河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期同步月考数学试卷(理科) Word版含解析

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河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期第一次模拟考试理数试题 Word版含解析

2017-2018学年一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设甲：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；乙：01a <<，则甲是乙成立的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C考点：必要不充分条件的判定.2.设,a b R ∈且0b ≠，若复数()3a bi +（i 为虚数单位）是实数，则（） A ．223b a = B ．223a b = C ．229b a = D ．229a b = 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得()303122233333()()()(a b i Ca C ab i+=+++=-，所以2330a b b -=，即223b a =，故选A.考点：复数概念及二项式定理的应用. 3.等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（） A ．{}1 B ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，因为数列{}n a 是等差数列，所以设数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-，则21(21)n a a n d =+-，所以121(1)(21)n n a a n da a n d+-=+-，因为2n n a a 是一个与n 无关的常数，所以10a d -=或0d =，所以2n na a 可能是1或12，故选B.考点：等差数列的通项公式. 4.ABC ∆中三边上的高依次为111,,13511，则ABC ∆为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形【答案】C考点：余弦定理的应用.5.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数，其导函数为()'fx ，且满足()()'20xf x f x +>，则不等式()()()201620165552016x f x f x ++<+的解集为（）A ．{}|2011x x >-B ．{}|2011x x <-C ．{}|20162011x x -<<-D ．{}|20110x x -<< 【答案】C 【解析】试题分析：由()()'20xfx f x +>，则当()0,x ∈+∞时，()()2'20x f x xf x +>，即()()2'[()]20xf x x f x xf x '=+>，所以函数()xf x 为单调递增函数，由()()()201620165552016x f x f x ++<+，即()()()222016201655x f x f ++<，所以020165x <+<，所以不等式的解集为{}|20162011x x -<<-，故选C.考点：函数单调性的应用及导数的运算.6.已知F 是椭圆22:1204x y C +=的右焦点，P 是C 上一点，()2,1A -，当APF ∆周长最小时，其面积为（）A ．4B ．8C ．【答案】A考点：椭圆的定义的应用.7.已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++，定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →，则()4,3,2,1f =（）A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2-- 【答案】C 【解析】试题分析：由43243212341234[(1)1][(1)1][(1)1][(1)1]x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=+-++-++-++-+所以()4,3,2,1f =432[(1)1]4[(1)1]3[(1)1]2[(1)1]1x x x x =+-++-++-++-+，所以1221143243234(1)40,(1)4(1)33,4,1b C C b C C C b b =-+==-+-+=-==-，故选C. 考点：二项式定理的应用.8.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（）A ．1B ．2D ．12【答案】C考点：空间几何体的三视图及异面直线所成角的计算.【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成角、异面直线所成角的求法、以及空间几何体的三视图等知识的应用，着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力及转化思想的应用，属于基础题，本题的解答中线将三视图转化为空间几何体，取AD 的中点E ，连接,,BE PE CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，即可求解角的正切值.9.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示：若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生的学生成绩与物理成绩有关系（）A ．99.9%B ． 99.5%C ．97.5%D ．95% 参考数据公式：①独立性检验临界值表②独立性检验随机变量2K 的值的计算公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】B考点：独立性检验的应用.10.在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（） A ．64 B ．65 C ．66 D ．67 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，底层可以16个，然后在底层每4个球之间放一个，第二层能放9个，依次类推，分别第三、第四、第五层能放16个、9个、16个，一共可放置1691691666++++=个，故选C.考点：空间几何体的机构特征.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.如：1111111111111,1,1236246122561220=++=+++=++++，依次类推可得： 11111111111111++++++26123042567290110132156m n =++++++，其中,,m n m n N +≤∈.设1,1x m y n ≤≤≤≤，则21x y x +++的最小值为（）A ．232B ． 52C ．87D ．343【答案】C考点：归纳推理.【方法点晴】本题主要考查了归纳推理的应用，对于归纳推理是根据事物的前几项具备的规律，通过归纳、猜想可得整个事物具备某种规律，是一种特殊到一般的推理模式，同时着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理、计算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据式子的结构规律，得到,m n 的值是解答的关键. 12.已知,a b R ∈，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图像在4x π=-处相切，设()2x g x e bx a =++，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，则实数m （） A ．有最小值e - B ．有最小值e C ．有最大值e D ．有最大值1e + 【答案】D 【解析】试题分析：由题()tan f x x =，得()21cos f x x '=，则()24a f π'=-=，将切点(,1)4π--代入切线方程可得1b =-，则()22xg xe x =-+，令()()2xh x g x e x '==-，则()2xh x e '=-在[]1,2上有()0h x '>恒成立，所以()h x 在[]1,2上递增，即()g x '在在[]1,2上递增，则有()()120g x g e ''≥=->，则()g x 在[]1,2上递增，且()()()()min max 1,2g x g g x g ==，不等式()22m g x m≤≤-恒成立，即有()()222112222m g e m g e m m ≤=+⎧⎪-≥=-⎨⎪≤-⎩，解得m e ≤-或1e m e ≤≤+，所以实数m 有最大值1e +，故选D.考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程.【方法点晴】本题主要考查了导数的运用：求切线方程和判断函数的单调性，着重考查了函数的单调性的判定及应用、不等式的恒成问题的转化为函数的最值问题，属于中档试题，通知考查了推理、运算能力和转化的数学思想方法的运用，本题的解答中根据题意先求得,a b 的值，得出函数()g x 的解析式，再判断函数()g x 的单调性与最值，把不等式的恒成转化为函数的最值问题，即可求解m 的取值范围.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数()2f x x ax =-的图像在点()()1,1A f 处的切线与直线320x y ++=垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k 值是.【答案】6考点：程序框图的计算与输出.14.在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且2OC =，则OC =.【答案】( 【解析】试题分析：由题意得，1,2OA OB ==，设OC 与AB 交于(,)D x y 点，则:1:5AD BD =，即D 分有向线段AB 所成的比为15，所以110(3)14)1355,11221155x y +-⨯+⨯==-==++，即13(,)22D -，因为2OC = ，所以2()OD OC OD=⨯=，即点C 的坐标为(. 考点：向量的运算.15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O 顺时针旋转30︒后，构成一个斜坐标平面xOy .在此斜坐标平面xOy 中，点(),P x y 的坐标定义如下：过点P 作两坐标轴的平分线，分别交两轴于,M N 两点，则M 在Ox 轴上表示的数为x ，N 在Oy 轴上表示的数为y .那么以原点O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为 .【答案】2210x y xy ++-=考点：圆的一般方程.【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出(,)P x y 在直角坐标下的坐标为11(,)P x y '，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.16.已知ABC ∆的面积为S ，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2s i n ,C A 成等比数列，2213,218322b a c ac =≤+≤241c +的最小值为 .【答案】34考点：等比数列的应用；余弦定理及三角形的面积公式；导数的应用.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式，余弦定理及三角形的面积公式、导数的综合应用，试题有一点的难度，属于难题，着重考查了学生的推理、运算能力及转化与化归思想方法的应用，本题的解答中根据题设条件先得出c a =，在利用三角恒等变换和三角形的面积公式表示成三角形的面积，进而得到a 241c +其单调性确定最值即可.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，12a =，且1234,3,2S S S 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设25n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()2n n a n N +=∈；（2）()16,110,234272,3n n n T n n n +⎧=⎪==⎨⎪+-⨯≥⎩.考点：等比数列通项公式及数列求和.18．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，90,//,1,2PCB PM BC PM BC ∠=︒==，又1,120,AC ACB AB PC =∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒. （1）求证：PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --的余弦值；（3）求点B 到平面MAC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2；（3.考点：直线与平面垂直的判定与证明；空间中二面角的求解；点到平面的距离.19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差.【答案】（1）120种；（2）分布列见解析，38，2164. 【解析】试题分析：（1）若8种口味均不一样，有38C 种，若其中两瓶口味一样，有1187C C 种，若三瓶口味一样，有8种，由此能求出小王共有多少种选择方式；（2）由已知得1(3,)8B ξ ，由此能求出小王喜欢的草莓口香糖考点：排列组合的应用；离散型随机变量的期望与方差.20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>，其短轴的下端点在抛物线24x y =的准线上.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，M 是直线:2l x =上的动点，F 为椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM为直径的圆2C 相交于,P Q 两点，与椭圆1C 相交于,A B 两点，如图所示.①若PQ 2C 的方程；②设2C 与四边形OAMB 的面积分别为12,S S ，若12S S λ=，求λ的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）①()()22112x y -+-=或()()22112x y -++=；②,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭.②当0t ≠，由①，知PQ 的方程为220x ty +-=由2212220x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y ，得()222816820t x x t +-+-= 则()()()()22242164882840t t t t ∆=--+-=+>21212221682,88t x x x x t t-∴+==++2248t AB t +∴===+2222241142288t t S OM AB t t ++∴=⨯⨯==++ ()221124,4S r t S S ππλ==+=()221224488828t S S t πλ+⎫====≥⨯=+=，即0t =时取等号又0,t λ≠∴>，当0t =时，直线PQ 的方程为1x = 2AB OM ==，212S OM AB ∴=⨯=2112S OM ππ⎛⎫∴==⎪⎝⎭，122S S λ∴=== 综上，λ≥，所以实数λ的取值范围为,⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了圆的方程、椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用，着重考查了的参数的取值范围的求解及分类讨论的数学与思想方法的应用及推理、运算能力，属于中档试题，解答时要认真审题，注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式的灵活应用，同时熟记基本的公式是解答此类问题的基础. 21.（本小题满分12分）设a 为实数，函数()()211x f x x e a x -=--. （1）当1a =时，求()f x 在3,24⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值；（2）设函数()()()11,xg x f x a x e-=+--当()g x 有两个极值点()1212,x x x x <时，总有 ()()'211x g x f x λ≤，求实数λ的值（()'f x 为()f x 的导函数）.【答案】（1）最大值是()11f =；（2）21ee λ≤+.（2）由题意，知()()21x g x x a e -=-，则()()()'212122x xg x x x a e x x a e --=-+=-++根据题意，方程220x x a -++=有两个不同的实根()1212,x x x x <440a ∴∆=+>，即1a >-，且122x x +=121211,2x x x x x <∴<=- 且，由()()'211x g x f x λ≤其中()()'212x f x x x e a -=--，得()()()()1111222111111222x x x x a ex x e x x λ--⎡⎤--≤-+-⎣⎦21120x x a -++=所以上式化为()()()()1111221111112222x x x x ex x e x x λ--⎡⎤-≤-+-⎣⎦又120x -> ，所以不等式可化为11111210x x x e e λ--⎡⎤-+≤⎣⎦，对任意的()1,1x ∈-∞恒成立.①当10x =，11111210x x x ee λ--⎡⎤-+≤⎣⎦不等式恒成立，R λ∈；②当()10,1x ∈时，1111210x x eeλ---+≤恒成立，111121x x e e λ--≥+令函数()11111122211x x x e k x e e ---==-++ 显然()k x 是R 内的减函数，当()0,1x ∈，()()22011e ek x k e e λ<=∴≥++ ③()1,0x ∈-∞时，1111210x x eeλ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--≤+由②，当(),0x ∈-∞，()()201e k x k e >=+，即21e e λ≤+ 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，取闭区间上的最值问题，着重考查了分类讨论的数学思想和转化与化归的思想方法，是一道综合试题，试题有一定的难度，本题解答中把不等式可化为11111210x x x e e λ--⎡⎤-+≤⎣⎦，对任意的()1,1x ∈-∞恒成立.通过讨论①当10x =时，②当1(0,1)x ∈时，③1(,1)x ∈-∞时的情况是解解答的难点.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点,P BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点,D E ，若210PA PB ==.（1）求证：2AC AB =；（2）求AD DE ⋅的值.【答案】（1）证明见解析；（2）50.考点：圆的切割线定理；相似三角形的应用.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）化12,C C 的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为,2t Q π=为2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线332:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值.【答案】（1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+=；（2.考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()21f x x a x a R =---∈.（1）当3a =时，求函数()f x 的最大值；（2）解关于x 的不等式()0f x ≥.【答案】（1）2；（2）当1a >时，不等式的解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1a =时，不等式的解集为{}|1x x =当1a <，不等式的解集为2,23a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点：绝对值不等式的求解.。

【河北省衡水中学】2017届高三下学期三调数学(理科)试卷(附答案与解析)

(1)求的值；
(2)对任意实数，都有成立，求实数的最大值．
河北省衡水中学2017届度高三下学期三调数学（理科）考试
答案
一、选择题
1~5．CDCAB6~10．BDAAB11~12．DA
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：（1）令，得．（1分）
∵ ，∴ ，当时，．（2分）
由，得，取得的一个法向量．
假设线段上存在一点，使得直线与所成角的正弦值等于．
所以
．
所以，解得．
因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与所成角的余弦值等于．（12分）
20．解：（1）因为，所以，所以椭圆的方程为．
（4分）
（2）将直线代入椭圆，得．
设，则．
当时，，为减函数；
当时，，为增函数．
所以．（10分）
所以，与矛盾．（11分）
综上，得的最小值为．（12分）
22．解：（1）由得，
所以曲线的直角坐标系方程为．
所以直线过定点且斜率为，
所以直线的参数方程为．（5分）
（2）将直线的参数方程代入中，得到，
设对应的参数分别为 ,则．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，当n为何值时，数列的前项和最大．
18．（本小题满分12分）
某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
x（月份）
1
2
3
4
5
y(万盒)
4
4
5
6
6

