计算机算法设计与分析-递归与分治
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n m 1
正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。
int q(int n, int m) { if ((n < 1) || (m < 1)) return 0; if((n == 1) || (m == 1)) return 1; if(n < m) return q (n, n); if(n == m) return (q (n, m - 1) + 1); return (q (n, m-1)+ q( (n- m), m)); }
2020年7月3日
8
整数划分问题
♦ 将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk， 其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
♦ 正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的 不同划分个数。
例如：正整数6有如下11种不同的划分： 6； 5+1； 4+2，4+1+1； 3+3，3+2+1，3+1+1+1； 2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。
2020年7月3日
9
整数划分问题
前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归 关系，因而容易用递归函数直接求解。 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以 找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加 数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立 q(n,m)的如下递归关系。
整数划分问题
Hanoi塔问题
例Ha1n：oiH塔a的no解i塔可问以题很：自有然A地、看B、成C这三样根一柱个子过。程A： (1)上先有将nA个上圆面盘，自下而上由大到小地叠在一起。
n–现1个要盘将借A助上的B 全部于圆是可盘得到如下的程序：
移移至到C。B上，并要求vo：id (H1a)noi(int n, int Fr, int To, int As)
2020/7/3
计算机算法设计与分析
2
提纲
一、递归的概念 二、分治法的基本思想 三、分治法的时间复杂性分析 四、分治法的应用
2020年7月3日
3
提纲
一、递归的概念 二、分治法的基本思想 三、分治法法的时间复杂性分析 四、分治法的应用
2020年7月3日
4
递归的概念
简单地说，递归就是用自己来定义自己。 一般地说，一个递归过程P可以表示为基语句
移三至个B柱。子间移动。 }
2020/7/3
计算机算法设计与分析
13
递归函数的运行轨迹
在递归函数中，调用函数和被调用函数是同 一个函数，需要注意的是递归函数的调用层 次。
如果把调用递归函数的主函数称为第0层， 进入函数后，首次递归调用自身称为第1层 调用；从第i层递归调用自身称为第i+1层。 反之，退出第i+1层调用应该返回第i层。
2020/7/3
计算机算法设计与分析
6
阶乘函数
阶乘函数可递归地定义为：
n!
1 n(n 1)!
n0 n0
边界条件
递归方程
边界条件与递归方程是 递归函数的二个要素。递 归函数只有具备了这两个 要素，才能在有限次计算 后得出结果。
int factorial(int n) { if (n==0) return 1;
(的2)每盘允1再个次 ； 许将盘(只 将A2移)能 较上任至移 大剩何B动 的下时。一圆刻个盘都圆压不{
if (n > 0) { HAanoi(n–1B, A, C, B)C;
(3在)最较后小将的C圆上盘的上；(3) Move(A, B);
n–圆1个盘盘只借能助在AA、B、C
Hanoi(n–1, C, B, A)}
return n*factorial(n-1); }
2020年7月ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ日
7
Fibonacci数列
无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，称 为Fibonacci数列。递归定义为：
1
n0
F
(n)
1
n 1
F (n 1) F (n 2) n 2
边界条件 递归方程
int fibonacci(int n) { if (n <= 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }
S(不含P)和P自身的组合β：
P β(S, P) 这样的表示包含了过程不终止的可能，因此递
归算法应更准确地表述为
P if B then Q else β(S, P)
其中Q也不包含P，B为递归终止条件。
2020/7/3
计算机算法设计与分析
5
递归算法
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。 用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模 式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种 情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与 原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使 子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导 致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在 算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
第二章 递归与分治
2020/7/3
计算机算法设计与分析
1
学习要点:
•理解递归的概念。 •掌握求解递归算法时间复杂度的一般方法。 •掌握设计有效算法的分治策略。 •通过下面的范例学习分治策略设计技巧。 （1）二分搜索技术； （2）大整数乘法； （3）Strassen矩阵乘法； （4）棋盘覆盖； （5）合并排序和快速排序； （6）循环赛日程表。
(1) q(n,1)=1,n1;
当最大加数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式，
即
n
n 11 1
(2) q(n,m)=q(n,n),mn; 最大加数n1实际上不能大于n。因此，q(1,m)=1。
(3) q(n,n)=1+q(n,n-1); 正整数n的划分由n1=n的划分和n1≤n-1的划分组成。
采用图示方法描述递归函数的运行轨迹，从 中可较直观地了解到各调用层次及其执行情 况。
2020年7月3日
14
Hanoi塔的运行轨迹
(4) q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1; 正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和 n1≤m-1 的划分组成。
整数划分问题
1
q(n,
m)
q(n, n) 1 q(n, n 1)
q(n, m 1) q(n m, m)
n 1, m 1 nm nm
正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。
