高三数学单元课时设计复习课件第24讲解三角形
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13
法二:几何法
b
a
A
c
B
c
构造三角形相似妙!
D
课外巩固练习: 1.在 △ ABC 中, AC 3 , A 45 , B 75 , 3 3 则 BC ______. 2 2 2 120 △ ABC 2.在 中, a b c bc ,则 A ____. 3.在 △ ABC 中, a 1, B 45 , S△ABC 2 , 5 2 则 △ ABC 的外接圆的直径为_____.
解这类题目主要是灵活应用正弦定理 与余弦定理来进行变形,变形的方向一般有 两个: 一是化为边(需要分解因式等变形); 二是化为角(需要三角恒等变形 ).
答案：等腰三角形或直角三角形
课外思考题: 2 在 △ ABC 中,若 a b(b c) ,求证 : A 2 B .
法一:运用余弦定理 要证: A 2 B ,可考虑证:余弦值相等 ( 但要注意角的范围) C
思考 1.已知圆内接四边形 ABCD 的边长 分别为 AB 2, BC 6, CD DA 4 , 8 3 求四边形 ABCD 的面积 . B
分析 : 目标是求面积 , 求面积有什么方法? 分割试试看! 设 ABC , 则 ADC , ∴ S四边形ABCD =S△ABC S△ACD
S
ABC
你 会 推 导 吗 ?
1 1 底×高= r (a b c ) (其中 r 是内切圆半径) 2 2 1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin A . 2 2 2
正弦、余弦定理的应用
利用正弦或余弦定理，可以解决以下几类三 角形问题：
正弦定理
①已知两角和任一边，求其他两边和一角； ②已知三边，求三角； 余弦定理
答案
12
例 2 解: 设 t 小时后该城市开始受到台风的侵袭 , t 小时台风中心到达 A 点 , 则 AP=20 t km, 点 A 处的台风半径为 (60 10t )km ∵ cos APO cos( 45 ) = cosБайду номын сангаасcos 45 sin sin 45
2 2 7 2 2 4 = = 10 2 10 2 5 由余弦定理得 OA2 AP2 OP2 2 AP OP cos APO , 4 2 2 2 ∴ OA 400t 300 2 20t 300 ≤ (10t 60)2 , 5 即t 2 36t 288 ≤ 0, 解得12 ≤ t ≤ 24 答： 12 小时后该城市开始受到台风的侵袭 .
余弦定理
③已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 ;
④已知两边和其中一边的对角，已知两边和其中 一边的对角，求其他两角和一边。
正弦定理或余弦定理
(注意这类问题可能有两解,一解,也可能无解).
练习巩固一： 1.在 △ ABC 中,若 A 120 ， AB 5 ， BC 7 ， 则 AC 3． 2.在 △ ABC 中，已知 b 6 ， c 10 ， B 30 ， 则 △ ABC 的解的情况为（ C） ( A) 无解 ( B ) 一解 (C ) 两解 ( D) 一解或两解 3.⑴在 △ ABC 中，已知 AB 3 , AC 1 , B 30 ， 3 3 则 △ ABC 的面积为_________. 或 2 4 6 ⑵在 △ ABC 中，若条件为 AB , AC 1 , B 60 , 3 1 3 则 △ ABC 的面积为_____.
第 24 讲解三角形
知识点拨
练习巩固一
思考1
思考2
课外思考
作业:《全品》 P43 例 3
第 24 讲解三角形
重点是把握两个定理及面积公式： a b c 1.正弦定理: 2R ; sin A sin B sin C a 2 b 2 c 2 2bc cos A 2 2 2 2.余弦定理: b a c 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cos C 3.面积公式:
AC 2 AB 4 ∵由正弦定理得 , sin B sin C 3 1 3 ∴ ,∴ sin C , 2 sin C sin 30
或
∴ C 60 或 120 ,∴ A 90 或 30 1 1 1 1 ∴ S△ABC AC AB sin A 3 1 1或 3 1 2 2 2 2 3 3 或 ∴ S△ABC 2 4
解斜三角形的应用
下面主要是让学生做练习,在做练习之前 复习一下有关知识 :一般步骤,有关术语
11
练习.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风 2 中心位于城市 O（如图）的东偏南 (cos ) 方向 300km 10 的海面 P 处， 并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动 . 台 风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大 . 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
2
A
6
C
4
D
4
1 1 AB BC sin AD DC sin( ) 2 2 只要能求出 sin 即可求出面积.
思考2.在 A B C 中 , 已知 (a b )sin( A B ) (a b )sin( A B ).
2 2 2 2
判断 A B C 的形状.
4
1答案
12
3答案
1.在△ ABC 中, 若∠A＝120°，AB=5， BC＝7， 则 AC＝_____．
3
设 AC x >0, 2 2 2 则 7 5 x 2 5 x cos120 即 x 5 x 24 0 , 解得 x 8 或 3 ∴x3
2
⑵在△ ABC 中，已知 AB= 3 ， AC=1，∠ B=30°， 则△ ABC 的面积为 _________. 3 3
法二:几何法
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构造三角形相似妙!