河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期一调数学试卷(理科) Word版含解析

河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期一调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁I B）等于（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在4．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10]D．[3，11]6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．（5分）已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（）A．4+4+5 B．2+2+C．D．2+2+38．（5分）利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=10内的共有（）个．A．2B．3C．4D．59．（5分）已知点A（﹣1，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）；②y=；③y=x+4（x≤﹣）．其中，“点距函数”的个数是（）A．0B．1C．2D．310．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+111．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．2﹣B．2C．D．+112．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f （x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）已知，那么展开式中含x2项的系数为．14．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为．15．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（14分）设向量=（cosωx﹣sinωx，﹣1），=（2sinωx，﹣1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=•的最小正周期为4π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2﹣t﹣1=0的根，且，求f（x0）的值．18．（14分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数 4 4 2 2该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．20．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁I B）等于（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由全集I及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：∵集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，∴∁I B={0，1}，则A∩（∁I B）={1}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．解答：解：∵复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，∴z=====1﹣i，故复数z对应点的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a 7+a14≥2=2=2=20．解答：解：∵正数组成的等比数列{a n}，a1•a20=100，∴a 7+a14≥2=2=2=20．当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．故选：A．点评：本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．4．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．解答：解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．5．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10]D．[3，11]考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3即可．解答：解：根据约束条件画出可行域，∵设k==1+，整理得（k﹣1）x﹣2y+k﹣3=0，由图得，k＞1．设直线l0=（k﹣1）x﹣2y+k﹣3，当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．故选D．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．解答：解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos （φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．点评：本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．7．（5分）已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（）A．4+4+5 B．2+2+C．D．2+2+3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱，分别计算出棱柱的底面面积，底面周长和高，代入棱柱表面积公式，可得答案．解答：解：由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱，底面三角形的三边长为：1，，故底面三角形的面积为：×1×1=，底面周长为：1++，棱柱的高为2，故棱柱的表面积：S=2×+（1++）×2=2+2+3，故选：D点评：本题考查了由三视图求原几何体的体积和表面积，解答的关键是由三视图还原原图形，是基础的计算题．8．（5分）利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=10内的共有（）个．A．2B．3C．4D．5考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是打印满足条件的点，执行程序不难得到所有打印的点的坐标，再判断点与圆x2+y2=10的位置关系，即可得到答案．解答：解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：（﹣3，6）、（﹣2，5）、（﹣1，4）、（0，3）、（1，2）其中（0，3）、（1，2）满足x2+y2＜10，即在圆x2+y2=10内，故打印的点在圆x2+y2=10内的共有2个，故选：A点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．9．（5分）已知点A（﹣1，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）；②y=；③y=x+4（x≤﹣）．其中，“点距函数”的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：进行简单的合情推理．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数f（x）为“点距函数”的定义，逐一判断所给定的三个函数，是否满足函数f（x）为“点距函数”的定义，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：对于①，过A作直线y=﹣x+2的垂线y=x+1，交直线y=﹣x+2于D（，）点，D（，）在y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上，故y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上距离D距离相等的两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于②，y=表示以（﹣1，0）为圆心以3为半径的半圆，图象上的任意两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于③，过A作直线y=x+4的垂线y=﹣x﹣1，交直线y=x+4于E（，）点，E（，）是射线y=x+4（x≤﹣）的端点，故y=x+4（x≤﹣）的图象上不存在两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）不为“点距函数”；综上所述，其中“点距函数”的个数是2个，故选：C点评：本题考查的知识点是新定义函数f（x）为“点距函数”，正确理解函数f（x）为“点距函数”的概念是解答的关键．10．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+1考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：根据对称性确定B的坐标，设出直线方程代入曲线方程，求出A的坐标，利用条件，即可求出斜率的值，从而得到直线的方程．解答：解：由题意，曲线f（x）=x3+2x+1是由g（x）=x3+2x，向上平移1个单位得到的，函数g（x）=x3+2x是奇函数，对称中心为（0，0），曲线f（x）=x3+2x+1的对称中心：B（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，代入y=x3+2x+1，可得x3=（k﹣2）x，∴x=0或x=±∴不妨设A（，k+1）（k＞2）∵|AB|=|BC|=∴（﹣0）2+（k+1﹣1）2=10∴k3﹣2k2+k﹣12=0∴（k﹣3）（k2+k+4）=0∴k=3∴直线l的方程为y=3x+1故选：D．点评：本题考查直线与曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，设出直线方程是关键．11．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．2﹣B．2C．D．+1考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，判断四棱锥体积最大时S的位置，然后求解底面ABCD的中心与顶点S 之间的距离即可．解答：解：四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，顶点S与球心的连线恰好底面ABCD的一边的中点，如图：此时球心O到底面中心F的距离为：OF==1．即EF=OF=1，∠SEF=45°，SE=，SF==所求距离为：．故选：C．点评：本题考查球的内接体，几何体的高的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 12．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=2f （x+2），当x ∈[0，2）时，f（x ）=﹣2x 2+4x ．设f （x ）在[2n ﹣2，2n ）上的最大值为a n （n ∈N *），且{a n }的前n 项和为S n ，则S n =（）A ．B ．C ．D ．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：根据定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=2f （x+2），可得f （x+2）=f （x ），从而f （x+2n ）=f （x ），利用当x ∈[0，2）时，f （x ）=﹣2x 2+4x ，可求（x ）在[2n ﹣2，2n ）上的解析式，从而可得f （x ）在[2n ﹣2，2n ）上的最大值为a n ，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n }的前n 项和为S n ．解答：解：∵定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=2f （x+2）， ∴f （x+2）=f （x ）， ∴f （x+4）=f （x+2）=f （x ），f （x+6）=f （x+4）=f （x ），…f （x+2n ）=f （x ）设x ∈[2n ﹣2，2n ），则x ﹣（2n ﹣2）∈[0，2）∵当x ∈[0，2）时，f （x ）=﹣2x 2+4x ．∴f[x ﹣（2n ﹣2）]=﹣2[（x ﹣（2n ﹣2）]2+4[x ﹣（2n ﹣2）]． ∴=﹣2（x ﹣2n+1）2+2∴f （x ）=21﹣n[﹣2（x ﹣2n+1）2+2]，x ∈[2n ﹣2，2n ），∴x=2n ﹣1时，f （x ）的最大值为22﹣n∴a n =22﹣n∴{a n }表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n }的前n 项和为S n ==故选B ．点评：本题以函数为载体，考查数列的通项与求和，解题的关键是确定函数的解析式，利用等比数列的求和公式进行求和．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）已知，那么展开式中含x 2项的系数为135．考点：定积分；二项式定理的应用．专题：计算题；导数的概念及应用；概率与统计．分析：根据定积分的计算方法，计算，可得n的值，进而将n=6代入，利用通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含x2是第几项，由此算出系数．解答：解：根据题意，=lnx|1{\;}^{{e}^{6}}=6，则中，由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C6r（﹣3）r x6﹣2r可知r=2，所以系数为C62×9=135，故答案为：135．点评：本题考查二项式定理的应用以及定积分的计算，关键是由定积分的计算得到n的值．14．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为1209．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：取AB中点D，根据已知条件便容易得到，所以三点D，P，C共线，并可以画出图形，根据图形即可得到，所以便可得到．解答：解：取AB中点D，则：=；∴；∴D，P，C三点共线，如图所示：∴；∴=1209．故答案为：1209．点评：向量加法的平行四边形法则，以及共线向量基本定理，数形结合的方法及三角形面积公式．15．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：4﹣．考点：等差数列的性质；点到直线的距离公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得动直线l：ax+by+c=0过定点Q（1，﹣2），PMQ=90°，点M在以PQ为直径的圆上，求出圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为．求得点N到圆心C的距离，再减去半径，即得所求．解答：解：因为a，b，c成等差数列，故有2b=a+c，即a﹣2b+c=0，对比方程ax+by+c=0可知，动直线恒过定点Q（1，﹣2）．由于点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，即∠PMQ=90°，所以点M在以PQ为直径的圆上，该圆的圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为=，再由点N到圆心C的距离为NC=4，所以线段MN的最小值为NC﹣r=4﹣，故答案为：4﹣．点评：本题主要考查等差数列的性质，直线过定点问题、圆的定义，以及点与圆的位置关系，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是[，1]．考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：分别作出函数y=log2（1﹣x）+1，（x＞﹣1）和y=x2﹣3x+2的图象，观察函数值在[0，2]内的图象，讨论最小值和最大值的情况，对a讨论，a=1，a＞1，a＜1，以及a＜，a，的情况，即可得到结论．解答：解：分别作出函数y=log2（1﹣x）+1，（x＞﹣1）和y=x2﹣3x+2的图象，由于函数f（x）的值域是[0，2]，则观察函数值在[0，2]内的图象，由于f（﹣1）=log22+1=2，f（0）=02﹣3×0+2=2，显然a=0不成立，a=1成立，a＞1不成立，又f（）=+1=0，若a＜，则最小值0取不到，则a，综上可得，．即有实数a的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．点评：本题考查已知函数的值域，求参数的范围，考查数形结合的思想方法，注意观察和分析，考查运算能力，属于中档题和易错题．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（14分）设向量=（cosωx﹣sinωx，﹣1），=（2sinωx，﹣1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=•的最小正周期为4π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2﹣t﹣1=0的根，且，求f（x0）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换以及两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为，再根据周期求得ω的值．（Ⅱ）求得方程2t2﹣t﹣1=0的两根，可得，可得x0的值，从而求得f（x0）的值．解答：解：（Ⅰ）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+1=sin2ωx+cos2ωx=，因为T=4π，所以，ω=．…（6分）（Ⅱ）方程2t2﹣t﹣1=0的两根为，因为，所以sinx0∈（﹣1，1），所以，即．又由已知，所以．…（14分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．18．（14分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数 4 4 2 2该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，根据题设条件，利用排列组合知识能求出这两名队员来自同一学校的概率．（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出其相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．解答：解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，则．…（6分）（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…（7分）则，，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P…（10分）∴…（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2017-2018学年高考中都是必考题型．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．（3）建立的空间直角坐标系中，求得平面A1DE的一个法向量，平面CA1D的法向量，利用向量数量积求解夹角余弦值，则易得二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．解答：解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD，∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==，∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为（Ⅲ）取BE的中点F，以A为原点，AF所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，AA1=则A（0，0，0），D（0，2，0），C（，，0），A1（0，0，），又，设平面CA1D的法向量则得，同理可得平面A1DE的一个法向量为=（）设二面角C﹣A1D﹣E的平面角为θ，且θ为锐角则cosθ=|cos＜＞|===所以二面角C﹣A1D﹣E的余弦值为．点评：本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．20．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；解答：解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．联立：，得，即，∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，△F2MN的高即为点F2到直线的距离．∴△F2MN的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△F2MN的面积的最大值为．点评：本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式求函数的最值，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h （x）=的最小值即可．（3）分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．解答：解：（1）∵f′（x）=1+lnx，∴f′（e）=1+lne=k﹣3∴k=5，（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则ax02＞x0lnx0，∴a＞设h（x）=则h′（x）=，当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0．（3）由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F（x）=，∴F′（x）=，令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0，当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0，所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，F（x）min=F（x0）===x0+2∈（5，6）故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5点评：本题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．。

2018届河北省衡水中学高三下学期期中考试理科数学试题及答案精品

河北省衡水中学2018届高三下期期中考试数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前。

考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，则复数131i i-=+A ． 2i +B ． 2i -C ． 12i --D ． 12i -+2．已知集合{}0,1,2P =,{}|3x Q y y ==，则P Q =A ． {}0,1B ． {}1,2C ． {}0,1,2D ． ∅3．已知cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα+=A ．B ．C ．D ． k -4．下列说法中，不．正确的是A ．已知,,a b m R ∈，命题“若22am bm <，则a b <”为真命题；B ．命题“2000,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”；C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题；D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件．5．已知偶函数f （x ），当[0,2)x ∈时，f （x ）=2sinx ，当[2,)x ∈+∞时，()2log f x x =，则()43f f π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭A ．2 B ．1 C ．3 D ．26．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1,2,4,8，则输出的S 为A ．2B ．C ．4D ．67．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角的大小为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π8．已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2km处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘．O 地为一磁场，的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确．则该测绘队员能够得到准确数据的概率是A ．12B ．2C ． 1-D ． 12-9．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰好是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线经过点F ，则双曲线的离心率为 A ．B ．C ．1D ． 110．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．64 B ．72C ．80D ．11211．已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB =2，BC =4，CD =5，DA =3，则四边形ABCD 面积S 的最大值为A．B ．C ．D ．12．已知函数()20ln 041x x f x x x x >⎧=⎨≤++⎩，，，若关于x 的方程()()20f x bf x c -+=(),b c R ∈有8个不同的实数根，则由点（b ，c ）确定的平面区域的面积为 A ．16B ． 13C ． 12D ． 23第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知平面向量a ，b 的夹角为23π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |= ．14．将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为（用数字作答）． 15．设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ,设P 为椭圆上一点，12F PF ∠的外角平分线所在的直线为l ，过12,F F 分别作l 的垂线，垂足分别为R 、S ，当P 在椭圆上运动时，R 、S 所形成的图形的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()11*,1n n a S n N λλ+=+∈≠-，且1a 、22a 、33a +为等差数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和． 18．（本小题满分12分）集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为12、12、23，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元．（1）求集成电路E 需要维修的概率；（2）若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠ABC =∠BAD =90°，AP =AD =ABBC =t ，∠PAB =∠PAD =α．（1）当t =试在棱PA 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AE EP的值；（2）当60α=时，若平面PAB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭且与直线12x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设P 是曲线E 上的动点，点B 、C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为()2211x y -+=，求△PBC 面积的最小值． 21．（本小题满分12分）已知函数()22ln f x x a x x=++．（1）若f （x ）在区间[2,3]上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）设f （x ）的导函数()'f x 的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点()11,A x y 、()22,B x y 所在直线的斜率为k ，求证：当a ≤4时，|k |>1．请考生在第22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知O 和M相交于A 、B 两点，AD 为M的直径，延长DB 交O 于C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 分别交O 、BD于点E 、F ，连结CE ．（1）求证：AG EF CE GD ⋅=⋅;（2）求证：22GF EF AG CE=．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=．（1）分别写出1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程．（2）已知M 、N 分别为曲线1C 的上、下顶点，点P 为曲线2C 上任意一点，求|PM |+|PN |的最大值．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =R ．（1）求实数m 的取值范围．（2）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．。

