马边彝族自治县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

马边彝族自治县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设函数f （x ）满足f （x+π）=f （x ）+cosx ，当0≤x ≤π时，f （x ）=0，则f （）=（ ）
A ．
B ．
C ．0
D ．﹣
2． 数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 若复数z=2﹣i （ i 为虚数单位），则=（ ）
A ．4+2i
B ．20+10i
C ．4﹣2i
D ．
4． 不等式x （x ﹣1）＜2的解集是（ ）
A ．{x|﹣2＜x ＜1}
B ．{x|﹣1＜x ＜2}
C ．{x|x ＞1或x ＜﹣2}
D ．{x|x ＞2或x ＜﹣1}
5． 已知M={（x ，y ）|y=2x }，N={（x ，y ）|y=a}，若M ∩N=∅，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．（﹣∞，1）
B ．（﹣∞，1]
C ．（﹣∞，0）
D ．（﹣∞，0]
6． 利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k ＞5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为（ ）
P （K 2＞k ） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708
1.323
2.072 2.706
3.841
5.024
6.635
7.879 10.828
A ．25%
B ．75%
C ．2.5%
D ．97.5%
7． 已知曲线2
:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则O
P Q ∆的面积等于（ ）
A ．
B ．
C ．
2 D ．4
8． 下列各组函数为同一函数的是（ ）
A ．f （x ）=1；g （x ）=
B ．f （x ）=x ﹣2；g （x ）=
C ．f （x ）=|x|；g （x ）=
D ．f （x ）=
•
；g （x ）=
9． 在平面直角坐标系
中，向量＝(1，2)，＝(2，m)，若O ，A ，B 三点能构成三角形，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣或﹣
11．函数 y=x 2﹣4x+1，x ∈[2，5]的值域是（ ）
A ．[1，6]
B ．[﹣3，1]
C ．[﹣3，6]
D ．[﹣3，+∞）
12．若复数
2b i
i
++的实部与虚部相等，则实数b 等于（ ） （A ） 3 （ B ） 1 （C ）
13 （D ） 12
- 二、填空题
13．已知函数f （x ）=
恰有两个零点，则a 的取值范围是 ．
为虚数单位），则的模为 15．若执行如图3所示的框图，输入
，则输出的数等于
16．已知等比数列{a n }是递增数列，S n n }的前n 项和．若a 136= ．
17．抛物线的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形面积为__________
18．在数列
中，则实数a= ，b= ．
三、解答题
19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =na n ﹣n （n ﹣1）． （1）求证：数列{a n }为等差数列，并分别求出a n 的表达式；
（2）设数列的前n项和为P n，求证：P n＜；
（3）设C n=，T n=C1+C2+…+C n，试比较T n与的大小．
20．已知y=f（x）的定义域为[1，4]，f（1）=2，f（2）=3．当x∈[1，2]时，f（x）的图象为线段；当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为（3，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域．
21．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若正实数a，b足+=，求证：+≥m．
22．已知函数322()1f x x ax a x =+--，0a >． （1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若关于的不等式()0f x ≤在[1,)+∞上有解，求实数的取值范围．
23．如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且sinB=，cos ∠ADC=﹣．
