江苏省南京市高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题
1．已知等比数列中，，，则（ ） {}n a 22a =44a =8a =A ．8 B ．16
C ．32
D ．36
【答案】B
【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出公比，从而求出. 816a =【详解】等比数列中，，，
{}n a 22a =44a =，解得，故. 13
124a q a q =⎧⎨=⎩22q =4
844416a a q ==⨯=故选：B ．
2．过抛物线的焦点作倾斜角为120°的直线交抛物线于、两点，则长为（ ） 22y x =F A B AB A ．2 B ．
C ．
D ．1
23
1
2【答案】A
【分析】先求出直线AB 的方程，利用“设而不求法”求解. 【详解】根据抛物线方程得：焦点坐标.
22y x =1
(0,
)8
F 直线AB 的斜率为由直线方程的点斜式方程可得AB:
.
tan120k =︒=1
8y -=
将直线方程代入到拋物线当中,整理得：.
22y x =2
1208
x -=设，则有，
.
1122(,),(,)A x y B
x y 12
x x +=
12116x x
=-所以弦长. 2||22AB x -===故选：A
3．已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦
221:40C x y +-=22
2:44120C x
y x y +-+-
=,A B
AB =A ．B ．C
D ．2
【答案】A
【分析】两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利AB 1C AB 1C 用勾股定理及垂径定理即可求出．
AB 【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：
221:40C x y +-=22
2:44120C x y x y +-+-=AB
.
20x y -+=∵圆的圆心，，
22
1:40C x y +-=()10,0C 2r =
圆心到直线：的距离
∴()0,0AB 20x y -+=d
则． AB ===故选A
【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．
4．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽8m ．若水面下降1m ，则水面宽度为（ ）
A ． m
B ． m
C ．m
D ．12 m
【答案】B
【分析】以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程并求出，最后求
()2
20x py p =->p 解当时的值即可求出水面宽度.
=3y -x 【详解】由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，
设抛物线方程，
()2
20x py p =->由题意知，抛物线经过点和点， ()4,2A --()4,2B 代入抛物线方程解得，， 4p =所以抛物线方程，
28x y =-
水面下降米，即，解得 1=3y -1x =2x =-
所以此时水面宽度.
12d x ==
故选：B
【点睛】本题主要考查通过建模解决实际问题和抛物线的性质，属于基础题.
5．若曲线上存在点，使到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线
C M M (5,0)A -(5,0)B 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ）
C A ． B ．
C ．
D ．
5x y +=22
9x y +=22
1259
x y +=216x y =【答案】B
【分析】先求出点的轨迹方程为
，“好曲线”一定与有公共点，联立后求出交M 221169x y -=22
1169
x y -=点坐标或由判断出有无公共点，判断出结论.
∆【详解】由题意知：平面内两点，距离之差的绝对值为8， M (5,0)A -(5,0)B 由双曲线定义知：的轨迹是以，为焦点的双曲线且，， M A B 4a =5c =故，
22225169b c a =-=-=即轨迹方程为：，
22
1169
x y -= “好曲线”一定与有公共点，
∴22
1169
x y -=联立与得：，，
22
1169x y -=5x y +=271605440x x -+=103860∆=>故与有公共点，A 为“好曲线”，
5x y +=22
1169
x y -=联立与得：，无解，B 不是“好曲线”，
221169x y -=229x y +=2
63025
y =-<联立与得：，，有解，C 为“好曲线”， 221169x y -=22
1259
x y +=280041x =
2
8141y =联立与得：，，有解，故D 为“好曲线”.