河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期第六次调研考试理数试题(A卷) Word版含解析

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数122ii+-的共轭复数是（） A ．35iB ．35i -C ．iD ． i -【答案】D 【解析】试题分析：由于122i i +-i ii ii =-+=)2()21(,因此应选D ．考点：复数的运算． 2．已知集合()(){}240,2101x A x RB x R x a x a x ⎧-⎫=∈≤=∈---<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．{}[)12,+∞D ．()1,+∞ 【答案】C考点：二次不等式的解法和集合的运算．3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（） A ．24B ．30C ．36D ．40 【答案】C 【解析】试题分析：因120248=+k k ,故36120103,2=⨯=k ,应选C.考点：抽样方法及计算． 4．如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（） A ．8?i >B ．9?i >C ．10?i >D ．11?i >【答案】C 【解析】试题分析：从所给算法流程可以看出当10=i 时仍在运算,当1011>=i 时运算就结束了,所以应选C.考点：算法流程图的识读和理解．5．已知把函数()sin f x x x =+的图像向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（） A ．6x π=B ．76x π=C ．12x π=D ．56x π=【答案】D考点：三角函数的图象和性质．6．已知等比数列{}n a 的前n 项的和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（） A ．2B ．3C ．72D ．52【答案】D 【解析】试题分析：因k a S S k a a S k a S +=+=+=+=+==4,2,132321211,即2,1,1321==+=a a k a ,故题设21,1)1(2-==+k k ,所以1221)(23+-+=x x x x f ,由于)1)(23(23)(2/+-=-+=x x x x x f ,因此当)1,(--∞∈x 时, )(,0)(/x f x f >单调递增；当)32,1(-∈x 时, )(,0)(/x f x f <单调递减,所以函数)(x f 在1-=x 处取极大值2512211)1(=+++-=-f ,应选D. 考点：等比数列的前n 项和与函数的极值.7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（） A ．48种B ．72种C ．78种D ．84种【答案】A考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用.8．已知椭圆221167x x +=的左、右焦点12,F F 与双曲线()222210x x a b a b-=>>的焦点重合．且直线10x y --=与双曲线右支相交于点P ，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（）A ．2218x x -= B ．22163x x -= C ．22172x x -= D ．22154x x -= 【答案】D 【解析】试题分析：因3716=-=c ,故)0,3(2F ,设交点)0)(1,(>-t t t P ,则2PF =,右准线方程为32a x =,点P 到这条直线的距离为32a t d -=,所以31082322a t t t a-+-=,即2222221082)3(a t a t a a t +-=-,也即0102)92(42222=-+--a a t a t a ,该方程有正根,所以0)10)(92(444224≥---=∆a a a a ,解之得52≤a 或92≥a ,所以当52=a 时,双曲线的离心率最小,此时4592=-=b ,应选D. 考点：双曲线的几何性质．【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设法建构含c b a ,,的方程,然后再通过解方程或方程组使问题获解.解答本题的难点是如何建立和求出关于离心率的目标函数,再进一步探求该函数取得最小值时的条件,从而求出双曲线的标准方程中的b a ,的值.本题中的函数是运用两点之间的距离公式建立的,求解时是解不等式而求出b a ,的值.9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体EFHG ，在这个长方体中把四面体EFHG 截出如图所示，则四面体EFHG 的侧视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D考点：三视图的识读和理解．10．已知函数()321f x x ax =++的对称中心的横坐标为()000x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),1-∞- 【答案】B 【解析】试题分析：由于)32(323)(2/a x x ax x x f +=+=因此函数()321f x x ax =++有两个极值点32,0a -,因01)0(>=f ,故01274)32(3<+=-a a f ,即2233-<a ,应选B.考点：导数在研究函数的零点中的运用．11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若2PA AB ==，1AC =，120BAC ∠=︒，且PA ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（）A ．403πB ．503πC ．12πD ．15π【答案】A考点：球的几何性质与表面积的计算．【易错点晴】本题考查的是多面体的外接球的表面积问题.解答本题的难点是如何求出该四棱锥的外接球的半径,如何确定球心的位置,这对学生的空间想象能力的要求非常高.解答时充分借助题设条件,先求出三角形ABC ∆的外接圆的半径37=r ,再借助PA ⊥平面ABC ,球心O 与ABC ∆的外接圆的圆心1O 的连线也垂直于ABC ∆所在的平面,从而确定球心O 与1,,O A P 共面.求出了球的半径,找到解题的突破口.12．已知函数()21,0,log ,0,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩下列是关于函数()()1y f f x =+的零点个数的四种判断：①当0k >时，有3个零点；②当0k <时．有2个零点；③当0k >时，有4个零点；④当0k <时，有1个零点．则正确的判断是（） A ．③④B ．②③C ．①④D ．①② 【答案】A 【解析】试题分析：若xx f x 2log )(,0=>.当log 2>x ,即1>x 时,01)(log log ))((22=+=x x f f ,解得2=x ；当0lo g 2≤x ,即10≤<x 时,011)(log ))((2=++=x k x f f ,当0>k ,解得122<=-kx 适合；当0<k ,解得122>=-kx 不适合.若1)(,0+=≤kx x f x ,若01<+kx ,则011))((2=+++=k x k x f f ,即022=++k x k ,当22,0kk x k +-=>合适,0<k 时不合适；若01>+kx ,则01)1(log ))((2=++=kx x f f ,即211=+kx 也即kx 21-=,当0>k 时适合；当0<k 不合适.因此当0>k 时有四个根k kk k21,2,2,222-+--；当0<k 只有一个根2=x ,应选A. 考点：函数的零点和分类整合思想．【易错点晴】本题考查的是函数零点的个数及求解问题.解答时借助题设条件,合理运用分类整合的数学思想,通过对变量x 的分类讨论,建立了关于函数)(x f 的方程,再通过对参数k 的分类讨论,求解出方程01))((=+x f f 的根,求解时分类务必要求合乎逻辑力争做到不重不漏,要有条理.解答本题的难点是如何转化方程01))((=+x f f ,如何进行分类整合.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，ABC ∆的顶点都在抛物线上，且满足FA FB FC +=-，则111AB BC CAk k k ++=______．【答案】0考点：抛物线的几何性质．14．设曲线()1*n y xx N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则 20151201522015320152014log log log log x x x x +++⋅⋅⋅+的值为______．【答案】1- 【解析】试题分析：因n x n x f )1()(/+=,而1)1(/+=n f ,即切线的斜率1+=n k ,故切线方程为)1)(1(1-+=-x n y ,令0=y 得1+=n n x n ,所以11143322121+=+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n n n x x x n ,而20151201522015320152014log log log log x x x x +++⋅⋅⋅+1120141log )(log 20152014212015-=+=⋅⋅⋅=x x x .考点：导数的几何意义．15．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 22cos 2A B C +=，则cos C 的最小值为______．【答案】21考点：余弦定理和基本不等式的运用．【易错点晴】本题考查的是以三角形中的三角变换为背景,其实是和解三角形有关的最小值问题.求解本题的关键是如何将题设条件cos 2cos 22cos 2A B C +=与cos C 的最小值进行联系,这也是解答好本题的突破口.解答时先运用二倍角公式将其化为C B A 222sin 2sin sin =+,再运用正弦定理将其转化为三角形的边的等式2222c b a =+.然后再借助余弦定理和基本不等式进行联系,从而求出cos C 的最小值. 16．若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美函数”．已知()ln 1xg x e x x =+-+，若函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的“完美函数”，则整数m 的最小值为______．【答案】3 【解析】试题分析：令x x x e x G x 1ln )(+-+=,则2//2ln )1()(,11)(x x e x x G x e x g x x -+-=-+=,当2=m 时, 02)(,0)1(//<-=>=x G e g ,不合题设；当3=m 时, 3/231()023g e =+>，32/13ln 2322()0924e G +-=>符合题设,所以所求最小的正整数3=m .考点：导函数的几何意义．【易错点晴】本题以新定义的完美函数为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何建立满足不等式的实数m 的值.求解时依据题设条件先对函数()ln 1x g x e x x =+-+和xx g x F )()(=求导,建立不等式组,求参数m 的值时运用的是试验验证法,即根据题设条件对适合条件的实数m 的值进行逐一检验,最终获得答案. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()*113,3n n n a a S n N +≠=+∈．（1）求证：{}3nn S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)()()+∞-,33,9 .（2）由（1）得，()11332nn n S a --=-⨯，所以()11323n n n S a -=-⨯+．当2n ≥时，考点：等比数列及递增数列等有关知识的运用．18．（本小题满分12分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表：频数假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（l）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车,A B按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．【答案】(1) 汽车A选择公路1，汽车B选择公路2；(2)汽车B为生产商获得毛利润更大．.X=．（Ⅱ）设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则42,40,38,36X的分布列如下：()420.2400.4380.2360.239.2E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．-=（万元）．∴表示汽车A选择公路1时的毛利润为39.2 3.236.0设Y 表示汽车B 选择公路2时的毛利润，42.4,40.4,38.4,36.4Y =．则Y 的分布列如下：0.4()42.40.140.40.438.40.436.40.139.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．∵36.039.4<，∴汽车B 为生产商获得毛利润更大．考点：概率和随机变量的分布列与数学期望等有关知识的运用． 19．（本小题满分12分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，PAC ∆为等边三角形，PE BC ，过BC 作平面交AP 、AE 分别于点N 、M ．（1）求证：MN PE ；（2）设ANAPλ=，求λ的值，使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒．【答案】(1)证明见解析；(2) 1λ=.考点：空间直线与平面的位置关系及空间向量等有关知识的运用．【易错点晴】空间向量是理科高考的必考的重要内容之一,也是高考的难点之一.解答这类问题的关键是运算求解能力不过关和灵活运用数学知识和思想方法不到位.解答本题的两个问题时,都是通过建立空间直角坐标系,充分借助题设条件和空间向量的有关知识进行推证和求解.第一问中的求证是借助向量共线定理进行推证的；第二问中充分运用向量的数量积公式建立方程的,通过解方程从而求出1λ=.如何通过计算建立方程是解答好本题的难点和关键之所在.20．（本小题满分12分）如图，已知圆(22:16E x y +=，点)F，P 是圆E 上任意一点线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹Γ相交下,A B 两点，直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >）．OA B ∆的面积为S ，以,O A O B 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若12,,k k k 恰好构成等比数列，求12S S S+的取值范围．【答案】(1) 2214x y +=；(2)5,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，又22221212144x x y y +=+= 则()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=⋅+++=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=+-+=⎣⎦为定值．12分∴125544S S S ππ+=≥当且仅当1m =±时等号成立．综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．14分考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的运用． 21．（本小题满分12分）已知函数()()1ln 0x f x x a ax-=-≠．（l ）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值()0.69ln 20.70<<；（3）求证：21ln e x x x+≤．【答案】(1) 若0a <，函数()f x 的单调减区间为()0,+∞，若0a >，()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)最大值为0，最小值为1ln 2-+；(3)证明见解析.考点：导数在研究函数的单调性和最值中的运用．【易错点晴】本题以探求函数的单调性和不等式的推证为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的综合应用问题.解答本题的第一问时,是直接依据题设条件运用分类讨论的思想求出单调区间；第二问中的最值求解则是运用导数研究函数在各个区间上的单调性,再依据最值的定义求出最值；第三问中的不等式的证明和推证则是依据题设条件,将问题进行合理有效的转化为求最值问题.体现数学中的化归与转化的数学思想的巧妙运用.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知直线AC 与圆O 相切于点B ，AD 交圆O 于F 、D 两点，CF 交圆于,E F ，BD CE ，AB BC =，2AD =，1BD =．（1）求证：BDF FBC ∆∆∽；（2）求CE 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)4CE =.考点：圆的有关知识的及运用．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为()2cos 0a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 4350x y -+=，()222x a y a -+=；(2) 59a ≤-或5a ≥.考点：极坐标方程和参数方程等有关知识及运用．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）设函数()5,2f x x x a x R =-+-∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．【答案】(1)54；(2)16+【解析】试题分析：(1)依据题设条件运用绝对值不等式的性质求解；(2)借助题设条件运用柯西不等式求解.试题解析:考点：绝对值不等式和柯西不等式等有关知识及运用．。

