2023-2024学年浙江省宁波市江东区曙光中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)

2023-2024学年浙江省宁波市江东区曙光中学九年级（上）月考数学
试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.二次函数y=3x2−1图象开口方向是( )
A. 向上
B. 向下
C. 向左
D. 向右
2.如图点A，B，C是⊙O上的三点，且AB=4，BC=3，∠ABC=90°则⊙O的直径为
( )
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10
3.与抛物线y=2(x−1)2+2形状相同的抛物线是( )
A. y=1
2
(x−1)2 B. y=2x2
C. y=(x−1)2+2
D. y=(2x−1)2+2
4.掷一枚硬币3次有两次正面向上，一次反面向上，则第4次掷正面向上的可能性( )
A. 100%
B. 1
2C. 1
3
D. 1
4
5.二次函数y=−x2+2x+4，当−1≤x≤2时，则( )
A. 1≤y≤4
B. y≤5
C. 4≤y≤5
D. 1≤y≤5
6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=60°，⊙O的半径为3cm，则弦AC的长等于( )
A. 32cm
B. 33cm
C. 3
2
3cm
D. 3cm
7.如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为( )
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C满足二次函数y=ax2+bx的表达式，则对该二次函数的系数a和b判断正确的是( )
A. a>0，b>0
B. a<0，b<0
C. a>0，b<0
D. a<0，b>0
9.如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆O，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，若∠A=α，则∠DOE的度数为( )
A. 180−2α
B. 180−α
C. 90−α
D. 2a
10.如图，函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)经过点(−1,0)，
(m,0)，且1<m<2，下列结论：①abc>0；②a+b<0；③若点
A(−2,y1)，B(2,y2)在抛物线上，则y1<y2；④若1≤c≤2，则a的取值
范围是−2<a<−1
.其中结论正确的有( )
2
A. ②③④
B. ②④
C. ③④
D. ②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.圆内接正方形的每条边所对的圆心角的度数是______．
12.从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是______．
13.抛物线y=(k−1)x2−x+1与x轴有交点，则k的取值范围是______．
14.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C在AB，AC=2BC，OA=3，CD⊥OB于点
D，则图中阴影部分的面积为______．
15.如图，在半径为4的⊙O中，AB和CD度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度
的差为______．
16.新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2−x+c(c为常数)在−2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题6分)
(1)解方程组：{6x+5y=−1
2x−3y=−5；
(2)计算：−(−1)+23−9−(2−1)0．
18.(本小题8分)
如图，在10×10的网格图中，△ABC的三个顶点都在格斗上．
(1)在网格图中画出△ABC的外接圆圆O，并在网格图中标出圆心点O的位置；
(2)在网格图中画出把线段AC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到线段CD，并在网格图中标出点D的位置；判断点D是否落在圆O上，若点D落在圆O上，直接写出CD的长．
19.(本小题8分)
我校初三年级举行了“湘一梦，初三梦”演讲比赛，小明同学将选手成绩划分为A，B，C，D四个等级绘制了两种不完整统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)参加演讲比赛的学生共有人，扇形统计图中m=______，n=______，并把条形统计图补充完整；
(2)学校想从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加长沙市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率.(男生分别用代码A1、A2表示，女生分别用代码B1，B2表示) 20.(本小题8分)
如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
(1)求证：∠CAD=∠ABC；
(2)若AD=6，求CD的长．
、
某商场销售成本为每件40元的商品.据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件.设销售单价为x(x≥50)元．
(1)若按每件55元销售，每周销量为______件；毛利润为______元.
