【常考题】高中必修五数学上期中试题(及答案)(2)

【常考题】高中必修五数学上期中试题(及答案)(2)
一、选择题
1．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3
D ．若a>b ，则
1
a ＜1b
2．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则
cos C = （ ）
A ．18
B ．34
C ．2
3 D ．16
3．关于x 的不等式()2
10x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是
（ ）
A ．[)(]3,24,5--⋃
B ．()()3,24,5--⋃
C ．(]4,5
D ．（4,5）
4．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．()3,-+∞
B ．()
-+∞
C ．[)3,-+∞
D ．)
⎡-+∞⎣
5．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若
cos cos sin ,c B b C a A += ()
2224
S b a c =+-，则B ∠=
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134
B ．135
C ．136
D ．137
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1
1
n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S
8．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）
A ．()8,10
B ．(
C ．()
D ．
)
9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2
cos 22A b c c
+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形
B ．等腰三角形或直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
10．已知4213
3
3
2,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
11．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13
- B ．-3或
13
C ．3或
13
D ．-3或13
-
12．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1a
b c
<
B ．
c a c
b a b
->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a <
二、填空题
13．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且
8a =，73b c +=，则ABC V 的面积为______．
14．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则z ＝2x +y 的最大值是_____．
15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *
=++∈，,求n a =.__________．
16．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝3
2，S 3＝92
，则a 1的值为________． 17．设数列{a n }的首项a 1＝
3
2
，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177
n n S S <<的所有n 的和为________． 18．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足(
)2
21n n a S n *
-=∈N
．若
不等式
()
()
1
1
181n
n n n a n
λ++-+⋅-≤
对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．
19．设等差数列{}n
a 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列
{}n a 的通项公式n a =____．
20．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则
sin 2sin A
C
=__________． 三、解答题
21．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比
1q >，且2420b b a +=，38b a =.
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）若数列{}n c ，满足4n
n n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和3
2
n T <
． 22．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141
n n b a =
-，求出数列{}n b 的前n 项和.
23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，
3
sin 5
B =.
（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求π
sin(2)4
A +
的值. 24．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤
13
； （Ⅱ）222
1a b c b c a
++≥.
25．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列{(1)}n
n a -•的前2n 项和2n T ．
26．已知向量()
1
sin 2A =，m
与()
3sin A A =，
n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；
（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.
故选C
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b
C C a
=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3
cos 24
C =，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=
则22224cos 2cos cos 22a b c b C b
C C ab ab a
+-===
ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=
ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222
C C
b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅
即：2sin 4sin cos 3sin 222
C C C
C ==
()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24
C ∴= 2
91cos 2cos 1212168
C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得
1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

【详解】
关于x 的不等式()2
10x a x a -++<，
∴不等式可变形为(1)()0x x a --<，
当1a >时，得1x a <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45a <≤； 当1a <时，得1<<a x ，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则32a -≤<- 故a 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃，选：A 。