河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试理数试题

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则复数37iz i+=集合的实部和虚部分别是（） A ．7，3- B ．7，3i - C ．7-，3 D ．7-，3i 2.已知集合{1,0,2}P =-，Q {sin ,R}y y θθ==∈，则P Q =（） A ．∅ B ．{0} C ．{1,0}- D ．{1,0,2}-3.已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P X >=，(2)0.3P X >=，(0)P X <等于（） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.84.下列有关命题的说法正确的是（）A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”B ．命题“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“x R ∃∈，使得2210x -<”的否定是“x R ∀∈，都有2210x -<”D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题5.已知α满足1sin 3α=，则cos()cos()44ππαα+-=（） A ．718 B ．2518C.718- D ．2518-6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A ．2163π-B ．216 4.5π- C.2166π- D ．2169π-7.已知函数()2sin(2)6f xx π=+，现将()y f x =的图形向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在5[0,]24π上的值域为（） A ．[1,2]- B ．[0,1] C.[0,2] D ．[1,0]-8.我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入6402a =，2046b =，输出的a =（）A ．66B ．12 C.36 D ．1989.已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩若不等式2(1)2a x xy -+2(42)0a y +-≥恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．73 B ．5356． 10.已知函数()ln f x x =，()(23)g x m x n =++，若对任意的(0,)x ∈+∞，总有()()f x g x ≤恒成立，记(23)m n +的最小值为(,)f m n ，则(,)f m n 最大值为（） A ．1 B ．1e C. 21eD e 11.设双曲线C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点A ，B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（）A ．52B．102C.52D5．12.已知偶函数()f x满足(4)(4)f x f x+=-，且当(0,4]x∈时，ln(2)()xf xx=，关于x的不等式2()()0f x af x+>在区间[200200]-，上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（）A．1(ln2ln6)3--， B．1(ln2ln6]3--， C.13ln2(ln6)34--， D．13ln2(ln6)34--，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量a，b，1a=，2b=且1a b⋅=，若e为平面单位向量，则()a b e+⋅的最大值为．14.二项式65()xx x+展开式中的常数项是．15.已知点A是抛物线C：22x py=（0p>）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点(08)M，为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且ABO△为等边三角形，则p的值是．16.已知在直三棱柱111ABC A B C-中，120BAC∠=︒，1AB AC==，12AA=，若1AA棱在正视图的投影面α内，且AB与投影面α所成角为θ（3060θ︒≤≤︒），设正视图的面积为m，侧视图的面积为n，当θ变化时，mn的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a的前n（*n∈N）项和为n S，数列{}n b是等比数列，13a=，11b=，2210b S+=，5232a b a-=.（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）若2nnnnScb n⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶，，为数为数，设数列{}n c的前n项和为n T，求2n T.18. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，60ABC∠=︒，2PA AB==，点E、F 分别为BC、PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.（1）已知平面PAB 平面PCD l =，求证：AB l ∥；（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值.19.作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近5年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续18年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下462亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩385亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）年份 2013 2014 2015 2016时间代号t 1 2 3 4 年销量y （亿包/桶）462444404385(1)根据上表，求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+.用所求回归方程预测2017 年(5t =)方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查,其中5位受访者表示超过1年未吃过方便面,3位受访者认为方便面是健康食品；而9位受访者有过网络订餐的经历，现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记ξ表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ.参考公式：回归方程：y bt a =+，其中121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-.参考数据：41()()135.5i i i t t y y =--=-∑.20.如图，设抛物线1:C 24y mx =-（0m >）的准线l 与x 轴交于椭圆2C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点2F ，1F 为2C 的左焦点，椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ，M 为1C 上一动点，且在P ，Q 之间移动.（1）当32a 取最小值时，求1C 和2C 的方程；（2）若12PF F △的边长恰好时三个连续的自然数，当MPQ △面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程.21.已知函数()(ln 2)x f x e x k -=-（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与y 轴垂直. （1）求()f x 的单调区间；（2）设1(ln 1)()xx x g x e-+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+⋅<+. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过点(10)F ，的直线l 与1C 交于A ，B 两点，与2C 交于M ，N 两点，求FA FB FM FN的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知()11f x x =-+，()3()1233f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩，，，，（1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围.参考答案及解析一、选择题1-5:ACBBA 6-10:DAAAC 11、12：BD二、填空题5 15.2316.三、解答题17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， ∵13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=， ∴331034232q d d q d+++=⎧⎨+-=+⎩，∴2d =，2q =， ∴21n a n =+，12n n b -= （2）由（1）知(321)(2)2n n n S nn ++==+ ∴11122n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩奇偶，，为数为数∴211111(1)3352121n T n n =-+-++--+13521(2222)n -+++++21121321n n ++=-+18.解：（1）∵AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ∴AB ∥平面PCD ，∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB 平面PCD l =， ∴AB l ∥.（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，2AB =， ∴1BE =，3AE =，AE BC ⊥， ∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE AD 、AP 分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.则(020)D ，，，(002)P ，，，(310)C ，，(300)E ，， ∴(011)F ，，，(300)AE =，，(011)AF =，，，(310)DC =-，，(022)DP =-，，，设平面PCD 的法向量为()n x y z =，，，得(133)n =，，.设(1)AQ AC AP λλ=+-，则(32(1))AQ λλλ=-，，AQ mAE nAF =+，则2(1)n n λλ==⎨⎪-=⎩，，解得23m n λ===， ∴222()333AQ =，，，设直线AQ 与平面PCD 所成角为α，则3sin cos n AQ α=<>=， ∴直线AQ 与平面PCD 19.解：（1） 2.5t =，423.75y =，241()5i i t t =-=∑，135.527.15b -==-，423.75(27.1) 2.5491.5a =--⨯=，所以27.1491.5y t =-+当5t =时，27.15491.5356y =-⨯+=（2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，ξ的可能值为0，1，2，3，所以373107(0)24C P C ξ===；123731021(1)40C C P C ξ===；21373107(2)40C C P C ξ===；333101(3)120C P C ξ===，721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，b = 所以2a 取最小时值时1m =，此时抛物线1C ：24y x =-，此时2a =，23b =，所以椭圆2C 的方程为22143x y +=.（2）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，b =，设椭圆2222143x y m m +=，00()P x y ，，11()Q x y ，由222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0y，即2(3m P -，于是153m PF =，21723m PF a PF =-=，12623mF F m ==，又12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =，此时抛物线方程为212y x =-，1(30)F =-，，(2P -，，则直线PQ的方程为3)y x =+，联立23)12y x y x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或12x =-（舍去）于是9(2Q --，所以252PQ =，设2()12t M t -，（(t ∈-）到直线PQ 的距离为d ，则275(2d t =+-当t =max 752d =，所以MPQ △的面积最大值为12522⨯=，MP：y =21.解：（1）因为1ln 2()x x kx f x e-+'=（0x >），由已知得12(1)0k f e +'==，所以12k =-，所以1ln 1()xx x f x e --'=，设1()ln 1k x x x=--，则211()0k x x x'=--<在(0)+∞，上恒成立，即()k x 在(0)+∞，上单调递减，由(1)0k =知，当01x <<时，()0k x >，从而()0f x '>，当1x >时，()0k x <，从而()0f x '<. 综上可知，()f x 的单调递增区间是(01)，，单调递减区间是(1)+∞，，（2）因为0x >，要证原式成立即证2()11x g x e e x -+<+成立.当1x ≥时，由（1）知2()01g x e -≤<+成立；当01x <<时，1x e >，且由（1）知，()0g x >，所以1ln ()1ln xx x xg x x x x e --=<--.设()1ln F x x x x =--，(01)x ∈，，则()(ln 2)F x x '=-+，当2(0)x e -∈，时，()0F x '> 当2(1)x e -∈，时，()0F x '<，所以当2x e -=时，()F x 取得最大值22()1F e e --=+，所以2()()1g x F x e -<≤+，即当01x <<时，2()1g x e -<+，①综上所述，对任意0x >，2()1g x e -<+恒成立，令()1x G x e x =--（0x >），则()10x G x e '=->恒成立，所以()G x 在(0)+∞，上单调递增，()(0)0G x G >=恒成立，即10x e x >+>，即1101x e x <<+.② 当1x ≥时，有2()101x g x e e x -+≤<+；当01x <<时，由①②式，2()11x g x e e x -+<+.综上所述，当0x >时，2()11x g x e e x -+<+成立，故原不等式成立.22.解：（1）曲线1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数），又直线l 与曲线22:4C y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.联立直线l 与曲线1C ：2212x y +=，可得22(1sin )2cos 10t t αα++-=，则12211sin FA FB t t α⋅==+，联立直线l 与曲线2C ：24y x =，可得22sin 4cos 40t t αα--=.则1224sin FM FN t t α⋅==，即2221111sin 4141sin sin FA FB FM FN ααα+==⋅+108⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 23.解：（1）不等式()23f x x ≤+，即为1123x x -+≤+.当1x ≥时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-，此时不等式的解集为1x ≥，当1x <时，即化为(1)123x x --+≤+，解得13x ≥-，此时不等式的解集为113x -≤<. 综上，不等式()23f x x ≤+的解集为1[)3-+∞，. （2）113()1233x x F x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，即21()131233x x F x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，，，，. 作出函数()F x 的图象如图所示，当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，所以13a <<.所以实数a 的取值范围是(13)，.。

河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学(理)试题(原卷版)

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.3. 已知随机变量服从正态分布，且，，等于（）A. B. C. D.4. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C. 命题“，使得”的否定是“，都有”D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题5. 已知满足，则（）A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7. 已知函数，现将的图形向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（）A. B. C. D.8. 我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入，，输出的（）A. B. C. D.9. 已知实数，满足约束条件若不等式恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C. D.10. 已知函数，，若对任意的，总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（）A. B. C. D.11. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于两点，，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.12. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量，，，且，若为平面单位向量，则的最大值为_____．14. 二项式展开式中的常数项是_____ ．15. 已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若，是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是_____ ．16. 已知直三棱柱中，，，,若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的前（）项和为，数列是等比数列，，，，. （1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求.18. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，，，点、分别为、的中点，设直线与平面交于点.（1）已知平面平面，求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）年份时间代号年销量（亿包/桶）(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测2017 年()方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面,位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：回归方程：，其中，.参考数据：.20. 如图，设抛物线（）的准线与轴交于椭圆：（）的右焦点，为的左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在，之间移动.（1）当取最小值时，求和的方程；（2）若的边长恰好时三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程.21. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直.（1）求的单调区间；（2）设，对任意，证明：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲已知，（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.。

河北省衡水中学2018届高三十六模理科数学试题(含答案)

