奥数拓展第五讲：圆综合-数学六年级上册 人教版

奥数拓展第五讲：圆综合-数学六班级上册人教版
一、选择题
1．下列各图中，空白部分与阴影部分的面积之比不等于1∶3的是（）。

A．B．
C．D．
2．如下图，大正方形内有一个最大的圆，圆内有一个最大的正方形。

那么，大正方形面积与小正方形面积的比是（）。

A．4∶πB．4∶1C．π∶2D．2∶1
3．一辆拖拉机前轮直径80厘米，后轮直径120厘米。

行驶前，两个轮胎的位置如下图所示，当后轮转动5周时，前轮的位置是（）图。

A．B．C．D．
4．下面三张正方形的纸边长都是12cm。

按下面的剪法，它们的余料相比，（）。

A．第一张最多B．其次张最多C．第三张最多D．同样多
5．要剪一个面积是12.56cm2的圆形纸片，至少需要面积是（）的正方形纸片。

A．12.56cm2B．14cm2C．16cm2D．20cm2
6．如下图所示，圆的面积与长方形面积相等，则阴影部分的周长与圆周长的比是（）。

A．5∶4B．1∶1C．3∶4D．4∶5
二、填空题
7．如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是( )cm2。

8．如图：大圆半径为8厘米，小圆半径为4厘米，则大圆与小圆的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。

现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。

9．如图，在一个长方形中画有两个一样大的圆。

已知长方形的周长是18厘米，那么一个圆的面积是( )平方厘米。

10．小明周日下午参与体育熬炼起止时间如图所示，分针长8厘米，分针扫过的面积占阴影部分圆面积的( )%；分针针尖走过的路程是( )厘米。

三、解答题
15．将一个边长为3厘米的等边三角形沿水平线滚动，B点从位置①到位置③所经过的路线总长度是多少
厘米？
16．如图所示，AB是圆O的直径，AB∶BC，B为垂足。

线段AC与圆O相交于点D，AB＝BC＝8厘米。

（1）求∶AOD的度数
（2）求阴影部分的面积（π取3.14）
17．中国建筑中经常能见到“外方内圆”的设计（如图）。

请你按下列要求分步作图，再计算。

（1）在正方形中画一个最大的圆；
（2）在所画圆中，画两条相互垂直的直径；
（3）依次连接这两条直径的四个端点，得到一个小正方形；
（4）这个圆的面积是（）平方厘米，小正方形的面积是（）平方厘米。

19．一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。

（1）这个花坛的面积有多大？
（2）假如扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？
20．如图，一枚半径是1厘米的玩耍币沿着边长是4厘米的等边三角形的边绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？
参考答案：
1．C
【分析】A．依据分数的意义，把整个图形看作单位“1”，平均分成4份，空白部分占其中的1份，阴影部分占其中的3份；
B．从图中可以看出，全部的三角形的高都相等，那么空白部分与阴影部分的面积之比等于它们的底边之比；C．设每个小正方形的边长是1，整个图形是一个长为4、宽为2的大长方形，依据长方形的面积＝长×宽求解；空白部分是一个底为3、高为2的三角形，依据三角形的面积＝底×高÷2求解；阴影部分的面积＝大长方形的面积－空白部分的面积；
D．空白部分是一个半径为1的圆，依据圆的面积公式S＝πr2求解；阴影部分是一个圆环，依据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2）求解；
最终依据比的意义分别写出四个选项中空白部分与阴影部分的面积之比，并化简，找出空白部分与阴影部分的面积之比不等于1∶3的选项。

【详解】A．把整个图形平均分成4份，阴影部分占其中的3份，空白部分与阴影部分的面积之比是1∶3，不符合题意；
B．空白部分的底边是1，阴影部分的底边是2＋1＝3，空白部分与阴影部分的面积之比是1∶3，不符合题意；C．设每个小正方形的边长是1；
大长方形的面积：4×2＝8
空白部分的面积：3×2÷2＝3
阴影部分的面积：8－3＝5
空白部分与阴影部分的面积之比是3∶5；
空白部分与阴影部分的面积之比不等于1∶3，符合题意；
D．空白部分的面积：π×12＝π
阴影部分的面积：
π×（22－12）
＝π×（4－1）
＝3π
空白部分与阴影部分的面积之比是π∶3π＝1∶3；不符合题意。