22
1169
x y -=216x y =2990y y -+=8136450∆=-=>故不是“好曲线”的是B ． 故选：B ．
6．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PB 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是
A ．
B ． ⎫⎪⎪⎭⎛ ⎝
C ．
D ．
⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭
【答案】C
【分析】过作直线的垂线，题意说明射线在直线上方，由此可得的不等关系1B 22A B l 1B P l ,,a b c （利用直线与轴交点得出不等式），从而可得离心率的范围．
x 【详解】设直线l 为过且与垂直的直线，易知则直线l 的斜率为，
1B 22A B 22,B A b k a
=-a
k b =而，则该直线l 的方程为，所以该直线与x 轴的交点坐标为，要使得
()10,B b -a
y x b b =-2,0b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为钝角，则说明直线在直线l 上方，故满足，结合，得到
12B PB ∠1B P 2
b c a
<222b a c =-
得，结合解得. 22,,c
ac a c e a <-=
结合210e e +-<01,e <<e ⎛∈ ⎝故选：C.
【点睛】本题考查求椭圆离心率的范围，解题关键是利用过与直线垂直的直线与射线1B 22A B l 1B P 关系得出不等式．
7．已知数列的前项和为，，当时，，则等于（ ） {}n a n n S 11a =2n ≥12n n a S n -+=2021S A ．1008 B ．1009
C ．1010
D ．1011
【答案】D
【分析】由时，得到，两式作差，整理可得：，结合2n ≥12n n a S n -+=121n n a S n ++=+11n n a a ++=并项求和，即可求解.
【详解】解：由题意可得，当时，，， 2n ≥12n n a S n -+=121n n a S n ++=+两式作差可得， 121n n n a a a +-+=即，
11(2)n n a a n ++=≥
即当时，数列任意连续两项之和为1，又因为， 2n ≥11a =所以， 202112345202020212020
()()()110112
S a a a a a a a =+++++++=+= 故选：．
D 8．若对任意正实数x ，不等式恒成立，则实数a 的范围是（ ）
()21x
e a x -≤A ． B ． C ．
D ． ln 21
22
a ≤
+ln 2
12
a ≤
+1ln 22
a ≤+ln 21
22
a ≥
+【答案】A
【分析】转化问题为恒成立，设，则，利用导函数求得的21
e x a x ≤+()21e
x f x x =+()min a f x ≤()f x 最小值，即可求解. 【详解】因为不等式恒成立，，
()2e 1x
a x -≤2e 0x >所以恒成立， 21
e x
a x ≤
+设，则， ()21
e x
f x x =
+()min a f x ≤因为，令，则，
()221e x f x '=-
+()0f x '=ln 2
2x =所以当时，，当时，， ln 2,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭()0f x '<ln 2,2x +∈∞⎛⎫
⎪⎝⎭()0f x ¢>所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x ln 2,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ln 2,2+∞⎛⎫
⎪⎝⎭所以， ()min ln 21ln 2
222f x f ⎛⎫==+
⎪⎝⎭所以， ln 21
22
a ≤
+故选：A
二、多选题
9．设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为()()1122,,,A x y B x y 24y x =O OA OB ⊥（ ） A ．为定值 B ．直线过抛物线的焦点 12y y AB 24y x =C ．最小值为16 D ．到直线的距离最大值为4
AOB S A O AB 【答案】ACD
【解析】由抛物线方程及斜率公式即可判断A ；设直线方程，结合韦达定理即可判断B ；利用
AB
韦达定理求得的最小值，即可判断C ；由直线过定点可判断D.
12y y -AB 【详解】对于A ，因为，所以
， OA OB ⊥121222121212
161
44
OA OB y y y y k k y y x x y y =
⋅=⋅==-所以，故A 正确；
1216y y =-对于B ，设直线，代入可得， :AB x my b =+24y x =2440y my b --=所以，即，所以直线过点， 12416y y b =-=-4b =AB ()4,0而抛物线的焦点为，故B 错误； 24y x =()1,0对于C ，因为，
18y -=≥当时，等号成立，
0m =又直线过点，所以，故C 正确；
AB ()4,0()min 1
48162
AOB S =⨯⨯=△对于D ，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D 正确. AB ()4,0O AB 故选：ACD.