(2)求出一周销售量y(件)与x(元)的函数关系式和自变量x的取值范围．
(3)设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式，并确定当x在什么取值范围内变化时，毛利润w 随x的增大而增大．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F．
求证：(1)四边形DBCF是平行四边形；
(2)AF=EF．
23.(本小题10分)
有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=1
2∠D，∠C=1
2
∠A，求出∠B与∠C的度数之和；
(2)如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO.∠OBA的平分线交OA于点E，连接DE并延长交AC于点F，若∠AFE=2∠EAF.求证：四边形DBCF是半对角四边形．
如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”.已)，点M是抛物线C2：y=mx2−2mx−3m(m<0)的顶点．
知点C的坐标为(0,−3
2
(1)求A、B两点的坐标；
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)当△BDM为直角三角形时，求m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=3x2−1的二次项系数a=3>0，
∴抛物线开口向上．
故选：A．
由抛物线解析式可知，二次项系数a=3>0，可知抛物线开口向上．
本题考查了抛物线的开口方向与二次项系数符号的关系．当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下．
2.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意得到AC是直径是解此题的关键．
由点A，B，C是⊙O上的三点，∠ABC=90°，根据90°的圆周角对的弦是直径，可得AC是直径，然后由勾股定理求得答案．
【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴AC是直径，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=AB2+BC2=5，
即⊙O的直径为5．
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=2(x−1)2+2中，a=2，
∴与已知抛物线形状相同的是抛物线y=2x2．
故选B．
当二次项系数相同时，抛物线的形状相同．
二次项系数决定了抛物线的开口方向和开口大小．
4.【答案】B
，前面的结果对后面的概率是没有影响的，所以出现正面【解析】解：每次掷硬币正面朝上的概率都是1
2
向上的概率是相同的．
故选：B．
根据概率的意义就是事件出现的机会的大小，硬币出现正面向上与反面的机会相等，即可确定．
考查了可能性的大小的知识，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小是解答本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=−x2+2x+4=−(x−1)2+5，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，且a=−1<0，
∴当x=1时，二次函数有最大值为5，
∵|−1−1|>|2−1|
∴当x=−1时，二次函数有最小值为：−(−1−1)2+5=1，
综上所述，二次函数y=−x2+2x+4，当−1≤x≤2时，1≤y≤5，
故选：D．
先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向下，再根据变量x在−1≤x≤2的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值，即可确定y的取值范围．
本题考查了二次函数对称轴的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：连接OA，OC，作OE⊥AC于E，
∵∠ADC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°，
∵OA=OC，
∴∠AOE=∠COE=60°，AC=2AE，
，
∴sin∠AOE=AE
AO
∴AE=AO⋅sin∠AOE，
，
∴AE=3sin60°=33
2
∴AC=2AE=33，
故选：B．
由圆周角定理，锐角的正弦定义，即可求解．
本题考查圆的有关计算，关键是应用圆周角定理，锐角的正弦定义．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．连接AC、GE、EC，易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解．
【解答】
解：连接AC、GE、EC，如图所示：
则四边形ACEG为正方形，
∴∠EAG=45°，
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：过点A、B、C、O大致画出抛物线图象，如图所示．
观察函数图象，可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，−b
>0，
2a
∴b>0．
故选：D．
过点A、B、C、O大致画出抛物线图象，根据函数图象利用二次函数图象与系数的关系即可找出a、b的正负，此题得解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，过给定的点大致画出二次函数图象，利用二次函数图象与系数的关系找出a、b的正负是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：连接CD，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ACD=90°−∠A=90°−α，
∴∠DOE=2∠ACD=2(90°−α)=180°−2α．
故选：A．
连接CD，如图，根据圆周角定理得到∠BDC=90°，利用互余得到∠ACD=90°−α，然后根据圆周角定理得到∠DOE=2(90°−α)．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10.【答案】D
【解析】解：由所给抛物线可知，a<0，b>0，c>0，
所以abc<0，故①错误；
因为1<m<2，且抛物线与x轴的另一个交点横坐标为−1，
所以0<−b
2a <1
2
，
则a+b<0，故②正确；
因为抛物线的对称轴在直线x=0和直线=1
2
之间，
所以点A离对称轴的距离比点B远，
又抛物线开口向下，所以y1<y2，故③正确；
又因为a+b<0，
两式相加得，2a+c<0，
又1≤c≤2，
所以−1<a<−1
2
，故④错误．
故选：D．
根据所给的抛物线可得出a，b，c的正负，再利用抛物线的对称性和增减性即可解决问题．
本题考查了二次函数图象与系数之间的关系及二次函数图象上点的特征，能根据图像得出a，b，c的正负及巧用抛物线的对称性是解题的关键．
11.【答案】90°
【解析】解：圆内接正方形的一条边所对的圆心角的度数为：360°