故答案为：C
【点睛】先依据分数的意义、三角形与长方形的面积计算、圆与圆环的面积计算等，分别求出空白部分与
阴影部分的面积，再利用比的意义和化简比解答。

2．D
【分析】依据题意，大正方形内有一个最大的圆，则圆的直径与大正方形的边长相等，设大正方形的边长是2，则圆的直径是2；依据正方形面积＝边长×边长，求出大正方形的面积。

小正方形是圆内的最大正方形，可以用对角线把它平均分成2个一样的三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，依据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是小正方形的面积。

最终依据比的意义，写出大正方形面积与小正方形面积的比，再化简比即可。

【详解】如图：
设大正方形的边长是2，则圆的直径是2。

大正方形的面积：2×2＝4
圆的半径：2÷2＝1
小正方形的面积：2×1÷2×2＝2
大正方形面积与小正方形面积的比是4∶2＝2∶1
故答案为：D
【点睛】运用赋值法，直接计算出大、小正方形的面积，再求出它们的比；把小正方形的面积转化成两个一样的三角形的面积，是求小正方形面积的关键。

3．B
【分析】先依据圆的周长Cπd求出前、后轮的周长；再用后轮的周长×5求出后轮转动5周前进的路程；依据前、后轮前进的路程相等可知前轮前进的路程；再用前轮前进的路程÷前轮的周长求出前轮转的周数；最终依据前轮最初的位置确定转动后的位置。

【详解】前轮的周长：3.14×80＝251.2（厘米）
后轮的周长：3.14×120＝376.8（厘米）
后轮转动5周前进的路程：376.8×5＝1884（厘米）
前轮转动的周数：1884÷251.2＝7.5（周）
前轮转7周时，前轮的位置和最初的位置相同，再转动半周，前轮的位置是。

故答案为：B
【点睛】明确前、后轮前进的路程相等是解决此题的关键。

4．D
【分析】观看图形可知，第一张余料面积＝正方形的面积－圆的面积，其次张余料面积＝正方形的面积－4个圆的面积，第三张余料面积＝正方形的面积－16个圆的面积；其中第一张圆的直径等于正方形的边长，其次张2个圆的直径等于正方形的边长，第三张4个圆的直径等于正方形的边长，据此求出每张图中圆的半径；然后依据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，分别求出三张图的余料面积，最终比较大小，得出结论。

【详解】第一张余料面积：
12×12－3.14×（12÷2）2
＝144－3.14×36
＝144－113.04
＝30.96（cm2）
其次张余料面积：
12×12－3.14×（12÷2÷2）2×4
＝144－3.14×9×4
＝144－113.04
＝30.96（cm2）
第三张余料面积：
12×12－3.14×（12÷4÷2）2×16
＝144－3.14×2.25×16
＝144－113.04
＝30.96（cm2）
综上所述，它们的余料同样多。

故答案为：D
【点睛】本题考查组合图形面积的计算，把握正方形的面积、圆的面积公式是解题的关键。

5．C
【分析】依据题意可知，这是一个外方内圆的图形，即在正方形内剪一个最大的圆，那么圆的直径等于正方形的边长；已知圆的面积是12.56cm2，依据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的半径的平方，进而求出圆的
半径，半径乘2即是圆的直径，也就是正方形的边长；最终依据正方形的面积＝边长×边长，求出这个正方形纸片的面积。

【详解】12.56÷3.14＝4（cm2）
由于4＝2×2，所以圆的半径是2cm；
圆的直径（正方形的边长）：
2×2＝4（cm）
正方形的面积：
4×4＝16（cm2）
至少需要面积是16cm2的正方形纸片。

故答案为：C
【点睛】本题考查圆的面积、正方形的面积公式的机敏运用，明白在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径与正方形边长的关系是解题的关键。