D
课外巩固练习: 1.在 △ ABC 中, AC 3 , A 45 , B 75 , 3 3 则 BC ______. 2 2 2 120 △ ABC 2.在 中, a b c bc ,则 A ____. 3.在 △ ABC 中, a 1, B 45 , S△ABC 2 , 5 2 则 △ ABC 的外接圆的直径为_____.
解这类题目主要是灵活应用正弦定理 与余弦定理来进行变形,变形的方向一般有 两个: 一是化为边(需要分解因式等变形); 二是化为角(需要三角恒等变形 ).
答案：等腰三角形或直角三角形
课外思考题: 2 在 △ ABC 中,若 a b(b c) ,求证 : A 2 B .
法一:运用余弦定理 要证: A 2 B ,可考虑证:余弦值相等 ( 但要注意角的范围) C
思考 1.已知圆内接四边形 ABCD 的边长 分别为 AB 2, BC 6, CD DA 4 , 8 3 求四边形 ABCD 的面积 . B
分析 : 目标是求面积 , 求面积有什么方法? 分割试试看! 设 ABC , 则 ADC , ∴ S四边形ABCD =S△ABC S△ACD
S
ABC
你 会 推 导 吗 ?
1 1 底×高= r (a b c ) (其中 r 是内切圆半径) 2 2 1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin A . 2 2 2
正弦、余弦定理的应用
利用正弦或余弦定理，可以解决以下几类三 角形问题：
正弦定理
①已知两角和任一边，求其他两边和一角； ②已知三边，求三角； 余弦定理
答案
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例 2 解: 设 t 小时后该城市开始受到台风的侵袭 , t 小时台风中心到达 A 点 , 则 AP=20 t km, 点 A 处的台风半径为 (60 10t )km ∵ cos APO cos( 45 ) = cosБайду номын сангаасcos 45 sin sin 45
2 2 7 2 2 4 = = 10 2 10 2 5 由余弦定理得 OA2 AP2 OP2 2 AP OP cos APO , 4 2 2 2 ∴ OA 400t 300 2 20t 300 ≤ (10t 60)2 , 5 即t 2 36t 288 ≤ 0, 解得12 ≤ t ≤ 24 答： 12 小时后该城市开始受到台风的侵袭 .
余弦定理
③已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 ;
④已知两边和其中一边的对角，已知两边和其中 一边的对角，求其他两角和一边。
正弦定理或余弦定理
(注意这类问题可能有两解,一解,也可能无解).
练习巩固一： 1.在 △ ABC 中,若 A 120 ， AB 5 ， BC 7 ， 则 AC 3． 2.在 △ ABC 中，已知 b 6 ， c 10 ， B 30 ， 则 △ ABC 的解的情况为（ C） ( A) 无解 ( B ) 一解 (C ) 两解 ( D) 一解或两解 3.⑴在 △ ABC 中，已知 AB 3 , AC 1 , B 30 ， 3 3 则 △ ABC 的面积为_________. 或 2 4 6 ⑵在 △ ABC 中，若条件为 AB , AC 1 , B 60 , 3 1 3 则 △ ABC 的面积为_____.
第 24 讲解三角形
知识点拨
练习巩固一
思考1
思考2
课外思考
作业:《全品》 P43 例 3
第 24 讲解三角形
重点是把握两个定理及面积公式： a b c 1.正弦定理: 2R ; sin A sin B sin C a 2 b 2 c 2 2bc cos A 2 2 2 2.余弦定理: b a c 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cos C 3.面积公式:
AC 2 AB 4 ∵由正弦定理得 , sin B sin C 3 1 3 ∴ ,∴ sin C , 2 sin C sin 30
或
∴ C 60 或 120 ,∴ A 90 或 30 1 1 1 1 ∴ S△ABC AC AB sin A 3 1 1或 3 1 2 2 2 2 3 3 或 ∴ S△ABC 2 4
解斜三角形的应用
下面主要是让学生做练习,在做练习之前 复习一下有关知识 :一般步骤,有关术语
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练习.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风 2 中心位于城市 O（如图）的东偏南 (cos ) 方向 300km 10 的海面 P 处， 并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动 . 台 风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大 . 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
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A
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1 1 AB BC sin AD DC sin( ) 2 2 只要能求出 sin 即可求出面积.
思考2.在 A B C 中 , 已知 (a b )sin( A B ) (a b )sin( A B ).
2 2 2 2
判断 A B C 的形状.
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1答案
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3答案
1.在△ ABC 中, 若∠A＝120°，AB=5， BC＝7， 则 AC＝_____．
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设 AC x >0, 2 2 2 则 7 5 x 2 5 x cos120 即 x 5 x 24 0 , 解得 x 8 或 3 ∴x3
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⑵在△ ABC 中，已知 AB= 3 ， AC=1，∠ B=30°， 则△ ABC 的面积为 _________. 3 3