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则复数集合37iz i+=的实部和虚部分别是（） A ．7,3- B ．7,3i - C ．7,3- D ．7,3i -2.已知集合{}1,0,2P =-，{}sin ,Q y y R θθ==∈，则P Q ⋂=（） A ．∅ B ．{}0 C ．{}1,0- D ．{}1,0,2-3.已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P X >=，(2)0.3P X >=，(0)P X <等于（） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.84.下列有关命题的说法正确的是（）A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”B ．命题“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题是真命题C.命题“x R ∃∈，使得2210x -<”的否定是“x R ∀∈，都有2210x -<” D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题5.已知α满足1sin 3α=，则cos()cos()44ππαα+-=（） A ．718 B ．2518 C. 718- D ．2518-6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A ．2163π-B ．216 4.5π- C.2166π- D ．2169π- 7.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，现将()y f x =的图形向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（） A ．[]1,2- B ．[]0,1 C.[]0,2 D ．[]1,0-8.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算术——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入6402a =，2046b =时，输出的a =（）A ．66B ．12 C. 36 D ．1989.已知实数,x y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩，若不等式22(1)2(42)0a x xy a y -++-≥恒成立，则实数a 的最大值为（） A ．73 B ．53C.5 D ．6 10.已知函数()ln f x x =，()(23)g x m x n =++，若对任意的(0,)x ∈+∞，总有()()f x g x ≤恒成立，记(23)m n +的最小值为(,)f m n ，则(,)f m n 最大值为（）A ．1B ．1e C. 21e D ．1e11.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右知交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（）A ．52 B ．102 C.52D ．5 12.已知偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，ln(2)()x f x x=，关于x 的不等式2()()0f x af x +>在区间[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．1(ln 2,ln 6)3--B ．1(ln 2,ln 6]3-- C.13ln 2(ln 6,)34--D ．13ln 2(ln 6,]34-- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量a ，b ，1a =，2b =，且1a b ⋅=，若e 为平面单位向量，则()a b e +⋅的最大值为．14.二项式651()x x x+展开式中的常数项是．15.已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,8)M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是．16.已知直三棱柱11ABC A B C -中，120BAC ∠=︒，1AB AC ==，12AA =,若棱1AA 在正视图的投影面α内，且AB 与投影面α所成角为(3060)θθ︒≤≤，设正视图的面积为m ，侧视图的面积为n ，当θ变化时，mn 的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的前*()n n N ∈项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，13a =，11b =，2210b S +=,5232a b a -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .18. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，2PA AB ==，点E F 、分别为BC PD 、的中点，设直线PC 与平面AEF 交于点Q . （1）已知平面PAB PCD l ⋂=平面，求证：//AB l ；（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值.19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近5年出现了戏剧性的逆转，统计显示，2011年之前，方便面销量在中国连续18年保持两位数增长，2013年的年销量更是创下462亿包的辉煌战绩；但2013年以来，方便面销量却连续3年下跌，只剩385亿包，具体如下表.相交于方便面，网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来，网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.全国方便面销售情况（单位：亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）年份 2013201420152016时间代号t 1 2 3 4 年销量y （亿包/桶）462444404385（1）根据上表，求y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+，用所求回归方程预测2017年(5)t =方便面在中国的年销量；（2）方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响？中国的消费业态发生看怎样的转变？某媒体记者随机对身边的10为朋友做了一次调查，其中5位受访者表示超过1年未吃过方便面，3为受访者认为方便面是健康食品；9位受访者有过网络订餐的经历.现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记ξ表示随机抽取的3人，认为方便面是健康食品的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.参考公式：回归方程：ˆˆˆybt a =+，其中2121()()ˆ()ni i i nii t t y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-. 参考数据：421()()135.5ii i tt y y =--=-∑20. 如图，设抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线l 与x 轴交于椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点21,F F 为的左焦点，椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点,Q M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动.（1）当32a b+取最小值时，求1C 和2C 的方程；（2）若12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ ∆面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程.21. 已知函数()(ln 2)xf x e x k -=-（k 为常数， 2.71828...e =是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直.（1）求()f x 的单调区间；（2）设1(ln 1)()xx x g x e-+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+⋅<+. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与1C 交于,A B 两点，与2C 交于,M N 两点.求FA FBFM FN的最值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知()11f x x =-+，(),3()123,3f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩.（1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ACBBA 6-10:DAAAC 11、12：BD二、填空题13.7 14.5 15.2316.33 三、解答题17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， ∵13a =，11b =，2210b S +=,5232a b a -= ∴331034232q d d q d +++=⎧⎨+-=+⎩，∴2d =，2q =∴21n a n =+，12n n b -=.（2）由（1）知，(321)(2)2n n n S n n ++==+，∴111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数∴2111(1..335n T =-+-+11.)2121n n +-+-- 13521(222 (2))n -++++21121321n n ++=-+18.解：（1）∵//AB CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD . ∴//AB 平面PCD∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面PCD l =， ∴//AB l .（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，2AB =， ∴1BE =，3AE =，AE BC ⊥，∴AE AD ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE AD AP 、、分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(3,1,0)C ，(3,0,0)E ，∴(0,1,1)F ，(3,0,0)AE =，(0,1,1)AF =，(3,1,0)DC -，(0,2,2)DP =-，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，得(1,3,3)n =设(1)AQ AC AP λλ=+-，则(3,,2(1))AQ λλλ=-，AQ mAE nAF =+，则332(1)mn n λλλ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得23m n λ===， ∴222(3,,)333AQ λ= 设直线AQ 与平面PCD 所成角为α则3105sin cos ,35n AQ α==∴直线AQ与平面PCD 所成角的正弦值为310535.19.解：（1） 2.5t =，423.75y =，421()5ii tt =-=∑，135.5ˆ27.15b -==-，ˆ423.75(27.1) 2.5491.5a =--⨯=，所以ˆ27.1491.5yt =-+，当5t =时，ˆ27.15491.5356y=-⨯+=. （2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，ξ的可能值为0,1,2,3，所以373107(0)24C P C ξ===；123731021(1)40C C P C ξ===；21373107(2)40C C P C ξ===；333101(3)120C P C ξ===； ξ 0 1 2 3P724 2140 740 1120721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=20.解：（1）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，3b m =，所以32a b+取最小值时1m =，此时抛物线21:4C y m =-，此时2a =，23b =，所以椭圆2C 的方程为22143x y +=.（2）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，3b m =，设椭圆的标准方程为2222143x y m m+=，00(,)P x y ，11(,)Q x y ，由222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得 0263y m =，即226(,)33m mP -，于是153m PF =，21723mPF a PF =-=， 12623m F F m ==，又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =，此时抛物线方程为212y x =-，1(3,0)F -，(2,26)P -，则直线PQ 的方程为26(3)y x =+，联立226(3)12y x y x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或22x =-（舍去），于是9(,36)2Q --.所以22925(2)(2636)22PQ =-+++=，设2(,)((36,26))12t M t t -∈-到直线PQ 的距离为d .则26675(+)3022d t =⨯- 当62t =-时，max 675563024d =⨯=，所以MPQ ∆的面积最大值为12556125622416⨯⨯=，462:633MP y x =--21.解：（1）因为1ln 2)'()(0)xx k x f x x e -+=>，由已知得12'(1)0k f e +==，所以12k =-，所以1ln 1'()xx x f x e --=，设1()ln 1k x x x=--，则211'()0k x x x=--<在(0,)+∞上恒成立，即()k x 在(0,)+∞上单调递减，由(1)0k =知，当01x <<时，()0k x >，从而'()0f x >，当1x >时，，从而. 综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.（2）因为0x >，要证原式成立即证2()11x g x e e x -+<+成立.当1x ≥时，由（1）知2()01g x e -≤<+成立；当01x <<时，1xe >，且由（1）知，()0g x >，所以1ln ()1ln xx x xg x x x x e-+=<-- 设()1ln F x x x x =-+，(0,1)x ∈，则'()(ln 2)F x x =-+，当2(0,)x e -∈时，'()0F x >，当2(,1)x e -∈时，'()0F x <，所以当2x e -=时，()F x 取得最大值22()1F e e --=+，所以2(x)()1g F x e -<≤+，即当01x <<时，2(x)1g e -<+，①综上所述，对任意0x >，2(x)1g e -<+恒成立.令()1(0)xG x e x x =-->，则'()1x G x e =-恒成立，所以()G x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0G x G >=恒成立，即10x e x >+>，即1101x e x <<+，② 当1x ≥时，有2()101x g x e e x -+≤<+ 当01x <<时，有①②式，2()11x g x e e x -+<+ 综上所述，当0x >时，2()11x g x e e x -+<+成立，故原不等式成立. 22.解：（1）曲线1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为24y x =. （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）又直线l 与曲线2C ：24y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.联立直线l 与曲线1C ：2212x y +=，可得22(1sin )2cos 10t t αα++-=，则12211sin FA FB t t α⋅==+，联立直线l 与曲线2C ：24y x =，可得22sin 4cos 40t t αα--=，则1224sin FM FN t t α⋅==，即FA FB FM FN= 222211sin 1sin 441sin sin αααα+=⋅+21110,1481sin α⎛⎤=⋅∈ ⎥⎝⎦+ 23.解：（1）不等式()23f x x ≤+，即为1123x x -+≤+ 当1x ≥时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-，此时不等式的解集为1x ≥.当1x <时，即化为(1)123x x --+≤+，解得13x ≥-，此时不等式的解集为113x -≤<. 综上，不等式()23f x x ≤+的解集为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.（2）(),3()123,3f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩即2,1(),13123,3x x F x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩作出函数()F x 的图形如图所示，当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，所以13a <<.所以实数a 的取值范围是(1,3)。

河北省衡水中学2017-2018学年高三9月摸底联考(全国卷)理数试题01 Word版含解析

2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}|0B x x =≥，且AB A =，则集合A 可能是（）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 【答案】A 【解析】试题分析：因为A B A =，所以A B ⊆，下列选项中只有选项A 中的集合是集合B 的子集，故选A.考点：集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）. 2. 复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】考点：1.复数的相关概念；2.复数的运算.3. 已知平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==，则向量a 与b 夹角的余弦值为（）A ．2 B ． 2- C ．12 D ．12-【答案】C 【解析】试题分析：22()cos ,42cos ,5a a b a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅<>=+<>=，所以1cos ,2a b <>=，故选C. 考点：向量的数量积.4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（）A ． 1B ． 2C ．3D ．4 【答案】B5. 已知数列{}n a 中，()111,21,n n n a a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S 的值为（）A ．57B ．61C ．62D ．63 【答案】A 【解析】试题分析：由条件可得1213243541,213,217,2115,2131a a a a a a a a a ==+==+==+==+=，所以512345137153157S a a a a a =++++=++++=，故选A.考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A ．23π B ． 3π C ．29π D ．169π 【答案】D7. 为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作如下变换（） A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位【答案】C 【解析】试题分析：因为cos 2sin(2)sin[2()]2123y x x x πππ==+=++，所以只需将sin(2)3y x π=+的图象向左平移12π个单位即可得到函数cos 2y x =的图象，故选C. 考点：图象平移变换.8. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为（）A ．1B ．32C ．34D ．74【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系中作出区域A ，当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域为下图中的四边形A O D ，所以其面积为11172212224AOC DEC S S S ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=，故选D.考点：线性规划.9. 焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C 【解析】考点：椭圆的标准方程与几何性质.10. 在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥===，二面角S AC B --的余弦值是）A ．B ．6πC ．24πD 【答案】B11. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为（）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个【答案】D 【解析】考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的. 12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x += ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数【答案】B 【解析】故选B.考点：三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A ，再根据周期确定ω，由最高点的值或最低点的值确定ϕ，求出解析式后再研究函数相关性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为．【答案】2 【解析】试题分析：()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344(1)2C C +-=,故填2. 考点：二项式定理.14. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ．【答案】14【解析】试题分析：抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离152pd =+=,所以8p =，抛物线方程为216y x =，点(1,4)M ，点(1,0)A -，4021(1)AM k -==--，所以12=-，即14a =，故应填14.考点：抛物线与双曲线的标准方程与几何性质.15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,M A N C∠=点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=，从C 点测得60MCA ∠=，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．【答案】15016. 设函数()()21,x x xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是．【答案】121k e ≥- 【解析】试题分析：对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立等价于()()12max min1g x f x k k ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，2110,()2x x f x x x x +>∴==+≥，当且仅当1x =时取等号，所以min()(1)2f x f ==，即()2m i n211f x k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，21()()x x x x e xe x g x e e --'==，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时， ()0g x '<，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g e ==，所以()1max1g x k ke ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以有121ke k ≤+，解之得121k e ≥-. 考点：1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099.（1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）.【答案】（1）()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）到2035年不需要调整政策.【解析】10500.99n n a -=⨯因此，新政策实施后第n 年的人口总数n a （单位：万）的表达式为()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩故到2035年不需要调整政策．考点：1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式.【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由; （2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】(1)存在点N ，为BD 中点；(2)23. 【解析】试题分析：(1)由题意可知PB ⊥平面ABCD ,所以只要构造直线//MN PB 即可，连接BD ，取BD 中点N ，构造三角形PBD 的中位线即可；(2) 以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系,求出平面DPE 与平面APE 的法向量，利用空间向量相关知识求解即可.试题解析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则⊥MN 平面ABCD 证明： M 为PD 中点，N 为BD 中点MN ∴为PDB ∆的中位线，PB MN //∴又平面⊥ABCD 平面ABPE平面ABCD 平面ABPE =AB ,⊂BC 平面ABCD ,AB BC ⊥⊥∴BC 平面ABPEPB BC ⊥∴，又AB PB ⊥，B BC AB =⋂⊥∴PB 平面ABCD所以⊥MN 平面ABCD19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：① 产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.【答案】(1)0.3,0.2a b ==;(2)4.8;(3) 乙厂的产品更具可购买性. 【解析】由① ② 得0.30.2a b =⎧⎨=⎩（2）由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：所以，230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。

2018年河北省衡水中学高三2017～2018学年度第二学期第7周周考理科数学试题及参考答案

f

x 1 x 1 f

x 2 1 的解集为__________.
19、．如图，在四棱锥 A EFCB 中，平面 AEF 平面 EFCB ， EF BC ， AEF 为等边三角形，

16.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，面积为 S，则“三斜求积”公式为 S
C. , 8
）
பைடு நூலகம்
3 1 2 4．下列函数： y ， y x ， y x 3 ， y 在 0, 上是增函数且为偶函数的 x 2
有（ A. 1 个） B. 2 个 C. 3 个在点 D. 4 个处的切线的倾斜角为，则 ( )
B.
3．已知命题 p ：“对任意 x 0 ，都有 ln x 1 x ”，则命题 p 的否定是（ A. 对任意 x 0 ，都有 ln x 1 x C. 对任意 x 0 ，都有 ln x 1 x
x
B. 存在 x0 0 ，使得 ln x0 1 x0 D. 存在 x0 0 ，使得 ln x0 1 x0
2 3 e4 3
B.
3 3 e4 2
C.
4 2 e3 3
D.
3 2 e3 4
A.
B.
C.
D. ）
二、填空题 13．已知函数 y f x 的定义域为 , a b, （其中 a b ），则“ y f x 在 , a 和
7．若向量 a , b 的夹角为 A.
（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要条件”）

