(新课程)高中数学二轮复习精选《必考问题20-数学思想在解题中应用(二)》课程-新人教版

第四次：sin 2π＞sin32π成立，a＝1，T＝T＋a＝2，k＝5,5＜6， 继续循环； 第五次：sin52π＞sin 2π 成立，a＝1，T＝T＋a＝3，k＝6,6＜6 不 成立，跳出循环，输出 T 的值为 3. 答案 3
1．分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问 题、与等比数列的前n项和有关的计算推证问题、直线与圆锥 曲线的位置关系不定问题等，在选择题、填空题、解答题中都 会涉及到分类讨论的思想方法．
x
－12，0
0
0，1a
1 a
1a，12
f′(x) ＋0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
当 x∈－12，12时，
f(x)＞0
等价于f－12＞0， f1a＞0，
即5－8 a＞0， 1－21a2＞0.
解不等式组得 22＜a＜5 或 a＜－ 22.因此 2＜a＜5. 综合①②，可知 a 的取值范围为 0＜a＜5.
3．(2012· 江 西 ) 下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出 的结果是________．
解析 此框图依次执行如下循环： 第一次：T＝0，k＝1，sin2π＞sin 0 成立，a＝1，T＝T＋a＝1，k ＝2，2＜6，继续循环； 第二次：sin π＞sinπ2不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝3,3＜6， 继续循环； 第三次：sin32π＞sin π 不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝4,4＜6， 继续循环；
化归与转化思想 在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻 觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为 简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的，这 种解决问题的思想就是化归与转化思想．
必备方法 1．分类讨论的几种情况
(1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论：数学中 的概念有些就是分类的，如绝对值的概念； (2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论：一些数 学定理和公式是分类的，如等比数列的求和公式等； (3)由参数变化引发的分类讨论：当要解决的问题中涉及参 数时，由于参数在不同范围内取值时，问题的发展方向不 同，这就要把参数划分的几个部分分类解决；
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－12，0
0
0，12
f′(x) ＋
0
－
f(x)
极大值
当 x∈－12，12时，
f(x)＞0 等价于ff－12＞12＞0，0，
即55－ ＋88 aa＞ ＞00， .
解不等式组得－5＜a＜5.因此 0＜a≤2.
②若 a＞2，则 0＜1a＜12.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
热 点 命 题角 度
由数学概念、法则、公式而引起的 分类讨论
常考查：①集合中对空集的an分n＝1和n＞1的讨论；等比数列中公比 q＝1和q≠1的讨论；④基本不等式相等条件是否满足的讨论．
log2x，x＞0， 【例 1】► (2010·天津)设函数 f(x)＝log12－x，x＜0， 若 f(a)
(4)问题的具体情况引发的分类讨论：有些数学问题本身就要 分情况解决，如概率计算中要根据要求，分类求出基本事件的 个数； (5)较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策 略来解决．
2．化归转化思想的几种情况 (1)化为已知：当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有 关系时，把所要解决的问题化为已知问题； (2)化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我 们遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要把这个问 题化为我们熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法， 就是容易的问题，这是化难为易的一个方面；
2．(2012·福建)函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈
[a，b]，有f
x1＋x2 2
≤
1 2
[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在[a，b]上具有
性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质 P，现给出如下命题：
①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；②f(x2)在[1， 3 ]上具
D．2 012
答案：B [由 f(x＋6)＝f(x)可知，函数 f(x)的周期为 6，所以 f(－ 3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6) ＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有 f(1)＋f(2)＋…＋f(6) ＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以 f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1) ＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.]
2．等价转换思想的应用在高考试题中处处可见，是解高 考试题常用的数学思想．
1．分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再 积零为整”的数学策略．利用好分类与整合思想可以优化解题 思路，降低问题难度．复习中要养成分类与整合的习惯，常见 的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化型，图形 变动型．
2．转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的 思想方法，它无处不在．比如：在解析几何中，通过建立坐标 系将几何问题划归为代数问题．
必 备 知 识方 法
必备知识
在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解 到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行 的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导 问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的 不同发展方向，划分为若干部分分别研究．这里集中体现 的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决 问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问 题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的 解决问题的思想，就是分类与整合思想．
必考问题20 数学思想在解 题中的应用（二）
1．(2012· 山 东 ) 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－
3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则
f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝
( )．
A．335
B．338
C．1 678
转化与化归思想的应用
转化与化归思想非常普遍，常考查特殊与一般、常量与 变量、正与反或以换元法为手段的转化．
【例 3】► 若抛物线 y＝x2＋4ax＋3－4a，y＝x2＋(a－1)x＋a2， y＝x2＋2ax－2a 中至少有一条与 x 轴相交，则实数 a 的取值 范围是________． [审题视点] 至少有一条与 x 轴相交情况，包括七种情况， 直接求解比较困难，从其反面考虑． [听课记录]
综上所述：当 0＜a＜12时，函数 f(x)的单调递减区间是(0,1)， 1a－1，＋∞，单调递增区间是1，1a－1；当 a＝12时，函数 f(x) 的单调递减区间是(0，＋∞)；当12＜a＜1，函数 f(x)的单调递减区 间是0，1a－1，(1，＋∞)，单调递增区间是1a－1，1.