int q(int n, int m) { if ((n < 1) || (m < 1)) return 0; if((n == 1) || (m == 1)) return 1; if(n < m) return q (n, n); if(n == m) return (q (n, m - 1) + 1); return (q (n, m-1)+ q( (n- m), m)); }
2020年7月3日
8
整数划分问题
♦ 将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk， 其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
♦ 正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的 不同划分个数。
例如：正整数6有如下11种不同的划分： 6； 5+1； 4+2，4+1+1； 3+3，3+2+1，3+1+1+1； 2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。
2020年7月3日
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整数划分问题
前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归 关系，因而容易用递归函数直接求解。 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以 找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加 数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立 q(n,m)的如下递归关系。
整数划分问题
Hanoi塔问题
例Ha1n：oiH塔a的no解i塔可问以题很：自有然A地、看B、成C这三样根一柱个子过。程A： (1)上先有将nA个上圆面盘，自下而上由大到小地叠在一起。
n–现1个要盘将借A助上的B 全部于圆是可盘得到如下的程序：
移移至到C。B上，并要求vo：id (H1a)noi(int n, int Fr, int To, int As)
2020/7/3
计算机算法设计与分析
2
提纲
一、递归的概念 二、分治法的基本思想 三、分治法的时间复杂性分析 四、分治法的应用
2020年7月3日
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提纲
一、递归的概念 二、分治法的基本思想 三、分治法法的时间复杂性分析 四、分治法的应用
2020年7月3日
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递归的概念
简单地说，递归就是用自己来定义自己。 一般地说，一个递归过程P可以表示为基语句
移三至个B柱。子间移动。 }
2020/7/3
计算机算法设计与分析
13
递归函数的运行轨迹
在递归函数中，调用函数和被调用函数是同 一个函数，需要注意的是递归函数的调用层 次。
如果把调用递归函数的主函数称为第0层， 进入函数后，首次递归调用自身称为第1层 调用；从第i层递归调用自身称为第i+1层。 反之，退出第i+1层调用应该返回第i层。
2020/7/3
计算机算法设计与分析
6
阶乘函数
阶乘函数可递归地定义为：
n!
1 n(n 1)!
n0 n0
边界条件
递归方程
边界条件与递归方程是 递归函数的二个要素。递 归函数只有具备了这两个 要素，才能在有限次计算 后得出结果。
int factorial(int n) { if (n==0) return 1;
(的2)每盘允1再个次 ； 许将盘(只 将A2移)能 较上任至移 大剩何B动 的下时。一圆刻个盘都圆压不{
if (n > 0) { HAanoi(n–1B, A, C, B)C;
(3在)最较后小将的C圆上盘的上；(3) Move(A, B);
n–圆1个盘盘只借能助在AA、B、C
Hanoi(n–1, C, B, A)}
return n*factorial(n-1); }
2020年7月ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ日
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Fibonacci数列
无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，称 为Fibonacci数列。递归定义为：
1
n0
F
(n)
1
n 1
F (n 1) F (n 2) n 2
边界条件 递归方程
int fibonacci(int n) { if (n <= 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }
S(不含P)和P自身的组合β：
P β(S, P) 这样的表示包含了过程不终止的可能，因此递
归算法应更准确地表述为
P if B then Q else β(S, P)
其中Q也不包含P，B为递归终止条件。
2020/7/3
计算机算法设计与分析
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递归算法
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。 用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模 式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种 情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与 原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使 子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导 致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在 算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
第二章 递归与分治
2020/7/3
计算机算法设计与分析
1
学习要点:
•理解递归的概念。 •掌握求解递归算法时间复杂度的一般方法。 •掌握设计有效算法的分治策略。 •通过下面的范例学习分治策略设计技巧。 （1）二分搜索技术； （2）大整数乘法； （3）Strassen矩阵乘法； （4）棋盘覆盖； （5）合并排序和快速排序； （6）循环赛日程表。
(1) q(n,1)=1,n1;
当最大加数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式，
即
n
n 11 1
(2) q(n,m)=q(n,n),mn; 最大加数n1实际上不能大于n。因此，q(1,m)=1。
(3) q(n,n)=1+q(n,n-1); 正整数n的划分由n1=n的划分和n1≤n-1的划分组成。
采用图示方法描述递归函数的运行轨迹，从 中可较直观地了解到各调用层次及其执行情 况。
2020年7月3日
14
Hanoi塔的运行轨迹
(4) q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1; 正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和 n1≤m-1 的划分组成。
整数划分问题
1
q(n,
m)
q(n, n) 1 q(n, n 1)
q(n, m 1) q(n m, m)
n 1, m 1 nm nm