高三数学复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第七章 不等式试题 理

2018版高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第七章不等式试题理
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第七章不等式
考点1 不等关系与不等式
1.（2016·北京，5)已知x,y∈R，且x＞y＞0,则( ）
A。

错误!－错误!＞0 B.sin x－sin y＞0 C.错误!错误!－错误!错误!＜0 D.ln x＋ln y ＞0
1.C ［函数y＝错误!在（0,＋∞)上单调递减,所以错误!＜错误!，即错误!－错误!＜0,A错；函数y＝sin x在（0,＋∞)上不是单调函数，B错；函数y＝错误!错误!在(0,＋∞）上单调递减，所以错误!错误!＜错误!错误!，即错误!错误!－错误!错误!＜0，所以C正确；ln x＋ln y＝ln xy，当x ＞y＞0时,xy不一定大于1,即不一定有ln xy＞0，D错。

］
2. (2016·全国Ⅰ，8）若a>b〉1,0〈c〈1,则( )
A.a c〈b c
B.ab c〈ba c C。

a log b c〈b log a c D.log a c〈log b c
2.C ［对A:由于0<c<1,∴函数y＝x c在R上单调递增,则a〉b〉1⇒a c>b c，故A错；
对B：由于－1<c－1〈0,∴函数y＝x c－1在（1,＋∞）上单调递减，∴a〉b>1⇔a c－1〈b c－1⇔ba c<ab c,故B错；
对C：要比较a log b c和b log a c,只需比较错误!和错误!，只需比较错误!和错误!，只需比较b ln b 和a ln a。

构造函数f(x）＝x ln x（x〉1），则f′(x）＝ln x＋1>1>0,f(x）在(1，＋∞）上单调递增，因此f（a）〉f(b)〉0⇒a ln a>b ln b>0⇒错误!〈错误!，又由0〈c〈1得ln c<0,∴错误!〉错误!⇒b log a c>a log b c，C正确;
对D:要比较log a c和log b c，只需比较错误!和错误!，而函数y＝ln x在（1，＋∞)上单调递增，故a>b〉1⇔ln a>ln b>0⇔错误!〈错误!,又由0<c〈1得ln c〈0,∴错误!〉错误!⇔log a c〉log b c，D错误,故选C.］
3.（2014·四川,4)若a〉b〉0，c<d<0,则一定有（)
A。

错误!>错误!B。

错误!〈错误! C。

错误!>错误!D。

错误!<错误!
3。

D [由c〈d〈0⇒－错误!>－错误!>0,又a>b〉0,故由不等式性质，得－错误!〉－错误!>0，所
以a
d
〈错误!，故选D。

］
4.（2014·浙江，6）已知函数f(x）＝x3＋ax2＋bx＋c，且0〈f(－1）＝f（－2)＝f(－3）≤3，
则（）
A.c≤3 B。

3〈c≤6 C。

6〈c≤9 D.c〉9
4。

C ［由题意，不妨设g（x）＝x3＋ax2＋bx＋c－m,m∈（0，3]，则g（x)的三个零点分别为x
＝－3，x2＝－2，x3＝－1，因此有(x＋1)(x＋2）(x＋3）＝x3＋ax2＋bx＋c－m，则c－m＝6，1
因此c＝m＋6∈(6,9］。

］
5。

(2015·江苏，7）不等式2x2－x＜4的解集为________。

5。

｛x｜－1＜x＜2} [∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0,解得－1<x〈2。

]
6。

(2014·江苏,10)已知函数f（x）＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）〈0
成立，则实数m的取值范围是________.
6.错误!［由题可得f(x)<0对于x∈［m,m＋1]恒成立,即错误!
解得－错误!〈m<0.]
考点2 线性规划
1。

（2016·四川，7）设p：实数x，y满足（x－1)2＋(y－1）2≤2,q：实数x,y满足错误!则p
是q的( ）
A.必要不充分条件 B。

充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1.A ［如图，(x－1）2＋（y－1)2≤2①表示圆心为（1,1），半径为错误!的圆内区域所有点（包
括边界)；错误!②表示△ABC内部区域所有点（包括边界).实数x，y满足②则必然满足①,反
之不成立。

则p是q的必要不充分条件.故选A.］
2。

(2016·山东，4）若变量x，y满足错误!则x2＋y2的最大值是（)
A.4 B。

9 C。

10 D.12
2.C［满足条件错误!的可行域如右图阴影部分（包括边界),x2＋y2是可行域上动点(x,y）到原点
（0，0)距离的平方，显然,当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C。

］
3。

(2016·北京，2)若x,y满足错误!则2x＋y的最大值为( ）
A。

0 B。

3 C.4 D。

5
3.C [不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示。

令z＝2x＋y,则y＝－2x＋z，作直线2x ＋y＝0并平移,当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值,由错误!得错误!所以A点坐标为(1,2），可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4。

］
4.(2015·广东,6)若变量x，y满足约束条件错误!则z＝3x＋2y的最小值为（)
A.错误!B。

6 C。

错误! D.4
4。

C［不等式组所表示的可行域如下图所示，
由z＝3x＋2y得y＝－错误!x＋错误!，依题当目标函数直线l：y＝－错误!x＋错误!经过A错误!时，z取得最小值即z
＝3×1＋2×错误!＝错误!,故选C。