4
=90°，
故答案为：90°．
根据圆内接正方形的中心角的概念计算即可．
本题考查的是正多边形与圆的关系，掌握正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解题的关键．
12.【答案】2
3
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
画树状图展示所有6种可等可能的结果数，再找出组成两位数是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】
解：画树状图为：
共有6种可等可能的结果数，其中组成两位数是偶数的结果数为4，
所以组成一个两位数为偶数的概率=4
6=2
3
．
故答案为2
3
．
13.【答案】k≤5
4
且k≠1
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点个数问题，通常是将其转化为求关于x的一元二次方程的根的个数问题．解题的关键是掌握根的判别式．
直接利用根的判别式得到b2−4ac=(−1)2−4×(k−1)×1≥0，再利用二次函数的定义得到k−1≠0，再解两个不等式即可得到k的取值范围．
【解答】
解：∵抛物线y=(k−1)x2−x+1与x轴有交点，
∴b2−4ac=(−1)2−4×(k−1)×1≥0，解得k≤5
4
，
又∵k−1≠0，
∴k≠1，
∴k 的取值范围是k ≤54
且k ≠1；故答案为：k ≤54且k ≠1．
14.【答案】32π−98 3
【解析】解：连接OC ，AC ，
∵点C 为AB
的三等分点，∠AOB =90°，
∴∠COD =30°，∠AOC =60°，
∵CD ⊥OB ，
∴S △OCD =S △ACD ，
∵∠CDO =90°，∠DOC =30°，OC =OA =3，
∴CD =32，OD =3
32
，∴图中阴影部分的面积=S △ACD +S 弓形AC =
12+×3 32×32+60π×32360−12×3×3 32=3π2−9 3
8，故答案为：32π−98 3．连接OC ，AC ，由点C 为AB 的三等分点，∠AOB =90°，得到∠COD =30°，∠AOC =60°，根据CD ⊥OB ，得到S △OCD =S △ACD ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形的面积的计算，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：如图，
连接OA 、OB ，则△OAB 为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°；
连接OC 、OD ，则△OCD 为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．
在CD 上取一点E ，使得CE =OC ，连接OE ，则△OCE 为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°．在△COE 与△OAB 中，
∵{
CO =OA =4
∠OCE =∠AOB =36°CE =OB =4
，∴△COE ≌△OAB (SAS )，
∴OE =AB ．
∵∠EOD =∠OEC−∠ODC =72°−36°=36°，
∴∠EOD =∠ODE ，
∴DE =OE ，
∴CD−AB =CD−OE =CD−DE =CE =4．
故答案为：4．
连接OA 、OB 、OC 、OD ，在CD 上取一点E ，使得CE =OC ，连接OE ，构造三个等腰三角形△OAB ，△OCD 与△OCE ；证明△COE ≌△OAB ，则有OE =AB ；利用等腰三角形性质证明DE =OE ，因此CD−AB =CD−DE =CE =4．
此题考查了圆心角、弧、弦的关系、全等三角形、等腰三角形等知识，解题关键是添加辅助线，构造等腰三角形．16.【答案】−4<c <94
【解析】解：由题意可得二倍点所在直线为y =2x ，
将x =−2代入y =2x 得y =−4，
将x =4代入y =2x 得y =8，
设A (−2,−4)，B (4,8)，如图，
联立方程x 2−x +c =2x ，
当Δ>0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，
即9−4c>0，
，
解得c<9
4
此时，直线x=−2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x=−2代入y=x2−x+c得y=6+c，
把x=4代入y=x2−x+c得y=12+c，
∴{6+c>−4
12+c>8，
解得c>−4，
满足题意．
∴−4<c<9
4
故答案为：−4<c<9
．
4
由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由−2<x<4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
17.【答案】解：(1){6x+5y=−1①
2x−3y=−5②，
①−②×3，得5x−(−9x)=−1−(−15)，
解得：x=−1，
将x=−1代入②，得2×(−1)−3y=−5，
解得：y=1，
所以原方程组的解为{x=−1
y=1．
(2)原式=1+8−3−1
=5．
【解析】(1)①−②×3可消去未知数x，求出未知数y，再把y的值代入即可；
(2)按照实数的运算法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查解二元一次方程组、实数的运算及零指数幂的运算，熟练掌握解二元一次方程组的方法及实数的运算和零指数幂的运算法则即可得出答案．
18.【答案】解：(1)如图，点O即为所求；
(2)点D落在圆O上，
连接OC，OD，
∵∠COD=90°，OC=22+32=13，
∴弧CD的长=90π⋅13
180=13
2
π．
【解析】(1)线段BC，线段AB的垂直平分线的交点O即为所求；
(2)利用旋转变换的性质作出点A的对应点D，点D在⊙O上，再利用弧长公式求解．
本题考查作图−应用与设计作图，垂径定理，弧长公式等知识，解题的关键是理解三角形的外心是各边垂直平分线的交点，属于中考常考题型．
19.【答案】1040
【解析】解：(1)根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：12÷30%=40(人)，
∴m%=4
40
×100%=10%，
∴m=10，
∵n%=1−30%−20%−10%=40%，
∴n=40；
B等级人数40×20%=8人
如图：
故答案为：10，40；
(2)画树状图得：
，
∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，
∴A等级中一男一女参加比赛的概率为：8
12=2
3
．
(1)根据D等级可以求出参加演讲比赛的学生数，然后由扇形统计图的知识，可求得m，n的值，继而补全统计图；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A等级中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAD=∠ABC；
(2)∵∠CAD=∠ABC，
∴CD=AC，
∵AD是⊙O的直径，AD=6，
∴CD的长=1
2×1
2
×π×6=3
2
π.