【点睛】解决本题的关键是利用抛物线的方程合理化简及韦达定理的应用，细心计算即可得解. 10．以下四个命题为真命题的是（ ）
A ．过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为 ()1010-，
x y 4115
42
y x =-+B ．直线
的倾斜角的范围是 20xcos θ+=][50,66π
ππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭
，C ．曲线：与曲线：恰有一条公切线，则 1C 2220x y x ++=2C 22480x y x y m +--+=4m =D ．设是直线上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，P 20x y --=P O 221x y +=PA PB A B ，则经过，，三点的圆必过两个定点 A P O 【答案】BD
【分析】根据直线方程的求解、直线斜率与倾斜角的关系，圆与圆的位置关系，以及圆方程的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】A ：当直线方程为时，也满足题意，故A 错误；
y x =-B
，设其倾斜角为，则
θ⎡∈⎢
⎣
αtan α⎡∈⎢⎣故倾斜角的范围是，故B 正确； ][50,66π
ππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭
，
C ：曲线：，曲线：，解得； 1C ()2211x y ++=2C ()()22
24200x y m -+-=->20m <若它们有一条公切线，且它们内切，圆心距
，
51d ==-解得，故C 错误；
16m =-D ：设点，根据切线的性质可得：，
(),2P m m -AO PA ⊥经过三点的圆即为以为直径的圆，则圆的方程为，
,,A P O PO ()()20x x m y y m -+-+=整理得：，
()()22
20x y y m x y ++-+=令，解得或， 2220,0x y y x y ++=+=0x y ==1,1x y ==-故经过三点的圆必过定点和，故D 正确. ,,A P O ()0,0()1,1-故选：BD.
【点睛】本题综合考察直线和圆方程的求解，其中D 选项中，对圆恒过定点的处理，是解决问题的关键；同时要注意直线截距定义的把握以及直线倾斜角和斜率之间的关系，属综合中档题. 11．已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，{}n a q n n T 11a >9910010a a ->991001
01
a a -<-则（ ） A ．
B ．
01q <<9910110a a -<C ．的值是中最大的 D ．使成立的最大正整数数的值为198
100T n T 1n T >n 【答案】ABD
【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】∵，∴，∴. 9910010a a ->199000a a >0q >∵
，∴， 991001
01
a a -<-()()99100110a a --<又，∴.故A 正确.
11a >01q <<由A 选项的分析可知，，∴，∴，，故
991a >10001a <<2
991011001a a a =<9910110a a -<1009910099T T a T =<B 正确，C 不正确.
∴，
()()()()99
198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===> ，
()()()199
1991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===< ∴使成立的最大正整数数的值为198，故D 正确.
1n T >n
故选：ABD
12．（多选）已知函数，下列关于的四个命题，其中真命题有（ ）
2
()x x f x e =()f x A ．函数在上是增函数 ()f x []0,1B ．函数的最小值为0 ()f x C ．如果时，，则的最小值为2 []0,x t ∈max 24
()f x e
=t D ．函数有2个零点 ()f x 【答案】ABC
【分析】利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，数形结合解决问题.
【详解】对于A ，因为，求导得，当或时，，当()2
x x f x e
=()()2x
x x f x e -'=0x <2x >()0f x '<时，，故在和上单调递减，在上单调递增，故A 正确；
02x <<()0f x '>()f x (),0∞-()2,∞+()0,2对于B ， 当时，，当时，，故B 正确； 0x =()0f x =x →+∞()0f x →对于C ， 当时，，则的图像如下所示： 2x =()2
4
2f e =
()f x
如果时，，由图可知的最小值为， 故C 正确； []0,x t ∈()2
max 4
f x e =
t 2对于D ， 由图可知只有一个零点，故D 不正确. ()f x 故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及零点，解题的关键是要利用导数研究函数的单调性，最值，进而作出函数的图像，考查学生的运算能力与数形结合思想，属中档题.
三、填空题
13．已知直线与垂直，则m 的值为______． 1:210l x my ++=()2:4120l mx m y +++=【答案】0或-9##-9或0
【分析】根据给定条件利用两直线互相垂直的性质列式计算即得.
