湘教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 对数的运算法则
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2
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C.
3.(多选题)若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式恒等的是( BCD )
B.lg =lg
A.lg x+lg y=lg(x+y)
1
m
C.log y = logxy
D.lg =
x-lg y
lg
解析 因为 x>0,y>0,n≠0,m∈R,则 lg x+lg y=lg(xy),故 A 错误;
正数 P,使得 P 3 4 5 6 7 8 9
解 存在.由 2 ·logy4-2 =0,得 2
1
log 42
由 log 5·log5x=-1,得 log
1
5=-lo g ,即
5
y
y-1
y
1
=0,∴logy4= ,即
2
y=16.
log 5=-logx5>0.
A级
必备知识基础练
1.已知alog32=1,则2a=( D )
1
A. 3
B.1
C.2
D.3
解析 alog32=1=log32a,故2a=3.故选D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
lo g 6
2.log2 8+lg 25+lg 4+6
A.1
B.4
C.5
D.7
解析
1
2
+9.80=( C )
3
1
原式= log22+lg(25×4)+ +1=2+2+1=5.故选
自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余
90%的污染物.
(1)求常数k的值;
(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1 h)
(参考数据:ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11)
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1
或4
D )
解析 ∵2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>2y>0),
∴lg(x-2y)2=lg xy,
∴(x-2y)2=xy,
∴x2-5xy+4y2=0,
∴(x-y)(x-4y)=0,
∴x=y或x=4y.
∵x-2y>0,且x>0,y>0,
∴x≠y,∴
=
1
.
4
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B级
关键能力提升练
5.设lg 3=a,lg 5=b,则log212的值为( C )
2-+2
A. 1-
2-+2
B. -1
-2+2
C.
1-
-2+2
D.
1+
解析 根据换底公式和对数运算性质得
lg12
log212=
lg2
=
lg3 +2lg2
lg2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
解 (1)由 log(2x-1)(5x2+3x-17)=2,
2-1 > 0,
2-1 ≠ 1,
得
5 2 + 3-17 > 0,
2
2
5 + 3-17 = (2-1) ,
2-1 > 0,
即 2-1 ≠ 1,
5 2 + 3-17 = 4 2 -4 + 1,
1
∴ (logx5+1)=(logx5)2,
2
整理得 2(logx5) -logx5-1=0,解得
2
从而 P=
1
-
=
1
logx5=- (logx5=1
2
1
舍去),∴ =25.
25-16=3,即存在一个正数 P=3,使得 P=
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1
-成立.
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
lg3 +2lg
10
lg
5
10
5
=
lg3 +2-2lg5
1-lg5
=
2+-2
.故选
1-
C.
6.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么( AD )
A.ab+bc=2ac
B.ab+bc=ac
2
C.
1
D.
2
= +
1
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解 (1)由已知得当t=0时,P=P0;
当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,
解得
1
k=- ln
5
0.9(或 k≈0.022).
(2)由(1)知 P=P0e
有 0.3P0=P0e
ln0 .3
解得 t=1
5
ln0 .9
1
5
1
5
( ln0 .9)
解得 x=2 或 x=-9(舍).
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(2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1),
得2logx2+log2x-3=0,
2
令log2x=t,得 +t-3=0,即t2-3t+2=0,
解得t=1或t=2.当t=1时,可得log2x=1,即x=2;
当t=2时,可得log2x=2,即x=4.
lg =lg
1
x-lg y,故 B 正确;log y
lg =
lg
,故
= logxy,故
m
D 正确.故选 BCD.
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C 正确;
4.若 2lg(x-2y)=lg x+lg
y(x>2y>0),则 的值为(
A.4
B.1
C.1 或 4
1
D.4
( ln0 .9)
≈1
5
,当 P=30%P0 时,
,
-1.20
×(-0.11)
=
6
≈55.
0.11
故污染物减少到 30%至少需要 55 h.
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C级
学科素养创新练
9.已知 2y·logy4-2y-1=0(y>0,y≠1), log 5·log5x=-1(x>0,x≠1),是否存在一个
2
= −
1
− =
2
log 6
D 正确.
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−
2
≠ +
1
,故
C 错误;
1
1
=2logk6-logk4=logk9,
log 4
=
1
=logk9,
log 9
7.解下列对数方程:
(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;
(2)logx4+log2x=3.
经检验x=2,x=4均符合题意.
故原方程的解为x=2或x=4.
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8.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后
排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单
位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为
log 6
+
=2,
log 4
+ log 6=log69+log 6 4
= log 6 36=2,
对于选项
2
=
2
C,
1
+ =
2
log 4
+
1
=2logk4+logk6=logk96,
log 6
2
2
=2log
k9=logk81,故
log 9
对于选项
2
D,
1
故
1
,故
2
= −
1
解析 由题意,设4a=6b=9c=k(k>0),
则a=log4k,b=log6k,c=log9k,
对于选项 A,由
因为
+
=
ab+bc=2ac,可得
log 6
log 9
log 6
+ log
4
故 A 正确,B 错误;
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=
log 9
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C.