］
min
5。

（2015·北京,2)若x,y满足错误!则z＝x＋2y的最大值为( ）
A.0 B。

1 C。

错误! D。

2
5。

D[可行域如图所示。

目标函数化为y＝－错误!x＋错误!z,当直线y＝－错误!x＋错误!z，过点A（0，1）时,z取得最大值2.］
6.（2015·福卷，5)若变量x，y满足约束条件错误!则z＝2x－y的最小值等于（)
A.－错误! B。

－2 C.－错误! D.2
6.A［如图,可行域为阴影部分，线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z，由图形可知当y＝2x－z过点错误!时z最小，z min＝2×（－1）－错误!＝－错误!,故选A.]
7。

(2015·山东,6）已知x,y满足约束条件错误!若z＝ax＋y的最大值为4,则a＝（）
A.3
B.2
C.－2
D.－3
7.B［不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
易知A(2，0)，由错误!得B(1，1).由z＝ax＋y,得y＝－ax＋z。

∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0，0)处取得最大值,最大值为z max＝0,不满足题意，排除C,D选项；当a＝2或3时,z＝ax＋y在A(2，0)处取得最大值,
∴2a＝4,∴a＝2，排除A,故选B。

］
8。

(2015·陕西,10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为（）
甲乙原料限额
A（吨）3212
B(吨）128
A。

12万元B.16万元C。

17
8.D[设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得错误!
目标函数z＝3x＋4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示:
可得目标函数在点A处取到最大值。

由｛x＋2y＝8，，3x＋2y＝12得A(2，3)。

则z max＝3×2＋4×3＝18(万元)。

]
9。

(2014·广东,3)若变量x，y满足约束条件错误!且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( ）
A。

5 B.6 C.7 D.8
9.B［作出可行域（如图中阴影部分所示)后,结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A 时,z的值最大，由错误!⇒错误!，则m＝z max＝2×2－1＝3.当直线y＝－2x＋z经过点B时，z 的值最小,由错误!⇒错误!,则n＝z min＝2×(－1)－1＝－3，故m－n＝6。

］
10.(2014·安徽，5)x,y满足约束条件错误!若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）
A。

错误!或－1 B。

2或错误! C。

2或1 D.2或－1
10.D［法一由题中条件画出可行域，可知A（0，2),B（2,0）,C（－2，－2)，则z A＝2，z B ＝－2a，z C＝2a－2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A＝z B〉z C或z A＝z C>z B或z B＝z C>z A,解得a＝－1或a＝2。

法二目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z,令l0:y＝ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a＝－1或a＝2。

]
11。

(2014·山东,9）已知x,y满足约束条件错误!当目标函数z＝ax＋by(a〉0，b>0）在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为（)
A。

5 B。

4 C。

5 D。

2
11。

B [法一不等式组表示的平面区域如图所示，根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A（2,1）处取得最小值，故2a＋b＝2错误!,两端平方得4a2＋b2＋4ab＝20,又4ab＝2×a×2b≤a2＋4b2,所以20≤4a2＋b2＋a2＋4b2＝5（a2＋b2）,所以a2＋b2≥4，即a2＋b2的最小值为4,当且仅当a＝2b，即b＝错误!,a＝错误!时等号成立.
法二把2a＋b＝2错误!看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2＋b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a2＋b2的最小值是坐标原点到直线2a＋b＝2错误!距离的平方,即错误!错误!＝4.］
12。

(2014·新课标全国Ⅰ,9）不等式组错误!的解集记为D。

有下面四个命题:
p
：∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D,x＋2y≥2,
1
p
：∀(x，y)∈D,x＋2y≤3，p4：∃(x，y）∈D，x＋2y≤－1.
3
其中的真命题是( ）
A。

p2,p3 B。

p1,p4 C.p1，p2 D。

p1，p3
12.C[画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2,－1)时，取得最小值0,故x＋2y≥0,因此p1，p2是真命题,选C.]
13.（2016·全国Ⅲ，13)若x,y满足约束条件错误!则z＝x＋y的最大值为________.
13.3
2
[满足约束条件错误!的可行域为以A(－2,－1），B(0，1），C错误!为顶点的三角形内部及
边界，过C错误!时取得最大值为错误!.]
14.（2016·全国Ⅰ，16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1。

5 kg,乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0。

3 kg,用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元。

14。

216 000 ［设生产A产品x件,B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为错误!目标函数z＝2 100x＋900y.
作出可行域为图中的四边形，包括边界,顶点为（60,100)，（0，200)，(0，0),（90，0）,在（60,100）处取得最大值,z max＝2 100×60＋900×100＝216 000（元）.］
15.（2015·新课标全国Ⅰ,15)若x，y满足约束条件错误!则错误!的最大值为________。

15.3[约束条件的可行域如下图,由错误!＝错误!,则最大值为3.]
16。

(2014·大纲全国,14）设x、y满足约束条件错误!则z＝x＋4y的最大值为________.
16。

5［作出约束条件下的平面区域,如图所示。

由图可知当目标函数z＝x＋4y经过点B(1,1）时取得最大值,且最大值为1＋4×1＝5.]
17。

(2014·湖南，14)若变量x,y满足约束条件错误!且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝
________。

17.－2[画出可行域（图略），由题意可知不等式组表示的区域为一三角形,平移参照直线2x＋y ＝0，可知在点（k,k）处z＝2x＋y取得最小值，故z min＝2k＋k＝－6。

解得k＝－2。

]
考点3 基本不等式
1。

（2014·上海，5)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
1.2错误![∵x2＋2y2≥2错误!＝2错误!xy＝2错误!，当且仅当x＝错误!y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为22。

]。