【详解】因直线与垂直，则有，解得1:210l x my ++=()2:4120l mx m y +++=24(1)0m m m ⨯++=或，
0m =9m =-所以m 的值为0或-9. 故答案为：0或-9 14．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则
()1
*
N n y x
n +=∈(1,1)x n x lg n
n a
x =的值为___． 122999a a a a ++++ 【答案】
3-【分析】由导数的几何意义求得切线方程，令再求的与轴的交点的横坐标为，代入0y =x n x 中求得的通项公式，进而求得的值.
lg n n a x =n a 122999a a a a ++++ 【详解】曲线，
()1
*
N n y x
n +=∈，（1），
(1)n y n x '∴=+f ∴'1n =+曲线在处的切线方程为，
∴1*()n y x n N +=∈(1,1)1(1)(1)y n x -=+-该切线与轴的交点的横坐标为， x 1
n n
x n =
+， lg n n a x = ， lg lg(1)n a n n ∴=-+
12999a a a ∴+++ (lg1lg 2)(lg 2lg 3)(lg 3lg 4)(lg 4lg 5)(lg 5lg 6)(lg 999lg1000)=-+-+-+-+-++- lg1lg1000 3.=-=-故答案为：．
3-15．甲、乙两地相距240 km ，汽车从甲地以速度v (km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为v 3
元.为使全程运输成本最16400
小，汽车应以________km/h 的速度行驶. 【答案】80
【分析】根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为
元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值． 3
16400
v
【详解】解：设全程运输成本为元， y 由题意，得，， 32
24011601(160)240()64006400
y v v v v =
+=+0v >． 21602240()6400
y v v '=-
+令，得．
0y '=80v =当时，；当时，． 80v >0'>y 080v <<0'<y 所以函数在上递减，在上递增， 32
24011601(160)240()64006400
y v v v v =
+=+()0,80()80,+∞所以 km/h 时，． 80v =720min y =故答案为：80.
16．若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，若
6π
22
221,(0)x y a b a b +=>>F A B ，则椭圆的离心率为___． ||3||AF
BF =【分析】根据题意得出直线
的方程为，设，将直线方程与椭圆AB )y x c =
+1122(,),(,)A x y B x y 方程联立可得
可得：，进而化简1y =2y =||3||AF BF
=123y y =-即可求解.
【详解】椭圆左焦点，直线的倾斜角为
(,0)F c -AB 6
π
直线的方程为，设，
∴AB )
y x c =+1122(,),(,)A x y B x y 联立，得． )
22
22
1y x c x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩(
)22224
30a b y cy b +--=解得：
1y =2y
=
，．
||3||AF BF = 123y y ∴=-，
)
22
22232c ab
c ab +=-⨯
-即，解得：
224c ab =c e a ==
四、解答题
17．已知点及圆：.
()2,0P C 226440x y x y +-++=(1)若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程．
l P C 1l (2)设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平10ax y -+=C A B a ()2,0P 2l 分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
AB a 【答案】（1）或；（2）见解析
3460x y +-=2x =【详解】试题分析:(1)当直线斜率存在时,设出直线方程,利用圆心到直线的距离等于建立方程,解出1子线的斜率,由此求得直线方程.当直线斜率不存在时,直线方程为,经验证可知也符合.(2)将直线2x =方程代入圆的方程,利用判别式大于零求得的取值范围,利用”圆的弦的垂直平分线经过圆心”,求出a 直线的斜率,进而求得的值,由此判断不存在.
a a 试题解析:
(1)设直线l 的斜率为k(k 存在)，则方程为y －0＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0.
又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3，
1，解得k ＝. 34
-所以直线方程为，即3x ＋4y －6＝0. ()324
y x =--当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件
(2)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0.
由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点，
故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)>0，
解得a<0.
则实数a 的取值范围是(－∞，0)．
设符合条件的实数a 存在．
由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C(3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2.
