2019学年高中数学 4.3.1 平面直角坐标系中的平移变换学案 苏教版选修4-4

4.3.1 平面直角坐标系中的平移变换
1．理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量． 2．掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式．
[基础·初探]
1．平移
在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移，若以向量a 表示移动的方向和长度，也称图形F 按向量a 平移．
2．平移变换公式
设P (x ，y )，向量a ＝(h ，k )，平移后的对应点P ′(x ′，y ′)，则(x ，y )＋(h ，k )＝
(x ′，y ′)或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋h ＝x ′，
y ＋k ＝y ′.
[思考·探究]
1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？
【提示】 步骤：(1)设平移前曲线上一点P 的坐标为(x ，y )，平移后的曲线上对应点
P ′的坐标为(x ′，y ′)；
(2)写出变换公式⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝x ＋h ，
y ′＝y ＋k ，
并转化为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝x ′－h ，
y ＝y ′－k ；
(3)利用上述公式将原方程中的x ，y 代换；
(4)按习惯，将所得方程中的x ′，y ′分别替换为x ，y ，即得所求曲线的方程． 2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？ 【提示】 其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量．
其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图
形上点的平移．
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
【自主解答】 由平移公式得⎩⎪⎨
⎪
⎧
－7＝8＋h ，4＝－10＋k ，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
h ＝－15，k ＝14，
即a ＝(－15,14)．
[再练一题]
1．把点A (－2,1)按a ＝(3,2)平移，求对应点A ′的坐标(x ′，y ′)． 【解】 由平移公式得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝－2＋3＝1，
y ′＝1＋2＝3，
即对应点A ′的坐标(1,3).
称轴方程、准线方程和渐近线方程．
【思路探究】 把双曲线方程化为标准方程求解．
【自主解答】 将方程按x ，y 分别配方成4(x －2)2
－9(y －3)2
＝－36， 即
y －
2
4
－
x －
2
9
＝1.
令⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝x －2，y ′＝y －3，
方程可化为
y ′24－
x ′2
9
＝1.
双曲线
y ′24－
x ′2
9
＝1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(0,2)和(0，－2)，焦点坐标为
(0，13)和(0，－13)，对称轴方程为x ′＝0，y ′＝0，准线方程为y ′＝±4
13
13，渐近线方程为
y ′2±x ′
3
＝0.
根据公式⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x ′＋2，
y ＝y ′＋3可得所求双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,5)和
(2,1)，焦点坐标为(2,3＋13)和(2,3－13)，对称轴方程为x ＝2，y ＝3，准线方程为y ＝3±41313，渐近线方程为y －32±x －2
3
＝0，即2x ＋3y －13＝0和2x －3y ＋5＝0.
几何量a ，b ，c ，e ，p 决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量．
[再练一题]
2．已知抛物线y ＝x 2
＋4x ＋7. (1)求抛物线顶点的坐标；
(2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式．
【导学号：98990018】
【解】 (1)设抛物线y ＝x 2
＋4x ＋7的顶点O ′的坐标为(h ，k )，那么 h ＝－42＝－2，k
＝4×7－42
4
＝3，
即这条抛物线的顶点O ′的坐标为(－2,3)． (2)将抛物线y ＝x 2
＋4x ＋7平移，
使点O ′(－2,3)与点O (0,0)重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量O ′O →
平移得到的，设O ′O →
的坐标为(m ，n )，那么
⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝0－－＝2，n ＝0－3＝－3.所以抛物线按(2，－3)平移，平移后的方程为y ＝x 2
.
[真题链接赏析]
(教材第40页习题4.3第3题)写出抛物线y 2
＝8x 按向量(2，－1)平移后的
抛物线方程和准线方程．
将函数y ＝2x 的图象l 按a ＝(0,3)平移到l ′，求l ′的函数解析式．
【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用．
【解】 设P (x ，y )为l 的任意一点，它在l ′上的对应点P ′(x ′，y ′) 由平移公式得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝x ＋0，y ′＝y ＋3
⇒⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝x ′，y ＝y ′－3.
将它们代入y ＝2x 中得到y ′－3＝2x ′， 即函数的解析式为y ＝2x ＋3.
1．将点P(7,0)按向量a平移，得到对应点A′(11,5)，则a＝________.
【答案】(4,5)
2．直线l：3x－2y＋12＝0按向量a＝(2，－3)平移后的方程是________．
【导学号：98990019】【答案】3x－2y＝0
3．曲线x2－y2－2x－2y－1＝0的中心坐标是________．
【解析】配方，得(x－1)2－(y＋1)2＝1.
【答案】(1，－1)
4．开口向上，顶点是(3,2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是________．
【解析】开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x2＝4y，所以所求抛物线的方程是(x－3)2＝4(y－2)．
【答案】(x－3)2＝4(y－2)
我还有这些不足：
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(2)_____________________________________________________
我的课下提升方案：
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(2)_____________________________________________________。