2018届河北省衡水市衡水中学第三次月考理科数学Word版

2017~2018学年度上学期高三年级三调考试数学（理科）试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．已知集合2{|3100},{|ln(2)}A x x x B x y x =--<==-，则()R A B =（）A ．(2,5)B ．[2,5)C ．(2,2]-D ．(2,2)-1．答案：C解析：2{|3100}(2,5),{|ln(2)}(2,),A x x x B x y x =--<=-==-=+∞()(,2],(2,2]B AB ∴=-∞=-R R2．已知复数z 满足3(i)(12i)i z -+=（其中i 是虚数单位），则复数z 的虚部等于（） A ．15- B ．25-C ．45D ．352．答案：C解析：3i i(12i)2424(i)(12i)i i,i i,i 12(12i)(12i)5555z z z i ----+==-∴-===--∴=-+++-，故z 的虚部为453．阅读如图所示的程序框图，若输入的919a =，则输出的k 值是（） A ．9B ．10C ．11D ．123．答案：C 解析：11(21)(21)111(21)(21)2(21)(21)22121k k k k k k k k +--⎛⎫=⨯=- ⎪-+-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121k S k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令92119k S k =>+，解得9k >，所以取10k =，再执行一步1k k =+，则输出11k = 4．若数列{}n a 满足122,1a a ==，且1111(2)n n n n n n n n a a a an a a a a -+-+⋅⋅=--≥，则数列{}n a 的第100项为（） A ．10012 B ．5012 C ．1100D ．1504．答案：D 解析：由1111n n n n n n n n a a a a a a a a -+-+⋅⋅=--，两边取倒数，得111111(2)n n n nn a a a a -+-=-≥，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，其首项为1112a =，公差为211112a a -=，所以111=+(1),222n n n a -= 100221,10050n a a n ∴===5．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥ ，则3412x y +-的最小值为（）A ．5B ．12C ．6D ．45．答案：A解析：作可行域如图所示，则可行域内的任一点(,)x y 到直线34120x y +-=的距离34125x y d +-=，所以3412=5x y d +-，由图可知，点(1,1)A 到直线34120x y +-=的距离最小，所以min 34123141125x y +-=⨯+⨯-=xyOx y -=2x y +=34120x y +-=AB6．放在水平桌面上的某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A ．4π+B ．3π+C ．342π+ D ．322π+6．答案：C解析：该几何体可以看成是一个底面是扇形的柱体，其表面积245453222222143603602S πππ⎛⎫=⨯⨯⨯+++⨯⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭7．在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅+的值为（）A ．0B ．1C ．2013D ．20147．答案：C解析：222222013cos ,2cos 201322a b c c C ab C c ab ab+-==∴=，由正弦定理，得： 22sin sin cos 2013sin A B C C =，所以2sin sin cos 2013sin 2A B C B =， 2tan tan 2sin sin cos 2sin sin cos =tan (tan tan )sin (sin cos sin cos )sin sin()A B A B C A B CC A B C A B B A C A B ⋅=+++22sin sin cos 201322013sin 2A B C C ==⨯= 8．若对于数列{}n a ，有任意,m n N *∈，满足2,2m n m n a a a a +=+=，则132013222014a a a a a a ++++++的值为（） A ．10061007B ．10081009C ．10051006D ．100710088．答案：D解析：由2,2m n m n a a a a +=+=，当1m =时，21112,1a a a a =+=∴=；当1m =时，111n n n a a a a +=+=+，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故n a n =，所以132013222014(12013)1007132********(22014)242014100810072a a a a a a +⨯++++++===+++++++⨯ 9．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若32C ππ<<，sin 2,sin sin 2b Ca bA C=--3a =，sin 6B =，则b 等于（） A B ．2CD ．9．答案：A 解析：由sin 2sin sin 2b C a b A C =--及正弦定理可得sin sin 2sin sin sin sin 2B CA B A C=--，即sin sin sin sin 2sin sin 2sin sin 2B A B C A C B C -=-，sin sin sin sin 2B A A C ∴= 又sin 0A ≠，sin sin 2B C ∴=，故2B C =或2B C π+=，又因为3C π>，若2B C =，则23B C C π+=>，故舍去，所以2B C π+=，又因为A B C π++=，所以A C =，所以3c a ==，由sin 6B =可得5cos 6B =，由余弦定理可得 2222cos 99153b a c ac B =+-=+-=，故b =10．如图所示，23ABC π∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于,,1D E AD =，若点P 是圆M 及其内部任意一点，且(,)AP x AD y AE x y R =+∈，则x y +的取值范围是（） A．[1,4+B．[44-+ C．[1,2+D．[22+10．答案：B解析：连接DE ，则当点P 在线段DE 上运动时，1x y +=，连接AM 并延长，交圆于,ST两点，交线段DE 于点N ，则圆的半径r =12,,22AM AN AS AM r===-= 2AT AM r =+=，当点P 位于点T时，x y +取得最大值，最大值为4ATAN=+当点P位于点S 时，x y +取得最小值，最小值为4ASAN=-另一种解释，考虑以,AD AE 方向为x 轴、y 轴，AD 为单位长度建立菱形坐标系，则直线DE 的方程为1x y +=，设z x y =+，作直线0x y +=并平移，当直线过点S 时，z 取得最小值，当直线过点T 时，z 取得最大值．11．已知向量,,αβγ满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，若17,βγ=的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（） A ．32B ．2C ．52D．211．答案：C 解析：()()212,22120,2ααβααβααβαβαβ⊥-∴⋅-=-⋅=-⋅=∴⋅=，()22217255211,442αβααββαβ∴+=+⋅+=++=∴+=，如图，设,,OA OB OC αβγ===，则,CA CB αγβγ-=-=，所以CA CB ⊥，即点C 在以AB 为直径的圆上，设D 为AB 中点，连接OD 并延长，与圆交于12,C C 两点，则125,,22m OC OD r n OC OD r m n OD αβ==+==-+==+=12．已知定义在(0,)+∞内的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()(ln )2()f x x x f x '>，则（）A ．326()2()3()f e f e f e >> B ．236()3()2()f e f e f e << C ．236()3()2()f e f e f e >> D ．326()2()3()f e f e f e <<12．答案：B解析：由2()(ln )2()f x x x f x '>可得()(ln )()f x x x f x '>，设()()ln f x g x x=，则 221()ln ()()(ln )()()0(ln )(ln )f x x f x f x x x f x x g x x x x '-⋅'-'==>，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以23()()()g e g e g e <<，即23()()()23f e f e f x <<，即236()3()2()f e f e f e << 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）C 2C 1DABO13．322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为．13．答案：160解析：22222111144(2)222x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++⋅⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故362211442x x x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中的常数项为333461(2)160T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，若函数()22()f x x x x R =+∈的最大值为1a ，且满足114n n n n n a a a S a S +-=-，则数列n a 的前2 017项之积2017A = ． 14．答案：4解析：()224sin(2)4f x x x x π=+=+的最大值为4，故14a =，由114n n n n n a a a S a S +-=-，得1()1n n n n a a S S +--=，即11n n n a a a +-=，111n n a a +∴=-，由14a =，可得23431,,443a a a ==-=，故数列{}n a 的周期为3，且31231A a a a ==-，又201736721=⨯+，所以672201720171(1)4A a a =-==15．已知O 为ABC △的外接圆圆心，16,10AB AC ==AO x AB y AC =+，且322525x y +=，则AO = ．15．答案：10解析：以点A 为坐标原点，AO 方向为x 轴正方向建立直角坐标系，设直线AO 与圆的另一个交点为D ，设,BAD CAD αβ∠=∠=，则(16cos ,16sin ),(16cos ,16sin )B C ααββ-，在RT ABD △中，16cos cos AB AD αα==，在RTACD △中，cos AC ADβ==，所以416cos cos cos cos 2ααββ=∴==，根据数字特征，不妨假设4cos ,cos 5αβ==，然后再进行验证，此时20,10,AD AO ==(10,0),AO =6448,,(10,10)55AB AC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由AO x AB y AC =+，得6448(10,0)10,1055x y x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故6410105481005x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，AO =()0h x =在区间(0,)+∞内有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是．16．答案：53,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭解析：()min((),())h x f x g x =，()ln g x x =-有1个零点1x =，2()3f x x a '=+，显然必须0a <，令()0f x '=，得x =()f x 的对称中心为10,4⎛⎫⎪⎝⎭，要想满足题意，只需0(1)0f f ⎧<⎪⎨⎪>⎩，即21034504a ⎧<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得：5344a -<<-，故实数a 的取值范围是 53,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos c a B b -=．（1）求角A 的大小；（2）若ABC △，且22cos 4c ab C a ++=，求a ． 17．解：（1）由22cos c a B b -=及正弦定理可得2sin 2sin cos sin C A B B -=，因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2cos sin sin A B B =，因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =，又因为0A π<<，所以3A π=．（5分）（2）22cos 4c ab C a ++= （*）又由余弦定理得222cos 2a b c ab C +-=，代入（*）式得22283b c a +=-．1sin 12ABC S bc A bc ===∴=△，由余弦定理得222222cos 1a b c bc A b c =+-=+-，所以22831a a =--，解得a = （12分） 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，211()(2)n n n n a S S S n ---=⋅≥，且11,0.n a a =>（1）求2a 的值，并证明数列{}n S 是等比数列；（2）设212(1)log ,nn n n n b S T b b b =-=+++，求n T ．18．解：（1）令2n =，得221121()()a a a a a -=+⋅，将11a =代入并整理得：22230a a -=，因为0n a >，所以23a =．由题意得211(2)(2)n n n n S S S S n ---=⋅≥，整理得11()(4)0,n n n n S S S S ----=1(4)0n n n a S S -∴-=，因为0n a >，所以14(2)n n S S n -=≥，所以数列{}n S 收首项为1，公比为4的等比数列．（7分）（2）由（1）可知14n n S -=，所以2(1)log (1)(22)n nn n b S n =-=--所以1,2[0123456(1)(1)],n n n n T n n n -⎧=⨯+-+-+-++--=⎨⎩为奇数为偶数（12分） 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足214(1)(),1n n nS n a n N a *=+∈=．（1）求n a ；（2）设n n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：74n T <． 19．解：（1）由题意得2(1)4nn n a S n += ① 211(2)4(1)n n n a S n n --=-≥ ② ①－②，得：221(1)44(1)n n n n a n a a n n -+=--，所以133(2)(1)nn a a n n n -=-≥，所以数列3n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个常数列，所以3131,1n n a a a n n ==∴= （6分）（2）由（1）得21n b n =，所以127571;;444T T =<=< 当3n ≥时， 222221111111117171123442334(1)44n T n n n n =+++++<+++++=-<⨯⨯-⨯综上可得7()4n T n N *<∈ （12分） 20．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x x ax =++，其中a R ∈．（1）当1a =-时，求证：()0f x ≤；（2）对任意210x ex >≥，存在(1,)x ∈-+∞，使212212(1)(1)(1)()f x f x a x f x x x x ----->-成立，求a 的取值范围．（其中e 是自然对数的底数， 2.71828e =） 20．解：（1）当1a =-时，()ln(1)(1)f x x x x =+->-，则1()111x f x x x -'=-=++，令()0f x '=，得0x =．当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值，所以max ()(0)0f x f ==，所以()0f x ≤，得证．（4分）（2）不等式212212(1)(1)(1)()f x f x a x f x x x x ----->-，即为[]221221(1)(1)()x f x f x ax f x a x x ---->---，而[]221221(1)(1)x f x f x ax x x -----[]22212221112221212221212222111ln ()ln (1)ln (1)=ln ln 1x x a x x x x a x x a x x ax ax x x x x x x x x x x ax ax x x x x x ⎡⎤+-⎢⎥+----⎣⎦-=---=+-=⋅-- 令21()x t t e x =≥，原命题即故对任意t e ≥，存在(1,)x ∈-+∞，使ln ()1t t f x a t >---恒成立，所以()min min ln ()1t t f x a t ⎛⎫>--⎪-⎝⎭，设ln ()1t t h t t =-，则21ln ()(1)t t h t t --'=-，设()1ln u t t t =--，则11()10t u t t t-'=-=>对于t e ≥恒成立，则()1ln u t t t =--为区间[,)e +∞上的增函数，于是()()20u t u e e =->≥，所以21ln ()0(1)t t h t t --'=>-对于t e ≥恒成立，所以ln ()1t t h t t =-为区间[,)e +∞上的增函数，所以min ()()1e h t h e e ==-．设()()ln(1)p xf x a x ax a =--=-+--，①当0a ≥时，函数()p x 为区间(1,)-+∞上的单调递减函数，其值域为R ，可知符合题意； ②当0a <时，1()1p x a x '=--+，令()0p x '=，得111x a=-->-，由()0p x '>得 11x a >--，则函数()p x 在区间11,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭内为增函数；由()0p x '<，得11x a <--，则函数()p x 在区间11,1a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭内为减函数，所以min 1()1ln()1p x p a a ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，从而ln()11e a e >-+-，解得110e e a --<<．综上所述，a 的取值范围是11,e e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．（12分）21．（本小题满分12分）设函数2()ln(1)f x x a x =++．（1）若函数()y f x =在区间[1,)+∞内是单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：21()10ln 22f x x <<-+． 21．解：（1）由题意知222()2011a x x a f x x x x ++'=+=>++在区间[1,)+∞内恒成立（1分）即222a x x >--在区间[1,)+∞内恒成立，解得4a >- （3分）当4a =-时，22242(2)(1)()011x x x x f x x x +-+-'==>++，当[1,)x ∈+∞时，()0f x '≥，且仅当1x =时，()0f x '=，所以函数()f x 单调递增，所以a 的取值范围是[4,)-+∞ （4分）（2）函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，222()1x x a f x x ++'=+，即2()22g x x x a =++，则有480(1)0112a g a ⎧⎪∆=->⎪-=>⎨⎪⎪->-⎩，解得102a << 证法一：因为2122222111,220,0222x x x x a x x +=-++==-+-<<，所以222222212()(22)ln(1)=1f x x x x x x x -++--，令22(22)ln(1)1(),,012x x x x k x x x -++⎛⎫=∈- ⎪--⎝⎭（8分）则2223262()2ln(1),()(1)(1)x x x k x x k x x x ++'''=++=++，因为()4,(0)2k x k ''''=-=，所以存在01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()0k x ''=，列表如下：又1(0)0,12ln 202k k ⎛⎫''=-=-< ⎪⎝⎭，所以1()0,,02k x x ⎛⎫'<∈- ⎪⎝⎭，所以函数()k x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内为减函数，（11分）所以1(0)()2k k x k⎛⎫<<-⎪⎝⎭，即21()10ln 22f x x <<-+．（12分）证法二：因为2x 是方程2220x x a ++=的解，所以22222a x x =--．因为122110,0,222a x x x <<<<=-+，所以2102x -<<．先证21()0f x x >，因为120x x <<，即证2()0f x <，在区间12(,)x x 内，()0f x '<，在区间2(,0)x 内，()0f x '>，所以2()f x 为极小值，2()(0)0f x f <=，即2()0f x <，所以21()0f x x >成立．（8分）再证21()1ln 22f x x <-+，即证22211()ln 2(1)ln 2(1)22f x x x ⎛⎫⎛⎫>-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令2211()(22)ln(1)ln 2(1),,022g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（10分）则1()2(21)ln(1)ln 22g x x x ⎛⎫'=-++-- ⎪⎝⎭，因为1ln(1)0,210,ln 202x x +<+>-<，所以()0g x '>，函数()g x 在区间1,02⎛⎫-⎪⎝⎭内为增函数，所以111111()ln ln 20242242g x g ⎛⎫>-=+-+= ⎪⎝⎭，（11分）所以221()ln 2(1)2f x x ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭成立．综上可得21()10ln 22f x x <<-+成立．（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线:(0)l y kx x =≥与曲线12,C C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），当斜率k ∈时，求OA OB ⋅的取值范围．22．解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，由2cos sin ρθθ=，两边同时乘以ρ，得22cos sin ρθρθ=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =．（5分）（2）设射线:(0)l y kx x =≥的倾斜角为ϕ，则射线的极坐标方程为θϕ=，且tan k ϕ=∈．联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩，得12cos OA ρϕ==，（7分）联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩，得22sin cos OB ϕρϕ== （8分）所以122sin 2cos 2tan 2(2,cos OA OB k ϕρρϕϕϕ⋅=⋅=⋅==∈，即OA OB ⋅的取值范围是(2, （10分）23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-++的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若正实数,,a b c 满足(22)a a c b m bc ++=-，求3a b c ++的最小值．23．解：（1）因为()13(1)(3)4f x x x x x =-++--+=≥，所以4m =．（4分）（2）因为(22)4a a c b bc ++=-，所以2(22)()4a ac ab bc +++=，即(2)()4a b a c ++=所以3(2)()4a b c a b a c ++=+++=≥，当且仅当22a b a c +=+=时取等号，所以3a b c ++的最小值的最小值为4 （10分）。

河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)