求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值 或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要 符合最简原则．
(3)化繁为简：在一些问题中，已知条件或求解结论比较繁， 这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情况， 再解决问题，有时把问题中的某个部分看做一个整体，进行换 元，这也是化繁为简的转化思想； (4)化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个 问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出 的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题 进行解决．
有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜 率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往 往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题．
【突 破 训 练 1】 若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零 点，则实数a的取值范围是________．
解析 则函数 f(x)＝ax－x－a(a＞0 且 a≠1)有两个零点，就是函 数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)的图象与函数 y＝x＋a 的图象有两个交 点．由图象可知，当 0＜a＜1 时，两函数只有一个交点，不符 合；当 a＞1 时，因为函数 y＝ax(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线 y＝x＋a 的图象与 y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有 两个交点．所以实数 a 的取值范围是(1，＋∞)． 答案 (1，＋∞)
＞f(－a)，则实数 a 的取值范围是
( )．
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[审题视点] 分 a＞0，a＜0 讨论求解． [听课记录]
答案：C [当 a＞0 时，由 f(a)＞f(－a)，得 log2a＞log12a， 即 log2a＞log2 1a，即 a＞1a，解得 a＞1； 当 a＜0 时，由 f(a)＞f(－a)，得 log12(－a)＞log2(－a)， 即 log2－1a＞log2(－a)，则－1a＞－a，解得－1＜a＜0. 所以 a∈(－1,0)∪(1，＋∞)．]
【突破训练 2】 (2012·东北三校联考)已知函数 f(x)＝ax3－32x2 ＋1(x∈R)，其中 a＞0. (1)若 a＝1，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若在区间－12，12上，f(x)＞0 恒成立，求 a 的取值范围．
解 (1)当 a＝1 时，f(x)＝x3－32x2＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x， f′(2)＝6，所以曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－3 ＝6(x－2)，即 y＝6x－9. (2)f′＝3ax2－3x＝3x(ax－1)． 令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝1a. 以下分两种情况讨论： ①若 0＜a≤2，则1a≥12.
(2)若 a＝12时，x1＝x2，此时 f′(x)≤0 恒成立，且仅在 x＝12处等于 零，故此时函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减； (3)若12＜a＜1，则 0＜x2＜x1，当 0＜x＜1a－1 或者 x＞1 时，f′(x) ＜0；当1a－1＜x＜1 时，f′(x)＞0.故此时函数 f(x)的单调递减区间 是0，1a－1，(1，＋∞)，单调递增区间是1a－1，1.
有性质P；③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈
[1,3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有fx1＋x2＋4 x3＋x4≤14[f(x1)＋f(x2)
＋f(x3)＋f(x4)]．其中真命题的序号是
A．①②
B．①③
( )．
C．②④
D．③④
答案：D [取函数 f(x)＝2x，－x1＝2，2，x∈[1，2∪2，3]， 则函数 f(x)满足题设条件具有性质 P，但函数 f(x)的图象是不连续的， 故①为假命题，排除 A、B；取函数 f(x)＝－x,1≤x≤3，则函数 满足题设条件具有性质 P，但 f(x2)＝－x2,1≤x≤ 3就不具有性 质 P，故②为假命题，排除 C.应选 D.]
解析
由ΔΔ12＝ ＝4aa－21－24－34－a2＜4a0＜，0， Δ3＝2a2＋8a＜0，
解得－32＜a＜－1，再求它
的补集，则 a 的取值范围是：a≤－32或 a≥－1.
答案 －∞，－32∪[－1，＋∞)
在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地 位，在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思 维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法．
由参数的变化而引起的分类讨论
常考查：①解不等式含参数的讨论；②函数解析式中含 参数的最值与单调性问题；③二元二次方程表示曲线类型的判 定.
【例 2】► 已知函数 f(x)＝ln x－ax＋1－x a(0＜a＜1)，讨论函数 f(x)的单调性． [审题视点] 求出导数后，讨论函数 f(x)的导数的符号即可． [听课记录]
解 f′(x)＝1x－a＋a－x2 1＝－ax2－xx＋2 1－a，x∈(0，＋∞)． 由 f′(x)＝0，即 ax2－x＋1－a＝0，解得 x1＝1，x2＝1a－1. (1)若 0＜a＜12，则 x2＞x1.当 0＜x＜1 或者 x＞1a－1 时，f′(x)＜0； 当 1＜x＜1a－1 时，f′(x)＞0.故此时函数 f(x)的单调递减区间是 (0,1)，1a－1，＋∞，单调递增区间是1，1a－1.