导数及其练习

2 x
5. f ( x) xe 3 x 2
x
6. f ( x) ( x 3)e
x
(1) y 3ln x x 2 (2) f ( x) x 3 x 1
3 2
(3) f ( x) x 3 e x ln x 2 (4) f ( x) x e
3.(2013 江西高考)曲线y x 1(a R)在点（ 1, 2）
a
处的切线过坐标原点，则a _________
答案： 1. D 2. 1 2 3. 2
导数与函数的单调性，极值
在 a, b 内可导函数f ( x), f ' ( x)在 a, b 任意子区间内都不恒等于0。 f ( x) 0 f ( x)在 a, b 上为增函数。
答案：(1)a 2
(2)综上，当a 0时，函数（ F x）在（0， +）上无极值； 当a 0时，函数（ F x）在x a处取得极小值a 1 a ln a.
1 3 a 2 5.设f ( x) x x bx c,曲线y f ( x)在点 3 2 0, f (0) 处的切线方程为y =1
1 3 2.设f ( x) x mx 2 3m2 x 1, m R 3 （1）当m 1时，求曲线y f ( x)在点（2，f ( x)） 处的切线方程。
（2）若f ( x)在区间（-2,3）上是减函数，求m的值。
答案：(1) 15 x 3 y 25 0 (2)当m 0时，不符合题意 当m 0时，m 3 当m 0时，m 2 综上，m 3或m 2
3.设f ( x) ax 2 1(a 0), g ( x) x 3 bx
（1）若曲线y f ( x)与曲线y g ( x)在它们的交点
（1，c）处具有公共切线，求a, b的值。
（2）当a 2 4b时，求函数f ( x) g ( x)的单调区间。
答案：(1)a b 3 a a (2)综上，单调区间是（ , ）,( ,+) 2 6 a a 单调递减区间为（ , ） 2 6
答案：C
高考题
1.(2013 全国大纲版)已知曲线y x 4 ax 2 1在 点（ 1,a 2）处的切线的斜率为（） A. 9 B. 6 C. 9 D. 6
2.(2013 广东高考)曲线y ax ln x在点（ 1, a）
2
处的切线平行于x轴，则a _________
注意：1.x1 , x2叫做 极值点 2.f ( x1 ), f ( x2 )叫做极值 3.函数f ( x)在点x x1 , x2取得极值时， 点x x1 , x2处的导数
3 2
2.若函数f ( x) x +x mx 1是R上的单调函数，
1 , 3 则m的取值范围是 _________
3.若函数f ( x) 1 x sin x在（0,2）上的单调 情况是 _________
极值与最值
若函数f ( x)在 a, b 上可导，f ( x)在点x x1处 的函数值f ( x1 )比它在点x x1附近的其他点的函数 值都大，f ( x1 ) 0, 而且在点x x1附近的左侧
4.设f ( x) x 1(a 0), g ( x) a ln x(a 0)
2
（1）若曲线y f ( x)与曲线y g ( x)在点
（1，0）处具有公共切线，求a,的值。
（2）设F ( x) f ( x) 2 g ( x), 求函数F （x）=a ln x的极值。
2 x
ln x (5) f ( x) x (6) f ( x) x e ln x 1 (7) f ( x) x x ln x x
2
含有参数的函数求导
1. f ( x) 2 x 3(1 a) x 6ax，a R 3 2. f ( x) ax sin x , a R 2 x 3. f ( x) e ax, a 0
导 数


基本要求
1.求导 2.复合函数的求导 3.理解导数定义，根据导数定义求切线方程 4.导数与函数的单调性相关联，求函数的单调性， 极值 5.图像，原函数与导函数之间的关系；函数的极值 与导函数的关系。