而k AB ＝a ＝－，所以a ＝. 1PC
k -12由于，故不存在实数a ，使得过点P(2,0)的直线l 2垂直平分弦AB ()1,02
∉-∞【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查直线和圆相交时的代数表示方法.第一问由于题目给出圆心到直线的距离,故可利用点到直线的距离公式,建立方程,求的直线的斜率.由于直线的斜率可能不存在,故必须对直线斜率不存在的情况进行验证.直线和圆相交,那么直线和圆方程联立所得一元二次不等式的判别式要大于零.
18．已知函数. ()()()1ln 0a f x x a x a x
=-+->(1)当时，求的单调区间；
3a =()f x (2)讨论的极值.
()f x 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为
()0,1()3,+∞()1,3(2)答案见解析
【分析】（1）求导，令导数大于0得增区间，导数小于0得减区间；
（2）先求导函数，分类讨论函数的单调性，根据单调性得极值即可.
【详解】（1）当时，， 3a =()34ln f x x x x =--则. ()()()2222
3143431x x x x f x x x x x ---+'=-+==由，得或；由，得.
()0f x ¢>01x <<3x >()0f x '<13x <<所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
()f x ()0,1()3,+∞()1,3（2） ()()()2
1x a x f x x --'=当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，
01a <<()f x ()0,a ()1,+∞(),1a 故此时的极大值为，极小值为；
()f x ()()11ln f a a a a =--+()11f a =-当时，，即在上单调递增.此时无极值；
1a =()0f x '≥()f x ()0,∞+()f x 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，故此时的极大值1a >()f x ()0,1(),a +∞()1,a ()f x 为，极小值为.
()11f a =-()()11ln f a a a a =--+综上所述：当时， 的极大值为，极小值为； 01a <<()f x ()()11ln f a a a a =--+()11f a =-当时，，即在上单调递增.此时无极值；
1a =()f x ()0,∞+()f x 当时， 的极大值为，极小值为.
1a >()f x ()11f a =-()()11ln f a a a a =--+ ()()()2
1x a x f x x --'=19．已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列.
{}n a 13a =13a 4a 1a (1)求数列的通项公式；
{}n a
(2)设数列的前n 项和为，求证：. 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
n T 11156n T ≤<【答案】(1)
21n a n =+(2)见解析.
【分析】（1）根据等差数列的基本量以及等比中项的关系即可求解.
（2）根据裂项相消求和，即可求出，然后根据单调性即可证明.
n T 【详解】（1）设的公差为 ，因为，，成等比数列，
{}n a d 13a 4a 1a 所以 ，
()()2
22411333331220a a a d d d d =⋅⇒+=+⇒-=因为是递增，所以，故 ，所以. {}n a 0d >2d =21n a n =+（2）, ()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭
所以 ， 11111111112355721232323n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为 单调递减，所以 单调递增， 123
n +n T 故当 时， ，而， 1n =min 11()15n T T ==
111123236n n T ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭故. 11156
n T ≤<20．已知过圆C 1：x 2
+y 2＝1上一点的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B 恰好分别为1(2E 椭圆C 2：（a ＞b ＞0）的上顶点和右顶点． 22
221x y a b
+=（1）求椭圆C 2的方程；
（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点Q （﹣1，0），求证：PM ⊥PN ．
【答案】（1）；（2）证明见解析. 22
14
43
x y +=
【分析】（1）设切线方程为y k （x ﹣），由圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出k ＝﹣1
2A （0
，和B （2，0），直接写出椭圆的方程； （2）由（1）可知p （﹣2，0），设直线MN 方程为：x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）用设而不求
法表示出，整理化简可得，即可证明PM ⊥PN ．
PM PN A 0PM PN = A 【详解】（1）设过点的切线方程为y
k （x ﹣），即kx ﹣
y ＝0， 12E ⎛ ⎝
12
12k 因为圆心到直线的距离等于半径，
，解得k ＝
所以切线方程为
，
0x y -=令x ＝0，得y A （0，
令y ＝0，得x ＝2，B （2，0）．
所以b a ＝2， 所以椭圆C 2方程为：． 22
14
43
x y +=（2）由（1）可知p （﹣2，0），