【点睛】
本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对a 和1的大小进行分类讨论。

其次在观察a 的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B 选项。

4．D
解析：D 【解析】
由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x
⎛⎫≥-+ ⎪⎝
⎭
对任意()1,2x ∈恒成立，即
max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦Q
当x 时，2x x ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
取得最大值m -∴≥-，m 的取
值范围是)
⎡-+∞⎣，故选D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】
由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2
sin cos sin cos sin ,C B B C A +=
()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；
由余弦定理、三角形面积公式及)
2224S b a c =
+-
，得1sin 2cos 24
ab C ab C =,
整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】
本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
解析：B 【解析】 【分析】
由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】
因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由
15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.
【点睛】
本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由
870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.
【详解】
由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以
1
1
n n S S n n +<+， 所以()()()
()
1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，
所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即
8
7
1a a <-， 所以80a >，70a <，
即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.
8．B
【解析】 【分析】
根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】
由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个
角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到222
222
1313a a ⎧+>⎨+>⎩
，
由于0a >，解得a <<C ． 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：
A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<.
9．A 解析：A 【解析】 【分析】
先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2
cos
22A b c c
+=，所以1cosA 22b c
c ++=,()
ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2
π
==
，,选A.
【点睛】
本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
因为4
2223
3
3
3
2=4,3,5a b c ===，且幂函数23
y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利
用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
11．C
解析：C 【解析】
很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：(
)2
31113S a q q =++=，①
且：()21322a a a +=+，即()2
11122a q a a q +=+，②
①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1
9
13a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
综上可得：公比q =3或1
3
. 本题选择C 选项.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】
对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1a
b c ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故错误 对于B ，若c a c
b a b
->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误
对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】
本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．
二、填空题
13．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值由余弦定理可求64=（b+c ）2﹣bc 求bc 即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC 中btanB+btanA=﹣2ctanB∴由正弦
解析：
4
【解析】
【分析】
由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值，由余弦定理可求64=（b +c ）2﹣bc ，求bc ，即可得三角形的面积． 【详解】
∵在△ABC 中btanB +btanA=﹣2ctanB ，
∴由正弦定理可得sinB （tanA +tanB ）=﹣2sinCtanB ，
∴sinB （tanA+tanB ）=﹣2sinC•sinB
cosB
， ∴cosB （tanA+tanB ）=﹣2sinC ，
∴cosB （sinA cosA +sinB
cosB
）=﹣2sinC ， ∴cosB•sinAcosB cosAsinB
cosAcosB
+=﹣2sinC ，
∴cosB•
()sin A B cosAcosB
+=
sinC
cosA
=﹣2sinC ， 解得cosA=﹣
12，A=23
π；
∵a=8，b c +=64=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ， ∴bc=9
∴△ABC 的面积为S =
12bcsinA=192⨯，
． 【点睛】
本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于中档题．
14．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取
解析：5 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
作出变量,x y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
的可行域如图，
由2z x y =+知,2y x z =-+，
所以动直线2y x z =-+的纵截距z 取得最大值时， 目标函数取得最大值， 由2
239x y x y +=⎧⎨
-=⎩
得()3,1A -，
结合可行域可知当动直线经过点()3,1A -时， 目标函数取得最大值2315z =⨯-=，故答案为5. 【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最
解析：4,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
.
【解析】
分析：根据1n n n a S S -=-可以求出通项公式n a ；判断1S 与1a 是否相等，从而确定n a 的表达式。

详解：根据递推公式，可得2
12(1)(1)1n S n n -=-+-+
由通项公式与求和公式的关系，可得1n n n a S S -=- ，代入化简得
22212(1)(1)1n a n n n n =++-----
41n =-
经检验，当1n =时，114,3S a ==
所以11S a ≠
所以 4,1
41,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
.
点睛：本题考查了利用递推公式1n n n a S S -=-求通项公式的方法，关键是最后要判断1S 与
1a 是否相等，确定n a 的表达式是否需要写成分段函数形式。

16．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q ＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q ＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(1
解析：
3
2或6 【解析】 【分析】
由题意，要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论，当q ＝1时，S 3＝3a 1即可求解，当q ≠1时，根据求和公式求解. 【详解】
当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×
32＝92，符合题意，所以a 1＝32
； 当q ≠1时，S 3＝
(
)3
111a q q
--＝a 1
(1＋q ＋q 2
)＝92
，
又a 3＝a 1q 2＝3
2
得a 1＝232q ，代入上式，
得
232q (1＋q ＋q 2
)＝92，即2
1q ＋1q －2＝0， 解得
1q ＝－2或1
q
＝1(舍去)． 因为q ＝－
12
，所以a 1＝2
3
122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ ＝6，
综上可得a 1＝3
2
或6. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.
17．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1
解析：7 【解析】
由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即
1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝3
4，易得21
a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝311221
12
n
⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12
)2n ]
代入
1817<2n n
S S <8
7，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 18．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题
解析：77,153⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：由题意，则， 当为偶数时由不等式
()
()
1
1
181n
n n n a n
λ++-+⋅-≤
得
821
n n n λ
-≤
+，即(8)(21)
n n n
λ-+≤， (8)(21)8
215n n y n n n
-+=
=--是增函数，当2n =时取得最小值15-，所以15;λ≤-
当为奇数时，(8)(21)8217n n n n n λ++-≤
=++，函数8
217y n n
=++，
当3n =时取得最小值为
773
，即77,3λ-≤所以77
3λ≥-，综上， 的取值范围是77,153⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
． 考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题．
19．【解析】设等差数列的公差为d ∵且成等差数列∴解得 ∴ 解析：21n -
【解析】
设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列， ∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨
++=+⎩解得11
,2
a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =-
20．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形 解析：1
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：222
sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc
+-====⨯=
考点：正余弦定理解三角形
三、解答题
21．（1）n a n =，2n
n b =；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出343
4
a a =⎧⎨=⎩，可计算出1a 和d
的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件
1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；
（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1
122213
n n n
B
++--=
，可得出
131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出3
2
n T <. 【详解】
（1）1359a a a ++=Q ，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，
()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.
由题意得()
2
241231120
8
b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得
2152q q +=，整理得22520q q -+=.
1q >Q ，解得2q =，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；
（2）442n n n
n n c b =-=-Q ，
()()()
1122424242n n n B =-+-++-Q L ()()()()()11
2
1
2
141421244444222
2214
12
3
n n n n
n
n ++---=+++-+++=
-
=----L L
()()1
111222143223
3
n n n n ++++---⋅+==
，
()()()()()()1111
12323222221222121213
n n n n n n n n n
n n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n n
n n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭
， 22311
313113113131122122121221212212
n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=
-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与
分组求和法，考查计算能力，属于中等题.
22．（1）2
n a n =；（2）
21
n
n +. 【解析】 【分析】
(1)直接根据累加法即可求得数列{}n a 的通项公式； (2)利用裂项相加即可得出数列{}n b 的前n 项和。