升华
6.导数与函数的思想相结合。 7.导数与不等式相结合
对下列函数求导 1. f ( x ) 2 x 3 x e 1 2. f ( x ) ln x x 1 2 3. f ( x) x ln x 2 4. f ( x) x(3ln x 1)
x 3
ln x k 1.设f ( x) (k 为常数，e是自然对数的底数)， x e 曲线y =f ( x)在点（1，f (1)）处的切线与x轴平行。
升华
（1）求k的值
（2）求f ( x)的单调区间.
答案：(1)k 1 (2) f ( x)的单调递增区间是（0,1） 递减区间是（1， +）
' ' '
例1:若函数y 3 x 2 , 求函数的导数。
2
看作是函数y u 和函数u 3x 2的复合函数
2
yu y u ' 2u u 2(3x 2) 3 6(3x 2)
' ' '
例2:若函数y sin 2 x, 求函数的导数。
yu y u ' cos u u 2cos 2x
答案：A
练习：
2
1.求函数f ( x) 2 x 3x ln x在x 1处的切线方程。 2.求函数f ( x)=xe 2 x 在x 0处的切线方程。 ln x 3.求函数f ( x)= 在点(1, 0)处的切线方程。 x 1 2 4.求函数f ( x)=x 2 x 在点（1,0）处的切线方程 x
）
答案：
Байду номын сангаас
1.A
B.D
升华
1.导数与原函数的单调性有关，而 原函数的单调性可用于比较函数值的大 小，故导数可以用于判断函数值的大小 2.求参数的值
ln x 1. f ( x) ,e a b, 则（A ） x A. f (a ) f (b) B.f (a ) f (b) C.f (a ) f (b) D.f (a ) f (b) 1
6.(2013.重庆高考)设f ( x) a( x 5) 6 ln x,
2
其中a R，曲线y =f ( x)在点（1，f (1)）处的 切线与y轴相交于点（0,6）。
（1）求a的值
（2）求f ( x)的单调区间与极值.
1 答案：(1)a 2 (2) f ( x)的单调递增区间是（0,2）和（3， +） 递减区间是（2， 3） 极值是f (3) 2 6 ln 3
（1）求b,c的值
（2）若a 0, 求函数f ( x)的单调区间 内存在单调递减区间，求实数a的取值范围。
答案：(1)b 0, c 1 (2) f ( x)的单调递增区间是（-,0）和（a， +） 单调递减区间是 0, a
（3）设函数g ( x) f ( x) 2 x, 且g ( x)在区间 2, 1
（2）求f ( x)的极值.
求切点坐标
2. 曲线y 3ln x x 2在点P0处的切线方程为 4 x y 1 0, 则点P0的坐标是（ A. C. (0,1) (1,3)
答案：C
）
B. (1, 1) D. (1, 0)
求参数的值
3.直线y kx 1与曲线y x3 ax b相切于点A(1， 3) 则2a b的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
'
注意点：（1）导数本质上是斜率
（2）是点P(x0, y0 )处切线的斜率 （3）P(x0, y0 )在曲线f ( x)上，也在切线上
求切线方程
x
1. f ( x) xe 2 x 1在点（0,1）处的切线方程为（） A. y 3x 1 B. y 3x 1 C. y 3x 1 D. y 2 x 1
3 2
4. f ( x) e ax 2
x
5. f ( x) ax bx c, (a, b, c R)
3
6. f ( x) ax (1 x) b, ( x 0) 1 7. f ( x) ax b(a 0) ax 2 x 8. f ( x) (ax bx c)e , (a 0)
3

1. f ( x) e
x2 2
6 3. f ( x) ln( x 3)
2
2. f ( x) sin( x

)
4. f ( x) ( x 2 x 3)
2
导数的几何意义: 函数f ( x)在点x0处导数f ( x0 )的几何意义是 在曲线y f ( x)上点P（x0 ,y 0）处的切线的斜率。
答案： 1.B
2.D
练习：
1. f ( x) x e ln x的单调递增区间为（ A. 0， + C. + , 0 和 0，
x
）
B. , 0 D.R
2.f ( x) x 3 e 的单调递增区间为（ A. ，2 C. (1, 4) B. (0,3) D. 2，
a 6.(2013.福建高考节选)已知函数f ( x) x 1 x e (a R, e为自然对数的底数) 平行于x轴，求a的值；
答案：(1)a e (2)综上，a 0时，函数无极值 当a 0时，f ( x) x ln a处取得极小值 ln a, 无极大值
（1）若曲线y =f ( x)在点（1，f (1)）处的切线
n
9. f ( x) ln x x 1 10. f ( x) 4 x 2ax a
3
ln k k 11. f ( x) , (k R) x e 12. f ( x) x n bx c
复合函数的求导
复合函数f ( g ( x))的求导公式为 将g ( x)看做u , 则f ( g ( x)) f (u ) f（u）=f (u ) u
' ' '
例3:若函数y ln(2x 3), 求函数的导数。
看作是函数y ln u和函数u 2x 3的复合函数
1 2 yu y u ' 2 u 2x 3
' '
练习：对下列函数求导
1. f ( x ) e
2x
2. f ( x ) cos(2 x ) 6 2 3. f ( x) ln( x 4 x 5) 4. f ( x ) (2 x 1)
'
f ' ( x) 0, 右侧f ' ( x) 0, 则点x1叫做函数y f ( x) 的极大值点，f ( x1 )叫做函数y f ( x)的极大值.
若函数f ( x)在 a, b 上可导，f ( x)在点x x2处 的函数值f ( x2 )比它在点x x2附近的其他点的函数 值都小，f ' ( x2 ) 0, 而且在点x x2附近的左侧 f ' ( x) 0, 右侧f ' ( x) 0, 则点x2叫做函数y f ( x) 的极小值点，f ( x2 )叫做函数y f ( x)的极小值.
' '
f ( x) 0 f ( x)在 a, b 上为减函数。
1 2 例1: f ( x) x ln x的单调递减区间为（ 2 A. 11 ， B. 0， 1 C. 1，
x
）
D. 0，
）
例2 : f ( x) e -x的单调递增区间为（ A. ， 1 C. , 0 B. + 1， D. 0，