高考数学复习素材：第四章第1课时知能演练轻松闯关

一、选择题
1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 2.
(2011·高考四川卷)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
＝( )
A ．0 B.BE →
C.AD →
D.CF →
解析：选D.如图，在正六边形ABCDEF 中，CD →＝AF →，BF →＝CE →
， ∴BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF →＝BF →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.
3．(2013·武汉市答题适应性训练)已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →
＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( )
A ．a －b ＋c －d ＝0
B ．a －b －c ＋d ＝0
C ．a ＋b －c －d ＝0
D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0
解析：选A.依题意得，AB →＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →
－OB →＋OC →－OD →
＝0，则a －b ＋c －d ＝0，故选A.
4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →
，则λ等于( )
A.23
B.13
C ．－13
D ．－23
解析：选A.∵CD →＝CA →＋AD →，CD →＝CB →＋BD →
， ∴2CD →＝CA →＋CB →＋AD →＋BD →.又AD →＝2DB →，
∴2CD →＝CA →＋CB →＋13
AB →
＝CA →＋CB →＋13(CB →－CA →)＝23CA →＋43
CB →.
∴CD →＝13CA →＋23CB →
，即λ＝23
.
5．(2012·高考四川卷)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b
|b |
成立的充分条
件是( )
A ．a ＝－b
B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
解析：选C.a |a |表示与a 同向的单位向量，b
|b |
表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，
就有a |a |＝b
|b |
，观察选项易知C 满足题意．
二、填空题
6．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.
解析：由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－k ，
3k ＝1，解得⎩⎨⎧
λ＝－1
3
，
k ＝13.
答案：－1
3
7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3 NC →，M 为BC 的中点，则MN →
＝________(用a 、b 表示)．
解析：由AN →＝3 NC →，得4 A N →＝3 AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，∴MN →＝3
4(a ＋b )－(a ＋12
b )
＝－14a ＋14
b .
答案：－14a ＋1
4
b
8．下列命题：
①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一方向相同；
②三角形ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →
＝0；
③若AB →＋BC →＋CA →
＝0，则A ，B ，C 为三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中假命题的序号为________．
解析：①若a 与b 长度相等，方向相反，则a ＋b ＝0；③A ，B ，C 三点可能在一条直线上；④|a |＋|b |≥|a ＋b |.
答案：①③④ 三、解答题
9．判断下列各题中的向量是否共线：
(1)a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－1
10
e 2；
(2)a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2，且e 1，e 2共线．
解：(1)当a ＝0时，则b ＝0，显然b 与a 共线；
当a ≠0时，b ＝e 1－110e 2＝14⎝
⎛⎭⎫4e 1－25e 2＝14a ，
∴b 与a 共线．
(2)当e 1，e 2中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线； 当e 1，e 2均不为零向量时，设e 1＝λe 2， ∴a ＝(1＋λ)e 2，b ＝(2λ－2)e 2，
若λ＝－1，则a ＝0，显然b 与a 共线； 若λ≠－1，则b ＝2
λ－2
1＋λa ，∴b 与a 共线．
综上可知，b 与a 共线．
10．设i 、j 分别是平面直角坐标系Ox 、Oy 正方向上的单位向量，且OA →＝－2i ＋m j ，OB
→
＝n i ＋j ，OC →
＝5i －j ，若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m 、n 的值．
解：AB →＝OB →－OA →
＝(n ＋2)i ＋(1－m )j ， BC →＝OC →－OB →
＝(5－n )i ＋(－2)j .
∵点A 、B 、C 在同一条直线上，∴AB →∥BC →
， 即AB →＝λBC →，
∴(n ＋2)i ＋(1－m )j ＝λ[(5－n )i ＋(－2)j ]， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
n ＋2＝λ(5－n )1－m ＝－2λm ＝2n
，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6
n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3n ＝32
.
一、选择题
1．(2013·荆州调研)已知向量a 、b 、c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．0
解析：选D.∵a ＋b 与c 共线， ∴a ＋b ＝λ1c .① 又∵b ＋c 与a 共线， ∴b ＋c ＝λ2a . 由①得：b ＝λ1c －a .
∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋1＝0λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧
λ1＝－1λ2＝－1
， ∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.
2．(2013·山西省四校联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点
O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →
，则x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，12
B.⎝⎛⎭
⎫0，13
C.⎝⎛⎭⎫－1
2，0 D.⎝⎛⎭
⎫－1
3，0 解析：选D.依题意，设BO →＝λBC →，其中1＜λ＜43
，则有AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →
＋
λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，且AB →、AC →
不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝⎛⎭⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－13，0，选D. 二、填空题
3．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →
，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．
解析：设D 为AC 的中点，连接OD (图略)，则OA →＋OC →＝2OD →.又OA →＋OC →＝－2OB →
，所
以OD →＝－OB →
，即O 为BD 的中点，从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为12
.
答案：12
4．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.
解析：如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝AB →＋AD →
＝a ＋b ，
AF →＝AB →＋BF →
＝a ＋12
b ，
AE →＝AD →＋DE →＝1
2
a ＋
b ，
∴AE →＋AF →＝3
2(a ＋b )＝32
AC →，
即AC →＝23AE →＋23AF →.
∴λ＝μ＝23，λ＋μ＝4
3.
答案：43
三、解答题
5．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →
(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1， 则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →
共线．
又∵BP →与BA →
有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线．
(2)若A ，P ，B 三点共线，则BP →与BA →
共线，
故存在实数λ，使BP →＝λBA →
， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．
又OP →＝mOA →＋nOB →，故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →
＝0.
∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →
不共线，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。