.7311 1.9362 1.7590 1.9055 1.6527 1.5817 0.7446 1.1007
低通原型滤波器器件参数的确定
等波纹响应的低通原型滤波器至15阶时的衰减曲线如 下：
低通原型滤波器器件参数的确定
对于线性相位响应低通原型滤波器，因为转移参量
k=1 ω=1时衰减3dB
等波纹响应为 L=1+ k2(2ω 2－1)2 k=1 波纹3dB 得到 R=5.81, L=3.1 C = 0.53
低通原型滤波器器件参数的确定
一般低通原型滤波器的两种结构如下图所示。
rG=g0＝1
L2=g2
Ln=gn
~
C1=g1 C3=g3
rL=gN＋1＝1
shunt capacitance series inductance rG=g0＝1 L1=g1 L3=g3
Chebyshev Low-Pass Filters Response
Comparison between Butterworht and Chebyshev Filters
00 0.2 5
0.5
B(3 )
0.7 5
1
T( 0.25 3 ) 1.25
1.5
T( 0.5 5 ) 1.75
7 0.7969 1.3924 1.7481 1.6331 1.7481 1.3924 0.7969 1.0000
8 0.8072 1.4130 1.7824 1.6833 1.8529 1.6193 1.5554 0.7333 1.1007
9 0.8144 1.4270 1.8043 1.7125 1.9057 1.7125 1.8043 1.4270 0.8144 1.0000
T4(x) ＝8x4－ 8x2 ＋1 • • •
因为x<1时, |TN(x)|<1故通带内波纹为 1 ＋ k2，常 选为-3 dB，故 k＝1。 带外衰减随频率增加而单调 增加， ω>>ωc 时, 由TN(x)函数性质得到 L ≈ k2/4 ( 2ω /ωc )2N, 所以衰减也以每10倍频 20N dB的速率 上升。但其衰减比最平坦响应大 22N/4
典型滤波器响应
椭圆函数滤波器的衰减特性为：
LA 10 lg 1 2Cn()
其中，Cn()为 的分式有理多项式，其零点全部在通带 <1内，极点全部落 在阻带 >1内，具有如下形式
Cn() B ( 2 12 )( 2 32 ) • • • • • •
(
2
2 2
)( 2
2 4
)
•
•
•
•
•
Maximun Passband Attenuation = 3dB
Minimum Stopband Attenuation = Ax
Center Frequency = fo = fHp fLp
Lower passband edge = fLp Upper passband edge = fHp Lower stopband edge = fLx Upper stopband edge = fUx Stopband Bandwidth = fUx - fLx Passband Ripple = Rp dB