2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A B =，则B =（）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=，即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D 解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（） A ． 5 B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（）A ．3 B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒，在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（） A ．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（）A ．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤，解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D 解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（） A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞ B．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（） A ．1 B ．2±C ．12或3 D ．1或212．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x ∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t=-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤，若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因2（1）求角A 的大小；（2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA =（2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭ 由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B 1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，11111300AB m xAC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=--=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,m =．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==，所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =，于是cos ,55m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-．（1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值． 20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令 2ln ()(0)1x x g x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++，显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++，因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+-⎪⎝⎭恒成立，设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭，则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c os ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=，所以直线l的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==………………（10分）方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。

河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)

2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}AB =，则B =（）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=，即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否 →输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（）A ． 5B ．3C．5D．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，d===5．已知ABC△的三个内角,,A B C依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB==，则ABCS=△（）A．3 B．C．D．65．答案：C解析：因为,,A B C成等差数列，所以2B A C=+，又因为180A B C++=︒，所以60B=︒，在ABD△中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD=+-⋅⋅︒，即2230BD BD--=，所以(3)(1)0BD BD-+=，所以3BD=，故26BC BD==，1sin602ABCS AB BC=⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（）A．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}na满足110,()na a n N*+==∈，则20a=（）A．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a-======-，周期3T=，所以202a a==解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（）A ．110,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B解析：当,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤，解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈ 212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（）A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞ B．,2⎛-∞- ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞- 11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（）A ．1B ．2±C ．12或3 D ．1或2 12．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为． 14．答案：(0,)e 解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t =-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于 ()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于． 15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0nS >，所以222n S +=，所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤，若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因22⎪⎝⎭17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA = （2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πCB BC B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，21162πB ⎛⎤⎛⎫--∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AO B O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OCOA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),3)C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，1111130AB m x AC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,3,1)m =-．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA=-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==，所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =，于是cos ,5m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-．（1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值．20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令2ln ()(0)1x xg x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++，显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++，因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+- ⎪⎝⎭恒成立，设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭，则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c o s ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y-+=．由1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t 解得10x+=，所以直线l10x +=……………………（5分）（2）把1,12x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则 12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==10分）方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：121254y yy y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。

河北省衡水中学2018届高三下学期第9周周考理科数学试题+Word版含解析

河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期理科数学周测9一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若为虚数单位，复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故的虚部为故选D2.已知集合，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分别求出集合A和B，从而求出的值．【详解】∵集合则故选B .【点睛】本题考查交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知平面向量a，b满足，且，|，则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可求的值，则由即可得到答案.【详解】由可得则故选A.【点睛】本题考查利用重力的数量积求模.属基础题.4.中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（）A. 35B. 65C. 70D. 60【答案】C【解析】设每个月的收入为等差数列{a n}．公差为d．则a3=25，S12=510．∴a1+2d=25，12a1+d=510，解得a1=15，d=5，故选C5.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知此几何体是三棱锥，且底面为等腰直角三角形，腰长AB=BC=，斜边AC=4，面PAC垂直于面，且为等腰三角形，取AC的中点D，则，则面ABC，取BC的中点E则，且，连接则，在三角形中，。

河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试理数试题

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 是虚数单位，则复数37iz i+=集合的实部和虚部分别是（） A ．7，3- B ．7，3i - C ．7-，3 D ．7-，3i2.已知集合{P =-，Q {sin ,R}y y θθ==∈，则P Q =I （）A ．∅B ．{0}C ．{1,0}-D ．{-3.已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P X >=，(2)0.3P X >=，(0)P X <等于（）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8 4.下列有关命题的说法正确的是（）A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”B ．命题“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“x R ∃∈，使得2210x -<”的否定是“x R ∀∈，都有2210x -<”D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题5.已知α满足1sin 3α=，则cos()cos()44ππαα+-=（） A ．718 B ．2518C.718- D ．2518-6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A ．2163π-B ．216 4.5π- C.2166π- D ．2169π-7.已知函数()2sin(2)6f xx π=+，现将()y f x =的图形向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在5[0,]24π上的值域为（） A ．[1,2]- B ．[0,1] C.[0,2] D ．[1,0]-8.我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入6402a =，2046b =，输出的a =（）A ．66B ．12 C.36 D ．1989.已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩若不等式2(1)2a x xy -+2(42)0a y +-≥恒成立，则实数a 的最大值为（）A．73 B ．53．10.已知函数()ln f x x =，()(23)g x m x n =++，若对任意的(0,)x ∈+∞，总有()()f x g x ≤恒成立，记(23)m n +的最小值为(,)f m n ，则(,)f m n 最大值为（）A ．1B ．1e C. 21eD11.设双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点A ，B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（）A B C.52 D 5．12.已知偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且当(0,4]x ∈时，ln(2)()x f x x=，关于x 的不等式2()()0f x af x +>在区间[200200]-，上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．1(ln 2ln6)3--， B ．1(ln 2ln6]3--， C.13ln 2(ln6)34--，D ．13ln 2(ln6)34--，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量a r ，b r ，1a =r ，2b =r 且1a b ⋅=r r ，若e r 为平面单位向量，则()a b e +⋅r r r 的最大值为． 14.二项式65(x+展开式中的常数项是．15.已知点A 是抛物线C ：22x py =（0p >）上一点，O 为坐标原点，若A ，B 是以点(08)M ，为圆心，OA的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO △为等边三角形，则p 的值是．16.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒，1AB AC ==，12AA =，若1AA 棱在正视图的投影面α内，且AB 与投影面α所成角为θ（3060θ︒≤≤︒），设正视图的面积为m ，侧视图的面积为n ，当θ变化时，mn 的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的前n （*n ∈N ）项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶，，为数为数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T . 18. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，点E 、F 分别为BC 、PD 的中点，设直线PC 与平面AEF 交于点Q .（1）已知平面PAB I 平面PCD l =，求证：AB l ∥；（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值.19.作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近5年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续18年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下462亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩385亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）(1)根据上表，求y 关于t 的线性回归方程$$y bt a =+$.用所求回归方程预测2017 年(5t =)方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查,其中5位受访者表示超过1年未吃过方便面,3位受访者认为方便面是健康食品；而9位受访者有过网络订餐的经历，现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记ξ表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ.参考公式：回归方程：$$y bt a =+$，其中121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑$，$ay bt =-$. 参考数据：41()()135.5i i i t t y y =--=-∑.20.如图，设抛物线1:C 24y mx =-（0m >）的准线l 与x 轴交于椭圆2C ：22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点2F ，1F 为2C 的左焦点，椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ，M 为1C 上一动点，且在P ，Q 之间移动.（1）当32a 取最小值时，求1C 和2C 的方程；（2）若12PF F △的边长恰好时三个连续的自然数，当MPQ △面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程.21.已知函数()(ln 2)x f x e x k -=-（k 为常数， 2.71828e =L 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与y 轴垂直. （1）求()f x 的单调区间；（2）设1(ln 1)()xx x g x e-+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+⋅<+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过点(10)F ，的直线l 与1C 交于A ，B 两点，与2C 交于M ，N 两点，求FA FB FM FN的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知()11f x x =-+，()3()1233f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩，，，，（1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()有三个解，求实数a的取值范围.F x a参考答案及解析一、选择题1-5:ACBBA 6-10:DAAAC 11、12：BD 二、填空题14.515.2316.三、解答题17.解：（1）设等差数列{}n a的公差为d，等比数列{}n b的公比为q，∵13a=，11b=，2210b S+=，5232a b a-=，∴331034232q dd q d+++=⎧⎨+-=+⎩，∴2d=，2q=，∴21na n=+，12nnb-=（2）由（1）知(321)(2)2nn nS n n++==+∴11122nnnc n nn-⎧-⎪=+⎨⎪⎩奇偶，，为数为数∴211111(1)3352121nTn n=-+-++--+L13521(2222)n-+++++L21121321nn++=-+ 18.解：（1）∵AB CD∥，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD∴AB∥平面PCD，∵AB⊂平面PAB，平面PAB I平面PCD l=，∴AB l∥.（2）∵底面是菱形，E为BC的中点，2AB=，∴1BE=，AE=AE BC⊥，∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE AD 、AP 分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.则(020)D ，，，(002)P ，，，(310)C ，，(300)E ，，∴(011)F ，，，(300)AE =u u u r，，(011)AF =u u u r ，，，(310)DC =-u u u r ，，(022)DP =-u u u r，，，设平面PCD 的法向量为()n x y z =r，，，得(133)n =r ，，.设(1)AQ AC AP λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，则(32(1))AQ λλλ=-，，AQ mAE nAF =+u u u r u u u r u u u r ，则332(1)m n n λλλ==⎨⎪-=⎩，，解得23m n λ===， ∴222(3)333AQ =u u u r ，，，设直线AQ 与平面PCD 所成角为α，则3105sin cos n AQ α=<>=r u u u r ，∴直线AQ 与平面PCD 310519.解：（1） 2.5t =，423.75y =，241()5ii tt =-=∑，135.527.15b-==-$，$423.75(27.1) 2.5491.5a=--⨯=，所以$27.1491.5y t =-+当5t =时，$27.15491.5356y =-⨯+= （2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，ξ的可能值为0，1，2，3，所以373107(0)24C P C ξ===；123731021(1)40C C P C ξ===；21373107(2)40C C P C ξ===；333101(3)120C P C ξ===，721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.解：（1）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，b所以2a 取最小时值时1m =，此时抛物线1C ：24y x =-，此时2a =，23b =，所以椭圆2C 的方程为22143x y +=.（2）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，b =，设椭圆2222143x y m m +=，00()Px y ，，11()Q x y ，由222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0y =，即2(3m P -，于是153m PF =，21723m PF a PF =-=，12623mF F m ==，又12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =，此时抛物线方程为212y x =-，1(30)F =-，，(2P -，，则直线PQ 的方程为3)y x =+，联立23)12y x y x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或12x =-（舍去）于是9(2Q --，所以252PQ =，设2()12t M t -，（(t ∈-）到直线PQ 的距离为d ，则275(2d t =+-当t =max 752d ==所以MPQ △的面积最大值为12522⨯=，MP：y =21.解：（1）因为1ln 2()x x k x f x e -+'=（0x >），由已知得12(1)0k f e +'==，所以12k =-，所以1ln 1()x x x f x e--'=，设1()ln 1k x x x=--，则211()0k x x x '=--<在(0)+∞，上恒成立，即()k x 在(0)+∞，上单调递减，由(1)0k =知，当01x <<时，()0k x >，从而()0f x '>，当1x >时，()0k x <，从而()0f x '<.综上可知，()f x 的单调递增区间是(01)，，单调递减区间是(1)+∞，，（2）因为0x >，要证原式成立即证2()11x g x e e x -+<+成立.当1x ≥时，由（1）知2()01g x e -≤<+成立；当01x <<时，1x e >，且由（1）知，()0g x >，所以1ln ()1ln xx x x g x x x x e --=<--. 设()1ln F x x x x =--，(01)x ∈，，则()(ln 2)F x x '=-+，当2(0)x e -∈，时，()0F x '>当2(1)x e -∈，时，()0F x '<，所以当2x e -=时，()F x 取得最大值22()1F e e --=+，所以2()()1g x F x e -<≤+，即当01x <<时，2()1g x e -<+，① 综上所述，对任意0x >，2()1g x e -<+恒成立，令()1x G x e x =--（0x >），则()10x G x e '=->恒成立，所以()G x 在(0)+∞，上单调递增，()(0)0G x G >=恒成立，即10x e x >+>，即1101x e x <<+.② 当1x ≥时，有2()101x g x e e x -+≤<+；当01x <<时，由①②式，2()11x g x e e x -+<+. 综上所述，当0x >时，2()11x g x e e x -+<+成立，故原不等式成立.22.解：（1）曲线1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数），又直线l 与曲线22:4C y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.联立直线l 与曲线1C ：2212x y +=，可得22(1sin )2cos 10t t αα++-=，则12211sin FA FB t t α⋅==+，联立直线l 与曲线2C ：24y x =，可得22sin 4cos 40t t αα--=. 则1224sin FM FN t t α⋅==，即2221111sin 4141sin sin FA FB FM FN ααα+==⋅+108⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 23.解：（1）不等式()23f x x ≤+，即为1123x x -+≤+. 当1x ≥时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-，此时不等式的解集为1x ≥，当1x <时，即化为(1)123x x --+≤+，解得13x ≥-，此时不等式的解集为113x -≤<.综上，不等式()23f x x ≤+的解集为1[)3-+∞，.（2）113()1233x x F x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，即21()131233x x F x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，，，，. 作出函数()F x 的图象如图所示，当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，所以13a <<.所以实数a 的取值范围是(13)，.。

河北省衡水中学高三理科数学周考模拟题及答案

x2 y 12 1.以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线 l 和曲线 C1 的极坐标方程；
25．已知函数 f x x a2lnx a 0 . （1）讨论函数 f x 在 a, 上的单调性；
（2）证明： x3 x2lnx x2 且 2x3 x2lnx 16x 20 0 .
23．选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f x x 2 . （1）解不等式 3 f x 4 2 ；（2）设函数 g x 2x 6 .若 x0 R ，使 f x0 g x0 a2 4a ，求实数 a 的取值范围.
f x lnx a 1
21．已知函数
x ， aR.
（1）求证：平面 PAB 平面 CDE ；
理数周测 4
2/3
2018 届高三数学周日测试
组编:
审核：
学号：
x2
20．已知椭圆 C : a2
y2 b2
1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1, F2 ，点 B
0,
3
为短轴的一个端点，
OF2 B
600
，若点
M
x0,
y0
在椭圆 C
上，则点
N
x2 9
y2 16
1
的右支上一点
P
，分别向圆
C1
：
x 52 y2 4 和圆 C2 ：
x 52
y2
r
2
（
r
0 ）作切线，切点分别为 M
，
N
，若
PM
2
PN
2
的最小值为 58 ，则 r
（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
7．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（） A. 12 B. 18 C. 120 D. 125