设直线MN 方程为：x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）
联立直线与椭圆的方程得：（m 2+3）y 2﹣2my ﹣3＝0，
y 1+y 2＝，y 1y 2＝， 223m m +233
m -+x 1+x 2＝（my 1﹣1）+（my 2﹣1）＝m （y 1+y 2）﹣2，
x 1x 2＝（my 1﹣1）（my 2﹣1）＝m 2y 1y 2﹣m （y 1+y 2）+1，
＝（x 1+2，y 1）•（x 2+2，y 2）＝（x 1+2）
（x 2+2）+y 1y 2 PM PN A ＝x 1x 2+2（x 1+x 2）+4+y 1y 2，
＝m 2y 1y 2﹣m （y 1+y 2）+1+2[m （y 1+y 2）﹣2]+4+y 1y 2，
＝（m 2+1）y 1y 2+m （y 1+y 2）+1，
＝（m 2+1）（）+m （）+1， 233m -+223
m m +＝＝0， 222233233
m m m m --++++所以PM ⊥PN ．
21．已知数列{an }为等差数列，S 2＝0，S 6﹣S 3＝21.
（1）求数列{an }的通项公式；
（2）设bn ，求数列{bn }的前n 项和Tn . 1
1n n a a +=【答案】（1）an ＝2n ﹣3；（2）Tn 21n n =-
-【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据所给条件得到方程组，解得即可； {}n a 1a d （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求前项和；
()()12123n b n n =--n 【详解】（1）数列{an }为等差数列，S 2＝0，S 6﹣S 3＝21.
设数列的首项为a 1，公差为d ，
则：，
112047a d a d +=⎧⎨+=⎩解得：，d ＝2，
11a =-所以，an ＝2n ﹣3；
（2）由于：an ＝2n ﹣3， 所以：， ()()111111212322321n n n b a a n n n n +⎡⎤===-⎢⎥----⎣⎦
所以：（）， 12n T =
11111132321n n --+-++--- ， 111221n ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭
. 21
n n =--【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，裂项相消法求和，属于中档题.
22．已知函数.
()()ln 2e x f x x ax x =-+-(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
1a =()y f x =()()1,1f (2)当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值. 1a ≥()f x b ≤1
,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭b 【答案】(1)
1e y =--(2)−3
【分析】（1）求出在处的导数值，求出，即可得出切线方程；
()f x 1x =()1f
（2）不等式化为对任意的恒成立即可，构造函数()2e ln x b x x x ≥-+-1
,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数求出最大值即可得出.
()()2e ln x g x x x x =-+-【详解】（1）当时，，， 1a =()()ln 2e x f x x x x =-+-()()111e x f x x x
'=-+-则，，所以切线方程为.
()11e f =--()10f '=1e y =--（2）因为对任意的恒成立， ()f x b ≤1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
即，当时，对任意的恒成立， ()2e ln x b x x ax ≥-+-1a ≥1
,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
∵，，∴， 1a ≥0x >()()2e ln 2e ln x x x x ax x x x -+-≤-+-只需对任意的恒成立即可. ()2e ln x b x x x ≥-+-1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
构造函数，， ()()2e ln x g x x x x =-+-()()()111e 11e x x g x x x x x ⎛⎫'=-+-=-- ⎪⎝
⎭∵，∴，且单调递增， 1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10x -<()1
e x t x x =-∵，， 1
21e 202t ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭
()1e 10t =->∴一定存在唯一的，使得， 01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
()00t x =即，， 00
1e x x =00ln x x =-且当时，，即；当时，，即. 013
x x <<()0t x <()0g x '>01x x <<()0t x >()0g x '<所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， ()y g x =01,3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,1x ∴， ()()()()000000max 012e ln 124,3x g x g x x x x x x ⎛⎫==-+-=-+∈-- ⎪⎝
⎭所以b 的最小整数值为−3.。