【解析】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，弧长公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
(1)由角平分线的定义和圆周角定理可得∠DBC=∠ABC=∠CAD；
(2)由圆周角定理可得CD=AC，由弧长公式可求解．
21.【答案】4506750
【解析】解：(1)由题意得，若按每件55元销售，每周销量为500−(55−50)×10=450(件)，
毛利润为(55−40)×450=6750(元)．
故答案为：450；6750．
(2)由题意得，y=500−(x−50)×10=1000−10x(x≥50)．
(3)由题意得，
w=(x−40)y=(x−40)(1000−10x)=−10x2+1400x−40000=−10(x−70)2+9000(x≥50)，
∵−10<0，
∴当50≤x≤70，毛利润w随x的增大而增大．
(1)由“若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件”知，按每件55元销售，每周销量为
500−(55−50)×10(件)，利润=销售数量×(售价−成本)；
(2)直接根据“如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件”即可求解；
(3)利用“利润=销售数量×(售价−成本)”可得w关于x的二次函数，于是利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查二次函数的应用．利用二次函数解决利润问题：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
22.【答案】证明：(1)∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B，
∵DF//BC，
∴∠ADF=∠B，
∵∠BAC=∠CFD，
∴∠ADF=∠CFD，
∴BD//CF，
∵DF//BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
(2)连接AE，
∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF，
∴∠AEF=∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF=180°，
∵BD//CF，
∴∠ECF+∠B=180°，
∴∠EAF=∠B，
∴∠AEF=∠EAF，
∴AF=EF．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得出∠BAC=∠B，根据平行线的性质得出∠ADF=∠B，求出
∠ADF=∠CFD，根据平行线的判定得出BD//CF，根据平行四边形的判定得出即可；
(2)求出∠AEF=∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF=180°，根据平行线的性质得出
∠ECF+∠B=180°，求出∠AEF=∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．
本题考查了圆周角定理及其推论，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23.【答案】(1)解：∵在半对角四边形ABCD中，∠B=1
2∠D，∠C=1
2
∠A，
∴∠D=2∠B，∠A=2∠C，
∵∠A+2B+∠C+D=360°，
∴3∠B+3∠C=360°，
∴∠B+∠C=120°．
(2)证明：∵BE是∠OBA的平分线，
∴∠DBE=∠OBE，
∵DE=OE，BE=BE，
∴△BDE≌△BOE (SSS)，
∴∠BDE=∠BOE，
又∵∠ACB=1
∠BOA，
2
∠BDE，
∴∠ACB=1
2
连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
设∠OAC=∠OCA=x，
∵∠AFE=2∠EAF，
∴∠AFE=2x，
∴∠DFC=180°−2x，
∵∠AOC=180°−2x=2∠ABC，
∴∠DFC=2∠ABC，
∠DFC，
∴∠ABC=1
2
∴四边形BCFD是半对角四边形．
【解析】(1)根据半对角四边形的定义和四边形的内角和为360°求解即可；
(2)证明△BDE≌△BOE得出∠BDE=∠BOE，进而可证得∠BDE=2∠C，连接OC，设∠OAC=∠OCA=x，可得∠AFE=2x，∠DFC=180°−2x，∠AOC=180°−2x=2∠ABC，即可证得结论；
本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理等知识，理解新定义，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
24.【答案】解：(1)y =mx 2−2mx−3m =m (x−3)(x +1)，∵m ≠0，
∴当y =0时，x 1=−1，x 2=3，
∴A (−1,0)，B (3,0)；
(2)设C 1：y =ax 2+bx +c ，将A 、B 、C 三点的坐标代入得：{a−b +c =09a +3b +c =0
c =−32
，
解得{a =12
b =−1
c =−32
，
故C 1：y =12x 2−x−32．
如图：过点P 作PQ //y 轴，交BC 于Q ，由B 、C 的坐标可得直线BC 的解析式为：y =12x−32，
设P (x ,12x 2−x−32)，则Q (x ,12x−32)，
PQ =12x−32−(12x 2−x−32)=−12x 2+32x ，S △PBC =S △PCQ +S △PBQ =12PQ ⋅OB =12×(−12x 2+32x )×3=−34(x−32)2+2716，当x =32时，S △PBC 有最大值，Smax =2716，12×(32)2−32−32=−158，
P (32,−158)；
(3)y =mx 2−2mx−3m =m (x−1)2−4m ，顶点M 坐标(1,−4m )，
当x =0时，y =−3m ，
∴D (0,−3m )，B (3,0)，
∴DM 2=(0−1)2+(−3m +4m )2=m 2+1，MB 2=(3−1)2+(0+4m )2=16m 2+4
，
BD2=(3−0)2+(0+3m)2=9m2+9，
当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，
解得m=−1(∵m<0,∴m=1舍去)；
②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，
解得m=−2
2(m=2
2
舍去)．
综上，m=−1或−2
2
时，△BDM为直角三角形．
【解析】(1)将y=mx2−2mx−3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
(2)先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ//y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；
(3)先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
第21页，共21页。