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2017-2018学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2C．2e D．24．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值5．下列结论中，正确的是（）①“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真；④的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①②B．①④C．①②④ D．①③④6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．﹣D．﹣8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．110．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．311．设数列{a n}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（a n﹣a n+1+a n+2）x+a n+1•cosx﹣a n+2sinx满足若，则数列{c n}的前n项和S n为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）=sin x，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式的系数和为256，则a的值为．14．设等差数列{a n}满足，其前n项和为S n，若数列也为等差数列，则的最大值为．15．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m的最大值是．16．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．（1）求a+b=7的概率；（2）求点（a，b）在函数y=2x的图象上的概率；（3）将a，b，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．19．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足==．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）求证：A1D⊥EC；（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA1与平面A1BD所成角的正切的最大值．20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点P（1，t）在抛物线C上，且|PF|=．（1）求p，t的值；（2）设O为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A（A与O不重合），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线C交于点B，直线AB分别交x轴、y轴于点D，E，且满足S△OAB=（S△OAB 表示△OAB的面积，S△ODE表示△ODE的面积）？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值：（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求实数k的取值范围．请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．[选修4-4，坐标系与参数方程]23．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案，【解答】解：∵，，i5=i4•i=i，|﹣i|=1．又A={﹣1，i}，∴i5∈A．故选：C．2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由题意，2x（x﹣2）＜1，1﹣x＞0，从而解出集合A、B，再解图中阴影部分表示的集合．【解答】解：∵2x（x﹣2）＜1，∴x（x﹣2）＜0，∴0＜x＜2；∴A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）；又∵B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），∴图中阴影部分表示的集合为[1，2）；故选D．3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2C．2e D．2【考点】函数的值．【分析】先求出f（2）==﹣1，由f[f（2）]=f（﹣1），能求出结果．【解答】解：∵，∴f（2）==﹣1，f[f（2）]=f（﹣1）=2e﹣1+1=2．故选：D．4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值【考点】散点图．【分析】根据散点图中点的分布特点即可得到结论．【解答】解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，且线性相关关系较强，由于所有的点都在直线y=x的下方，∴回归直线的斜率小于1，故结论最有可能成立的是B，故选：B．5．下列结论中，正确的是（）①“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真；④的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①②B．①④C．①②④ D．①③④【考点】的真假判断与应用．【分析】由原和逆否的关系判断①正确；由，可得或与垂直判断②正确；由p为假，可得③错误；直接写出特称的否定判断④．【解答】解：①“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”故①正确；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，由，可得或与垂直，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件，故②正确；③p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数为假，q：y=sinx是周期函数为真，则p∧q是假，故③错误；④的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0，故④正确．∴正确的是①②④．故选：C．6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，利用体积公式，即可求出三棱锥O﹣ABC的体积．【解答】解：由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，∴当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为=．故选：B．7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，根据正弦函数的周期性即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，由于sin+sin+…+=0（k∈Z），2015=335×6+5，所以S=sin+sin+…+sin=sin+sin+…+sin=0，故选：A．8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），由于∠OPA=90°，可得点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．与椭圆的方程联立可得：（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，得到，解得，由于0＜x＜a，可得，解出即可．【解答】解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，则，解得，∵0＜x＜a，∴，化为c2＞b2=a2﹣c2，∴，又1＞e＞0．解得．∴该椭圆的离心率e的范围是．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体切去一介三棱柱和两个三棱锥所得的组合体，分别计算体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱切去两个三棱锥所得的组合体，其直观图如下图所示：故几何体的体积V=2×2×2﹣×1×2×2﹣××1×1×2﹣××1×2×2=5，帮选：A10．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由题意可知：=，设=λ，=+=（1﹣λ）+，由=m+，根据向量相等可知：，即可求得m的值．【解答】解：N为线段AC上接近A点的四等分点，∴=，设=λ，则=+=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ=（1﹣λ）+，∵=m+，∴，即λ=，m=，故答案选：A．11．设数列{a n}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（a n﹣a n+1+a n+2）x+a n+1•cosx﹣a n+2sinx满足若，则数列{c n}的前n项和S n为（）A．B．C ．D ．【考点】数列的求和．【分析】依题意，可求得a n ﹣2a n +1+a n +2=0，于是知数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，由a 1=1，a 2+a 4=6，可求得a n =n ，于是知c n =a n +=n +，利用分组求和的方法即可求得答案．【解答】解：∵f （x ）=（a n ﹣a n +1+a n +2）x +a n +1•cosx ﹣a n +2sinx ，∴f ′（x ）=a n ﹣a n +1+a n +2﹣a n +1•sinx﹣a n +2cosx，=a n ﹣2a n +1+a n +2，∵f ′（）=0，∴a n ﹣2a n +1+a n +2=0，即2a n +1=a n +a n +2， ∴数列{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∵a 2+a 4=6，∴2a 1+4d=6，a 1=1， ∴d=1，∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ，∴c n =a n +=n +，∴S n =c 1+c 2+…+c n=（1+2+…+n ）+（++…+）=+=﹣．故选：C ．12．已知定义在R 上的函数y=f （x ）对任意的x 都满足f （x +2）=f （x ），当﹣1≤x ＜1时，f （x ）=sinx ，若函数g （x ）=f （x ）﹣log a |x |至少6个零点，则a 的取值范围是（）A ．（0，]∪（5，+∞）B ．（0，）∪[5，+∞）C ．（，]∪（5，7）D ．（，）∪[5，7）【考点】函数零点的判定定理．【分析】分a ＞1与0＜a ＜1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可．【解答】解：当a＞1时，作函数f（x）与函数y=log a|x|的图象如下，，结合图象可知，，故a＞5；当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y=log a|x|的图象如下，，结合图象可知，，故0＜a≤．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式的系数和为256，则a的值为﹣1或﹣5．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意利用二项式系数的性质解答即可．【解答】解：令x=1，则（a+3）n的展开式的系数和为256，据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为2n∴2n=256，∴n=8，∴a+3=±2，解得a=﹣1或﹣5．故答案是：﹣1或﹣5．14．设等差数列{a n}满足，其前n项和为S n，若数列也为等差数列，则的最大值为121．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，则=+，可得=1+，解得d，再利用等差数列的通项公式、求和公式可得a n，S n，进而得出．+10【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则=+，∴=1+，解得d=2，=（n+10）×1+×2=（n+10）2，=[1+2（n﹣1）]2=（2n﹣1）2．∴S n+10∴===≤121，当n=1时取等号，∴的最大值为121．故答案为：121．15．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m的最大值是．【考点】简单线性规划．【分析】利用分式不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题．利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意知：可行域如图，又∵m（x2+y2）≤（x+y）2在可行域内恒成立．且m≤=1+=1+=1+，故只求z=的最大值即可．设k=，则有图象知A（2，3），则OA的斜率k=，BC的斜率k=1，由图象可知即1≤k≤，∵z=k+在1≤k≤，上为增函数，∴当k=时，z取得最大值z=+=，此时1+=1+=1+=，故m≤，故m的最大值为，故答案为：16．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是k≥1．【考点】函数恒成立问题．【分析】当x＞0时，=，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则，可求【解答】解：∵当x＞0时，==2e∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e∵∴=当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e∵恒成立且k＞0，∴∴k≥1故答案为k≥1三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．【考点】余弦定理；等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，又a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和sinB的值代入即可求出值；（Ⅱ）根据平面向量的数量积得运算法则及cosB的值化简•=，即可得到ac的值，进而得到b2的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b2和ac及cosB的值，即可得到a+c 的值．【解答】解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．（1）求a+b=7的概率；（2）求点（a，b）在函数y=2x的图象上的概率；（3）将a，b，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4），即可得出P（a+b=7）．（2）设“点（a，b）在函数y=2x的图象上”为事件B，包含两个基本事件（1，2），（2，4），即可得出．（3）记“以a，b，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C，共包含14个基本事件．可得P（C）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4）．∴P（a+b=7）==．（2）设“点（a，b）在函数y=2x的图象上”为事件B，包含两个基本事件（1，2），（2，4），∴P（B）==．（3）记“以a，b，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C，共包含14个基本事件．∴P（C）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．∴E（ξ）=3×=．19．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足==．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）求证：A1D⊥EC；（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA1与平面A1BD所成角的正切的最大值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）等边△ABC的边长为3，且==，求得AD和AE的值．进而由余弦定理得DE，根据AD2+DE2=AE2，判断AD⊥DE折叠后A1D⊥DE，根据平面A1DE⊥平面BCED，又平面利用线面垂直的判定定理推断出A1D⊥平面BCED，进而可知A1D⊥EC．（2）作PH⊥BD于点H，连结A1H、A1P，由（1）有A1D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，推断出A1D⊥PH，又A1D∩BD=D，进而根据线面垂直的判定定理知PH⊥平面A1BD，推断出∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，设出PB，分别表示出BH，PH，DH进利用勾股定理求得A1H的表达式，继而在Rt△PA1H中，表示出tan∠PA1H，对x进行分类讨论，利用函数的思想求得tan∠PA1H的最大值．【解答】证明：（1）因为等边△ABC的边长为3，且==，所以AD=1，AE=2．在△ADE中，∠DAE=60°，由余弦定理得DE==．因为AD2+DE2=AE2，所以AD⊥DE．折叠后有A1D⊥DE，因为平面A1DE⊥平面BCED，又平面A1DE∩平面BCED=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE，所以A1D⊥平面BCED故A1D⊥EC．（2）如图，作PH⊥BD于点H，连结A1H、A1P，由（1）有A1D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，所以A1D⊥PH，又A1D∩BD=D，所以PH⊥平面A1BD，所以∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，设PB=x（0≤x≤3），则BH=，PH=，DH=BD﹣BH=2﹣所以A1H==所以在Rt△PA1H中，tan∠PA1H==①若x=0，则tan∠PA1H===0，②若x≠0则tan∠PA1H===令=t（t≥），y=20t2﹣8t+1因为函数y=20t2﹣8t+1在t≥上单调递增，所以y min=20×﹣+1=所以tan∠PA1H的最大值为=（此时点P与C重合）20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点P（1，t）在抛物线C上，且|PF|=．（1）求p，t的值；（2）设O为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A（A与O不重合），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线C交于点B，直线AB分别交x轴、y轴于点D，E，且满足S△OAB=（S△OAB 表示△OAB的面积，S△ODE表示△ODE的面积）？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，进而可得t值；（2）由题意，直线OA的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A在第一象限．设出直线方程与抛物线方程联立，可得A，B的坐标，进而可得E的坐标，利用S△OAB=，即可得出结论．【解答】解：∵点P（1，t）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，|PF|=，∴1+=，解得：p=1，故抛物线的方程为：y2=2x，将x=1代入可得：t=±；（2）由题意，直线OA的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A在第一象限．设直线OA的方程为y=kx（k＞0），OA⊥OB，直线OB的方程为y=﹣x．由，得k2x2=2x，∴x=0（舍去）或x=，即A（，）．同理B（2k2，﹣2k）．∵k=1时，AB⊥y轴，不符合题意，∴直线AB的方程为y+2k=（x﹣2k2），即y+2k=（x﹣2k2），∴E（0，）．=，∵S△OAB∴|y A|+|y B|=|y E|，∵y A，y B异号，∴|y A|+|y B|=|y A﹣y B|=|y E|，∴||=•||∴k2=或2，∴A（4，2）或A（1，），由对称性，可得A（4，±2）或A（1，±）．21．已知函数f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值：（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a进行讨论；（Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k 恒成立，即求f（x）min≥k2+6k恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，∴f′（1）=1﹣（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a2﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分解得a=或a=﹣1（不符合题意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0，当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分③当a＞1时，2a＞a+1，∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分（Ⅲ）当a=时，f（x）=﹣+lnx，由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，3）上单调递减，因此f（x）在区间1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，∴f（e）﹣f（1）=．设g（x）=x2﹣11x+25，则g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且e＜3＜，∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．∴f（x）在区间1，e]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分若要满足对对∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，只需f（x）min≥k2+6k恒成立，即求﹣5≥k2+6k恒成立，即k2+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1．∴实数k的取值范围是[﹣5，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果【解答】（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2[选修4-4，坐标系与参数方程]23．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．【考点】圆方程的综合应用；参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数α，即可得到曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线l的直角坐标方程；（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐标．【解答】解：（1）曲线，可得：，曲线C的普通方程：x2+y2=4．直线=，直线l的直角坐标方程：x+y﹣2=0．（2）∵圆C的圆心（0，0）半径为：2，，圆心C到直线的距离为1，∴这三个点在平行直线l1与l2上，如图：直线l1与l2与l的距离为1．l1：x+=0，l2：x+﹣4=0．，可得，，两个交点（﹣，1），（，﹣1）；，解得（1，），这三个点的极坐标分别为：（2，），（2，），（2，）[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥3恒成立，得到|x﹣3|+|x﹣2|的最小值大于等于3﹣k，求出|x﹣3|+|x﹣2|的最小值即可确定出k的取值范围；（Ⅱ）把k=1代入不等式，分情况讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出不等式的解集即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得|x﹣3|+|x﹣2|+k≥3，对∀x∈R恒成立，即（|x﹣3|+|x﹣2|）min≥3﹣k，又|x﹣3|+|x﹣2|≥|x﹣3﹣x+2|=1，∴（|x﹣3|+|x﹣2|）min=1≥3﹣k，解得：k≥2；（Ⅱ）当k=1时，不等式可化为f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+1＜3x，当x≤2时，变形为5x＞6，解得：x＞，此时不等式解集为＜x≤2；当2＜x＜3时，变形为3x＞2，解得：x＞，此时不等式解集为2＜x＜3；当x≥3时，不等式解得：x＞﹣4，此时不等式解集为x≥3，综上，原不等式的解集为（，+∞）．2016年11月3日。

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