文圣区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷

文圣区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 复数z=
（其中i 是虚数单位），则z 的共轭复数=（
）
A ．﹣i
B ．﹣﹣i
C ． +i
D ．﹣ +i
2． 已知均为正实数，且，，，则（ ）
,,x y z 22log x
x =-22log y
y -=-22log z z -=A ． B ．
C ．
D ．x y z <<z x y <<z y z <<y x z <<3． 已知全集为，集合，，则（
）
R {}
|23A x x x =<->或{}2,0,2,4B =-()R A B = ðA ．
B ．
C ．
D ．{}2,0,2-{}2,2,4-{}2,0,3-{}
0,2,44． 已知定义域为的偶函数满足对任意的，有，且当
R )(x f R x ∈)1()()2(f x f x f -=+时，.若函数在上至少有三个零点，则
]3,2[∈x 18122)(2-+-=x x x f )1(log )(+-=x x f y a ),0(+∞实数的取值范围是（ ）111]
A ．
B ．
C ．
D ．)22
,
0()3
3
,
0()5
5
,
0()6
6,
0(5． 设复数z 满足z （1+i ）=2，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ）
A1B ﹣1Ci D ﹣i
6． 设函数的集合
，平面上点的集合
，则在同一直角坐标系中，P 中函数
的图象恰好经过Q 中
两个点的函数的个数是A4B6C8D10
7． 已知AC ⊥BC ，AC=BC ，D 满足=t
+（1﹣t ）
，若∠ACD=60°，则t 的值为（
）
A ．
B ．
﹣
C ．
﹣1D ．
8． 函数f （x ）=log （|x|﹣4）的单调递减区间为（
）
A ．（﹣∞，﹣4）
B ．（0，+∞）
C ．（﹣∞，0）
D ．（4，+∞）
9． 集合U=R ，A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}，B={x|y=ln （1﹣x ）}，则图中阴影部分表示的集合是（
）
A ．{x|x ≥1}
B ．{x|1≤x ＜2}
C ．{x|0＜x ≤1}
D ．{x|x ≤1}
10．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如
由算得2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++22
500(4027030160)9.96720030070430
K ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯附表：
参照附表，则下列结论正确的是（ ）
3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001
P K k ≥①有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”； 99%②有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”；99%③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
二、填空题
11．曲线
在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．
12．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．　
13．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是
.
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.14．下列命题：
①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点；③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，S n 最大值为S 5；④在△ABC 中，A ＞B 的充要条件是cos2A ＜cos2B ；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强．其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．
15．已知,则函数的解析式为_________.
()2
12811f x x x -=-+()f x 16．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．　
三、解答题
17．（本小题满分10分）
已知集合{}2131A x a x a =-<<+，集合{}14B x x =-<<．（1）若A B ⊆，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得A B =？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分12分）
中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众，先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的40名学生参加，各
大学邀请的学生如下表所示：
大学甲乙丙丁
人数812812
从这40名学生中按分层抽样的方式抽取10名学生在第一排发言席就座.
（1）求各大学抽取的人数；
（2）从（1）中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生来自同一所大学的概率.
20．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】如图，某公司的LOGO 图案是多边形，其ABEFMN 设计创意如下：在长、宽的长方形中，将四边形沿直线翻折到（点4cm 1cm ABCD DFEC EF MFEN F 是线段上异于的一点、点是线段上的一点），使得点落在线段上.AD D E BC N AD （1）当点与点重合时，求面积；
N A NMF ∆（2）经观察测量，发现当最小时，LOGO 最美观，试求此时LOGO 图案的面积.
2NF MF -
21．若f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ，y ＞0，满足f （）=f （x ）﹣f （y ）（1）求f （1）的值，
（2）若f （6）=1，解不等式f （x+3）﹣f （）＜2．
22．（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表：
甲单位8788919193
乙单位8589919293
（1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位对法律知识的掌握更稳定；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差至少是4的概率.
文圣区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C 【解析】解：∵z==
，
∴=．
故选：C ．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．　
2． 【答案】A 【解析】
考
点：对数函数，指数函数性质．3． 【答案】A 【解析】
考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集.4． 【答案】B 【解析】
试题分析：，令，则，是定义在上的偶函数,
()()1)2(f x f x f -=+ 1-=x ()()()111f f f --=()x f R ．则函数是定义在上的，周期为的偶函数，又∵当时，
()01=∴f ()()2+=∴x f x f ()x f R []3,2∈x ，令，则与在的部分图象如下图，
()181222-+-=x x x f ()()1log +=x x g a ()x f ()x g [)+∞,0
在上至少有三个零点可化为与的图象在上至少有三个交点，()()
1log +-=x x f y a ()+∞,0()x f ()x g ()+∞,0在上单调递减，则，解得：故选A ．
()x g ()+∞,0⎩⎨⎧-><<23log 10a
a 33
0<<a 考点：根的存在性及根的个数判断.