3.(多选题)若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式恒等的是( BCD )
B.lg =lg
A.lg x+lg y=lg(x+y)
1
m
C.log y = logxy
D.lg =
x-lg y
lg
解析 因为 x>0,y>0,n≠0,m∈R,则 lg x+lg y=lg(xy),故 A 错误;
正数 P,使得 P 3 4 5 6 7 8 9
解 存在.由 2 ·logy4-2 =0,得 2
1
log 42
由 log 5·log5x=-1,得 log
1
5=-lo g ,即
5
y
y-1
y
1
=0,∴logy4= ,即
2
y=16.
log 5=-logx5>0.
A级
必备知识基础练
1.已知alog32=1,则2a=( D )
1
A. 3
B.1
C.2
D.3
解析 alog32=1=log32a,故2a=3.故选D.
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lo g 6
2.log2 8+lg 25+lg 4+6
A.1
B.4
C.5
D.7
解析
1
2
+9.80=( C )
3
1
原式= log22+lg(25×4)+ +1=2+2+1=5.故选
自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余
90%的污染物.
(1)求常数k的值;
(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1 h)
(参考数据:ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11)
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或4
D )
解析 ∵2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>2y>0),
∴lg(x-2y)2=lg xy,
∴(x-2y)2=xy,
∴x2-5xy+4y2=0,
∴(x-y)(x-4y)=0,
∴x=y或x=4y.
∵x-2y>0,且x>0,y>0,
∴x≠y,∴
=
1
.
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B级
关键能力提升练
5.设lg 3=a,lg 5=b,则log212的值为( C )
2-+2
A. 1-
2-+2
B. -1
-2+2
C.
1-
-2+2
D.
1+
解析 根据换底公式和对数运算性质得
lg12
log212=
lg2
=
lg3 +2lg2
lg2
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解 (1)由 log(2x-1)(5x2+3x-17)=2,
2-1 > 0,
2-1 ≠ 1,
得
5 2 + 3-17 > 0,
2
2
5 + 3-17 = (2-1) ,
2-1 > 0,
即 2-1 ≠ 1,
5 2 + 3-17 = 4 2 -4 + 1,
1
∴ (logx5+1)=(logx5)2,
2
整理得 2(logx5) -logx5-1=0,解得
2
从而 P=
1
-
=
1
logx5=- (logx5=1
2
1
舍去),∴ =25.
25-16=3,即存在一个正数 P=3,使得 P=
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1
-成立.
=
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lg3 +2lg
10
lg
5
10
5
=
lg3 +2-2lg5
1-lg5
=
2+-2
.故选
1-
C.
6.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么( AD )
A.ab+bc=2ac
B.ab+bc=ac
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C.
1
D.
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= +
1
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解 (1)由已知得当t=0时,P=P0;
当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,
解得
1
k=- ln
5
0.9(或 k≈0.022).
(2)由(1)知 P=P0e
有 0.3P0=P0e
ln0 .3
解得 t=1
5
ln0 .9
1
5
1
5
( ln0 .9)
解得 x=2 或 x=-9(舍).
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(2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1),
得2logx2+log2x-3=0,
2
令log2x=t,得 +t-3=0,即t2-3t+2=0,
解得t=1或t=2.当t=1时,可得log2x=1,即x=2;
当t=2时,可得log2x=2,即x=4.
lg =lg
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x-lg y,故 B 正确;log y
lg =
lg
,故
= logxy,故
m
D 正确.故选 BCD.
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C 正确;
4.若 2lg(x-2y)=lg x+lg
y(x>2y>0),则 的值为(
A.4
B.1
C.1 或 4
1
D.4
( ln0 .9)
≈1
5
,当 P=30%P0 时,
,
-1.20
×(-0.11)
=
6
≈55.
0.11
故污染物减少到 30%至少需要 55 h.
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C级
学科素养创新练
9.已知 2y·logy4-2y-1=0(y>0,y≠1), log 5·log5x=-1(x>0,x≠1),是否存在一个
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= −
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− =
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log 6
D 正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−
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≠ +
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,故
C 错误;
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=2logk6-logk4=logk9,
log 4
=
1
=logk9,
log 9
7.解下列对数方程:
(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;
(2)logx4+log2x=3.
经检验x=2,x=4均符合题意.
故原方程的解为x=2或x=4.
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8.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后
排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单
位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为
log 6
+
=2,
log 4
+ log 6=log69+log 6 4
= log 6 36=2,
对于选项
2
=
2
C,
1
+ =
2
log 4
+
1
=2logk4+logk6=logk96,
log 6
2
2
=2log
k9=logk81,故
log 9
对于选项
2
D,
1
故
1
,故
2
= −
1
解析 由题意,设4a=6b=9c=k(k>0),
则a=log4k,b=log6k,c=log9k,
对于选项 A,由
因为
+
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ab+bc=2ac,可得
log 6
log 9
log 6
+ log
4
故 A 正确,B 错误;
1 2 3 4 5 6 7 8 9
=
log 9