（Ⅰ）求sin ∠BAD 的值；
（Ⅱ）求AC 边的长．
24．已知过点P （0，2）的直线l 与抛物线C ：y 2=4x 交于A 、B 两点，O 为坐标原点． （1）若以AB 为直径的圆经过原点O ，求直线l 的方程；
（2）若线段AB 的中垂线交x 轴于点Q ，求△POQ 面积的取值范围．
马边彝族自治县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+cosx，
当0≤x＜π时，f（x）=1，
∴f（）=f（）=f（）+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos=f
（）+cos+cos=f（）+cos+cos+cos=0+cos﹣cos+cos=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查抽象函数以及函数值的求法，诱导公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
2．【答案】A
【解析】解：
=1×
故选A．
3．【答案】A
【解析】解：∵z=2﹣i，
∴====，
∴=10•=4+2i，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
4．【答案】B
【解析】解：∵x（x﹣1）＜2，
∴x2﹣x﹣2＜0，
即（x﹣2）（x+1）＜0，
∴﹣1＜x＜2，
即不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}．
故选：B
5．【答案】D
【解析】解：如图，
M={（x，y）|y=2x}，N={（x，y）|y=a}，若M∩N=∅，
则a≤0．
∴实数a的取值范围为（﹣∞，0]．
故选：D．
【点评】本题考查交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
6．【答案】D
【解析】解：∵k＞5、024，
而在观测值表中对应于5.024的是0.025，
∴有1﹣0.025=97.5%的把握认为“X和Y有关系”，
故选D．
【点评】本题考查独立性检验的应用，是一个基础题，这种题目出现的机会比较小，但是一旦出现，就是我们必得分的题目．
7．【答案】C
【解析】
∴1122(1,)2(1,)(0,0)x y x y -+-=， ∴1220y y +=③， 联立①②③可得2
18
m =，
∴12y y -==．
∴12122
S OF y y =
-=
． （由1212420y y y y =-⎧⎨+=⎩
，得12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
考点：抛物线的性质． 8． 【答案】C
【解析】解：A 、函数f （x ）的定义域为R ，函数g （x ）的定义域为{x|x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数； B 、函数f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为{x|x ≠﹣2}，定义域不同，故不是相同函数； C
、因为
，故两函数相同；
D 、函数f （x ）的定义域为{x|x ≥1}，函数g （x ）的定义域为{x|x ≤1或x ≥1}，定义域不同，故不是相同函数．
综上可得，C 项正确． 故选：C ．
9． 【答案】B
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若O ，A ，B 三点能构成三角形，则O ，A ，B 三点不共线。

若O ，A ，B 三点共线，有：-m=4，m=-4． 故要使O ，A ，B 三点不共线，则。

故答案为：B 10．【答案】B
【解析】解：当a ＞1时，f （x ）单调递增，有f （﹣1）=+b=﹣1，f （0）=1+b=0，无解；
当0＜a ＜1时，f （x ）单调递减，有f （﹣1）==0，f （0）=1+b=﹣1，
解得a=，b=﹣2；
所以a+b=
=﹣；
故选：B
11．【答案】C
【解析】解：y=x 2﹣4x+1=（x ﹣2）2
﹣3 ∴当x=2时，函数取最小值﹣3 当x=5时，函数取最大值6 ∴函数 y=x 2
﹣4x+1，x ∈[2，5]的值域是[﹣3，6]
故选C
【点评】本题考查了二次函数最值的求法，即配方法，解题时要分清函数开口方向，辨别对称轴与区间的位置
关系，仔细作答
12．【答案】C
【解析】
b ＋i 2＋i ＝(b ＋i)(2－i)(2＋i)(2－i)
＝2b ＋15＋2－b 5i ，因为实部与虚部相等，所以2b ＋1＝2－b ，即b ＝1
3.故选C.