【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得是周期函数,其周期为,要使函数在上至少有三个零点,等价于函数的
()x f ()()1log +-=x x f y a ()+∞,0()x f 图象与函数的图象在上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的()1log +=x y a ()+∞,0范围.
5． 【答案】B
【解析】解：由z （1+i ）=2，得，
∴复数z 的虚部是﹣1．故选：B ．
考查方向
本题考查复数代数形式的乘除运算.
解题思路
把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
易错点
把﹣i 作为虚部.6． 【答案】B
【解析】本题考查了对数的计算、列举思想
a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合；
a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；
a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个
7．【答案】A
【解析】解：如图，根据题意知，D在线段AB上，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F；
若设AC=BC=a，则由得，CE=ta，CF=（1﹣t）a；
根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°；
∴；
即；
解得．
故选：A．
【点评】考查当满足时，便说明D，A，B三点共线，以及向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，余弦函数的定义．
8．【答案】D
【解析】解：由题意：函数f（x）=log（|x|﹣4），其定义域为{x|x＞4或x＜﹣4}．
令t=|x|﹣4，t＞0，则函数f（x）=log（|x|﹣4）转化为g（t）=在其定义域内是单调减函数．
而函数t=|x|﹣4，当x在（﹣∞，4）时，函数t是单调减函数，当x在（4，+∞）时，函数t是单调增函数．
根据复合函数的单调性“同增异减”，
可得：函数f（x）=log（|x|﹣4）的单调递减区间为（4，+∞）．
故选D．
【点评】本题考查了复合函数的单调性的问题，要抓住定义域，利用根据复合函数的单调性“同增异减”求解．属于基础题．　
9． 【答案】B
【解析】解：由Venn 图可知，阴影部分的元素为属于A 当不属于B 的元素构成，所以用集合表示为A ∩（∁U B ）．
A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}={x|﹣1＜x ＜2}，B={x|y=ln （1﹣x ）}={x|1﹣x ＞0}={x|x ＜1}，则∁U B={x|x ≥1}，
则A ∩（∁U B ）={x|1≤x ＜2}．故选：B ．
【点评】本题主要考查Venn 图表达 集合的关系和运算，比较基础．　
10．【答案】D
【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．
由于，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年9.967 6.635 人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ．
二、填空题
11．【答案】　（，0）　．
【解析】解：y ′=﹣，
∴斜率k=y ′|x=3=﹣2，
∴切线方程是：y ﹣3=﹣2（x ﹣3），整理得：y=﹣2x+9，令y=0，解得：x=，故答案为：
．
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．　
12．【答案】　（，
）　．
【解析】解：设C （a ，b ）．则a 2+b 2=1，①
∵点A （2，0），点B （0，3），∴直线AB 的解析式为：3x+2y ﹣6=0．
如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，欲使△ABC 的面积最小，只需线段CF 最短．则CF=≥
，当且仅当2a=3b 时，取“=”，
∴a=
，②
联立①②求得：a=，b=，故点C 的坐标为（，）．
故答案是：（
，
）．
【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
13．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的x 倍数的数，所以所有输出值的和.54171311751=+++++14．【答案】　②③④⑤　
【解析】解：①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数，不正确，取x=
，
，但是
，
，因此不是单调递增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点，正确；
③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，∴
=5（a 6+a 5）＞0，
=11a 6＜0，
∴a 5+a 6＞0，a 6＜0，∴a 5＞0．因此S n 最大值为S 5，正确；
④在△ABC 中，cos2A ﹣cos2B=﹣2sin （A+B ）sin （A ﹣B ）=2sin （A+B ）sin （B ﹣A ）＜0⇔A ＞B ，因此正确；⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确．其中正确命题的序号是 ②③④⑤．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　
15．【答案】()2
245f x x x =-+【解析】
试题分析：由题意得，令，则，则，所以函数1t x =-1x t =+()2
2
2(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+()
f x 的解析式为.
()2
245f x x x =-+考点：函数的解析式.
16．【答案】　2　．
【解析】解：∵一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，∴2+x+4+6+10=5×5，解得x=3，∴此组数据的方差 [（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，∴此组数据的标准差S==2
．
故答案为：2
．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．　
三、解答题
17．【答案】（1）[](2]01a ∈-∞- ，，
；（2）不存在实数，使A B =．【解析】
试题分析：（1）对集合A 可以分为A =∅或A ≠∅两种情况来讨论；（2）先假设存在实数，使A B =，则必
有2110
3141
a a a a -=-=⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，无解．
考点：集合基本运算.