【详解】
（1）因为121n n a a n +=++，所以当2n ≥时： ()()()()21122111321n n n n n a a a a a a a a n n L
L ---=-+-+-+=+++-=，
由于11a =满足2n a n =，所以求{}n a 的通项公式为2
n a n =。

（2）因为141
n n b a =
-2111141
22121n n n ⎛⎫
=
=
- ⎪--+⎝⎭
，
所以数列{}n b 的前n 项和为：
12111111
123352121
n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++-
⎪-+⎝⎭
L L 11122121
n
n n ⎛⎫=-=
⎪++⎝⎭。

【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查学生对于累加法以及裂项相消法求和的理解与使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题。

23．
（Ⅰ）b =sin A
. 【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ） 解：在ABC V 中，因为a b >，故由3sin 5B =
，可得4
cos 5
B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以13b =. 由正弦定理
sin sin a b A B =,得sin 313
sin a B A b ==. 所以，b 的值为13，sin A 的值为
313
. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a c <，得213
cos A =
，所以12sin22sin cos 13A A A ==，
25cos212sin 13A A =-=-
.故πππ72sin 2sin2cos cos2sin 444A A A ⎛
⎫+=+= ⎪⎝
⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
24．（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：
222a b c ab bc ca ++≥++，
由题设得
，
即2222221a b c ab bc ca +++++=， 所以3()1ab bc ca ++≤，即1
3
ab bc ca ++≤
. （Ⅱ）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，2
2c a c a +≥，
所以222
()2()a b c a b c a b c b c a
+++++≥++，
即222
a b c a b c b c a ++≥++， 所以2221a b c b c a
++≥.
本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”. 【考点定位】
本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键. 25．(1) 23n a n =- (2) 22n T n = 【解析】 【分析】
（1）由题意，可知2
324(1)a a S =⋅+，解得2d =，即可求解数列的通项公式；
（2）由（1），可知12n n a a --=，可得
()()()21234212...n n n T a a a a a a -=-++-+++-+，即可求解.
【详解】
（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列.
则2
324(1)a a S =⋅+，即()()()2
12136d d d -+=-+-+，解得2d =，
所以数列的通项公式23n a n =-. （2）由（1），可知12n n a a --=，
所以()()()21234212...2n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 26．（1）π
3A =（2）△ABC 为等边三角形 【解析】
分析：（1）由//m n u r
r
，得3
sin (sin )02
A A A ⋅-=，利用三角恒等变换的公式，求解πsin 216A ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，进而求解角A 的大小； （2）由余弦定理，得22
4b c bc =+-和三角形的面积公式，利用基本不等式求得
4bc ≤，即可判定当b c =时面积最大，得到三角形形状．
详解：（1）因为m//n,所以()
3
sin sin 02
A A A ⋅-=.
所以
1cos230222A A -+-=，即1
sin2cos2122A A -=， 即 πsin 216A ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
.
因为()0,πA ∈ , 所以ππ11π2666A ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
，. 故ππ262A -
=，π
3
A =. （2）由余弦定理，得 22
4b c bc =+-
又1sin 24
ABC S bc A bc ∆=
=， 而222424b c bc bc bc bc +≥⇒+≥⇒≤，（当且仅当b c =时等号成立）
所以1sin 42ABC S bc A ∆=
=≤=. 当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π
3
A =
，故此时△ABC 为等边三角形 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.。