二、填空题
13．【答案】 （﹣3，0） ．
【解析】解：由题意，a ≥0时，
x ＜0，y=2x 3﹣ax 2﹣1，y ′=6x 2﹣2ax ＞0恒成立， f （x ）在（0，+∞）上至多一个零点； x ≥0，函数y=|x ﹣3|+a 无零点， ∴a ≥0，不符合题意；
﹣3＜a ＜0时，函数y=|x ﹣3|+a 在[0，+∞）上有两个零点， 函数y=2x 3
﹣ax 2
﹣1在（﹣∞，0）上无零点，符合题意；
a=﹣3时，函数y=|x ﹣3|+a 在[0，+∞）上有两个零点，
函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有零点﹣1，不符合题意；
a＜﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，
函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有两个零点，不符合题意；
综上所述，a的取值范围是（﹣3，0）．
故答案为（﹣3，0）．
14．【答案】2．
【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），
∴z=，∴|z|===2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，属于基础题．
15．【答案】
【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则。

16．【答案】63
【解析】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．
因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，
所以a1=1，a3=4．
设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．
则．
故答案为63．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
17．【答案】
【解析】【知识点】抛物线双曲线
【试题解析】抛物线的准线方程为：x=2;
双曲线的两条渐近线方程为：
所以
故答案为：
18．【答案】a=，b=．
【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知，
a﹣b=26，
由3，8，a+b，24，35知，
a+b=15，
解得，a=，b=；
故答案为：，．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）证明：∵S n=na n﹣n（n﹣1）
∴S n+1=（n+1）a n+1﹣（n+1）n…
∴a n+1=S n+1﹣S n=（n+1）a n+1﹣na n﹣2n…
∴na n+1﹣na n﹣2n=0
∴a n+1﹣a n=2，
∴{a n}是以首项为a1=1，公差为2的等差数列…
由等差数列的通项公式可知：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，
数列{a n}通项公式a n=2n﹣1；…
（2）证明：由（1）可得，
…
=…
（3）∴，
=，
两式相减得…
=，
=，
=，
=，
∴…
∴…
∵n∈N*，
∴2n＞1，
∴，
∴…
20．【答案】
【解析】解：（1）当x∈[1，2]时f（x）的图象为线段，设f（x）=ax+b，又有f（1）=2，f（2）=3
∵a+b=2，2a+b=3，
解得a=1，b=1，f（x）=x+1，
当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数的一部分，
且顶点为（3，1），
设f（x）=a（x﹣3）2+1，又f（2）=3，
所以代入得a+1=3，a=2，f（x）=2（x﹣3）2+1．（2）当x∈[1，2]，2≤f（x）≤3，
当x ∈[2，4]，1≤f （x ）≤3， 所以1≤f （x ）≤3． 故f （x ）的值域为[1，3]．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵f （x ）=|x ﹣5|+|x ﹣3|≥|x ﹣5+3﹣x|=2，…（2分） 当且仅当x ∈[3，5]时取最小值2，…（3分） ∴m=2．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵（ +
）[
]≥（
）2
=3，
∴（+
）×≥（
）2，
∴
+≥2．…（7分）
【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
22．【答案】（１）()f x 的单调递增区间是(),2-∞-和2,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，单调递减区间为2(2,)3-；（２）[1,)+∞．
【解析】
试题分析：（１） 2a =时，利用导数与单调性的关系，对函数求导，并与零作比较可得函数的单调区间；（２） 对函数求导，对参数分类讨论，利用函数的单调性求函数的最小值，使最小值小于或等于零，可得的取值范围．
试题解析：（1）当2a =时，32()241f x x x x =+--， 所以2
'()344(32)(2)f x x x x x =+-=-+， 由'()0f x >，得2
3
x >
或2x <-， 所以函数()f x 的单调递减区间为2(2,)3
-．
（2）要使()0f x ≤在[1,)+∞上有解，只要()f x 在区间[1,)+∞上的最小值小于等于0． 因为2
2
'()32(3)()f x x ax a x a x a =+-=-+， 令'()0f x =，得103
a
x =
>，20x a =-<．1
考点：导数与函数的单调性；分类讨论思想．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意，因为sinB=，所以cosB=…
又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=…
所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=×﹣（﹣）×=…
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得，解得BD=…
故BC=15，
从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=9+225﹣2×3×15×（﹣）=，所以AC=…【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，
则由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，
=，，
所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=，
因为以AB为直径的圆经过原点O，
所以∠AOB=90°，
即，
所以，
解得k=﹣，
即所求直线l的方程为y=﹣．
（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），
则由（1）得，，
所以线段AB的中垂线方程为，
令y=0，得==，
又由（1）知k＜，且k≠0，得或，
所以，
所以=，
所以△POQ面积的取值范围为（2，+∞）．
【点评】本题考查直线l的方程的求法和求△POQ面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．。