18．【答案】
【解析】解：（1）由题意得e==，a2=2b，a2﹣b2=c2，
解得a=，b=c=1
故椭圆的方程为x2+=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
线段AB的中点为M（x0，y0）．
联立直线y=x+m与椭圆的方程得，
即3x2+2mx+m2﹣2=0，
△=（2m）2﹣4×3×（m2﹣2）＞0，即m2＜3，
x1+x2=﹣，
所以x0==﹣，y0=x0+m=，
即M（﹣，）．又因为M点在圆x2+y2=5上，
可得（﹣）2+（）2=5，
解得m=±3与m2＜3矛盾．
故实数m不存在．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．　
19．【答案】（1）甲，乙，丙，丁；（2）.25
P =【解析】
试题分析：（1）从这名学生中按照分层抽样的方式抽取名学生，则各大学人数分别为甲，乙，丙，丁；4010（2）利用列举出从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生的方法共有种，这来自同一所大学的取4015法共有种，再利用古典慨型的概率计算公式即可得出.
试题解析：（1）从这40名学生中按照分层抽样的方式抽取10名学生，则各大学人数分别为甲2，乙3，丙2，丁3.
（2）设乙中3人为，丁中3人为，从这6名学生中随机选出2名学生发言的结果为
123,,a a a 123,,b b b ，，，，，，，，，，12{,}a a 13{,}a a 11{,}a b 12{,}a b 13{,}a b 32{,}a a 12{,}b a 22{,}b a 32{,}b a 31{,}a b ，，，，，共15种，
32{,}a b 33{,}a b 12{,}b b 13{,}b b 23{,}b b 这2名同学来自同一所大学的结果共6种，所以所求概率为.62155
P ==考点：1、分层抽样方法的应用；2、古典概型概率公式.
20．【答案】（1）
；（2）.2
15cm 16
24【解析】试题分析：
（1）设，则，MF x =4x =15
8
x =据此可得的面积是
；NMF ∆211515
1cm 2816
⨯⨯=试题解析：
（1）设，则，，
MF x =FD MF x ==NF =
∵，，解之得，
4NF MF +=4x =158
x =∴的面积是；
NMF ∆2
115151cm 2816
⨯⨯=（2）设，则，，
NEC θ∠=2
NEF θ
∠=NEB FNE πθ∠=∠=-
∴，
()22
MNF π
π
πθθ∠=
--=-
∴，1
1
2MN
NF cos MNF
sin cos πθ
θ==
=
∠⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，
MF FD MN tan MNF ==⋅∠=2cos tan sin πθθθ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
∴.
22cos NF MF sin θ
θ
+-=∵，∴，即，
14NF FD <+≤114cos sin θθ-<≤142
tan θ
<≤∴（且），42πθα<≤4tan α=,32ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴（且），22πθα<≤4tan α=,32ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
设，则，令得，()2cos f
sin θθθ+=()2
12cos f sin θθθ--='()0f θ'=23
π
θ=列表得
∴当时，取到最小值，23
π
θ=
2NF MF -此时，，，
NEF CEF NEB ∠=∠
=∠3
FNE NFE NFM π
=∠=
∠=∠=6
MNF π
∠=
在中，，，，
Rt MNF ∆1MN =MF =
NF =在正中，，
NFE
∆NF EF NE ===在梯形中，，，
ANEB 1AB =4AN =
4BE =
∴.MNF EFN
ABEFMN ABEN S S S S ∆
∆=++=六边形梯形1441
42⎛⨯-⨯=- ⎝答：当最小时，LOGO 图案面积为.2NF MF -24
点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.21．【答案】
【解析】解：（1）在f （）=f （x ）﹣f （y ）中，令x=y=1，则有f （1）=f （1）﹣f （1），∴f （1）=0；
（2）∵f （6）=1，∴2=1+1=f （6）+f （6），∴不等式f （x+3）﹣f （）＜2
等价为不等式f （x+3）﹣f （）＜f （6）+f （6），∴f （3x+9）﹣f （6）＜f （6），即f （
）＜f （6），
∵f （x ）是（0，+∞）上的增函数，
∴
，解得﹣3＜x ＜9，
即不等式的解集为（﹣3，9）．　
22．【答案】（1）,,,，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）.90=甲x 90=乙x 5242
=甲s 82=乙s 2
1【解析】
试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共种情况,抽取的两名职工的分数差至少是的事件10用列举法求得共有种,由古典概型公式得出概率.
试题解析：解：（1），90939191888751
=++++=）（甲x 90
93929189855
1=++++=）（乙x 524])9093()9091()9091()9088()9087[(51222222
=-+-+-+-+-=
甲s 8
])9093()9092()9091()9089()9085[(51222222
=-+-+-+-+-=乙s ∵，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定. （6分）
85
24<
考点：1.平均数与方差公式；2.古典概型．。