6．A
【分析】观看图形可知，假设圆的半径是2，长方形的宽和圆的半径相等，同时面积也相等，所以长方形的长是圆周长的一半。

依据圆的周长公式，先求出圆周长，再除以2，求出长方形的长。

用圆的周长除以4，求出阴影部分的弧长。

最终，利用加法将组成阴影部分的各边（弧）相加，求出它的周长，进而求出阴影部分的周长与圆周长的比。

【详解】假设圆的半径是2，
3.14×（2×2）÷2
＝3.14×4÷2
＝12.56÷2
＝6.28
3.14×（2×2）÷4
＝3.14×4÷4
＝12.56÷4
＝3.14
6.28＋2＋（6.28－2）＋3.14
＝8.28＋4.28＋3.14
＝12.56＋3.14
＝15.7
15.7∶3.14×（2×2）
＝15.7∶12.56
＝（15.7×100）∶（12.56×100）
＝1570∶1256
＝（1570÷314）∶（1256÷314）
＝5∶4
则阴影部分的周长与圆周长的比是5∶4。

故答案为：A
【点睛】此题主要考查长方形的面积公式、圆的面积公式、圆的周长公式的机敏运用，关键是熟记公式。

7．1.14
【分析】依据题意，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长，依据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积；
在圆里画一个最大的正方形，如下图，用正方形的一条对角线把这个正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，依据三角形的面积S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是这个最大正方形的面积；
最终用圆的面积减去最大正方形的面积，即是阴影部分的面积。

【详解】圆的半径：2÷2＝1（cm）
圆的面积：3.14×1×1＝3.14（cm2）
圆内最大正方形的面积：2×1÷2×2＝2（cm2）
阴影部分的面积：3.14－2＝1.14（cm2）
阴影部分的面积是1.14cm2。

【点睛】本题考查圆的面积、三角形面积公式的运用，关键是把圆内最大正方形的面积转化成两个完全一样的三角形的面积求解。

8．2∶1 2∶1 4∶1 75.36
【分析】依据圆的直径d＝2r，圆的周长C＝2πr，圆的面积S＝πr2，可知两个圆的直径之比、周长之比等于它们的半径之比，两个圆的面积之比等于它们的半径的平方比。

从图中可知，小圆的圆心移动的长度是以（8＋4）厘米为半径的圆的周长，依据圆的周长C＝2πr，代入数据计算即可求解。

【详解】大圆与小圆的直径之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；
大圆与小圆的周长之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；
大圆与小圆的面积之比是82∶42＝64∶16＝（64÷16）∶（16÷16）＝4∶1；
2×3.14×（8＋4）
＝2×3.14×12
＝75.36（厘米）
小圆的圆心移动的长度是75.36厘米。

【点睛】本题考查圆的直径、周长、面积公式的运用以及比的意义、比的化简。

9．7.065
【分析】观看图形可知，长方形的长等于圆的直径的2倍，宽等于圆的直径；设圆的直径是d厘米，则长是2d厘米，宽是d厘米；依据长方形的周长＝（长＋宽）×2，列出方程，求出圆的直径；进而求出圆的半径，然后依据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出一个圆的面积。

【详解】解：设圆的直径是d厘米。

（2d＋d）×2＝18
3d×2＝18
6d＝18
d＝18÷6
d＝3
圆的半径：3÷2＝1.5（厘米）
圆的面积：
3.14×1.52
＝3.14×2.25
＝7.065（平方厘米）
一个圆的面积是7.065平方厘米。

【点睛】本题考查圆的面积公式的运用，找出长方形的长、宽与圆的直径的关系，然后依据长方形的周长
【分析】等边三角形的三个内角都是60°，由图可知，等边三角
形从位置①到位置②B点经过的路线长度是半径为3厘米，圆心角为120°扇形的弧长，从位置②到位置③B点经过的路线长度等于从位置①到位置②B点经过的路线长度，圆心角为120°扇形的弧长等于整个圆
周长的1
3
，利用“C2rπ
=
圆形”求出B点经过的路线总长度，据此解答。

12.56＋24－16＝20.56（平方厘米）
答：阴影部分的面积是20.56平方厘米。

【点睛】本题考查组合图形面积的求法，分析组合图形是由哪些基本图形组成，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，依据图形面积公式解答。

17．（1）见详解
（2）见详解
（3）见详解
（4）28.26；18
【分析】（1）从图中可知，正方形的边长是6厘米，在正方形中画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长6厘米；
先找到正方形的中心，以此为所画圆的圆心，以正方形边长的一半为圆的半径，即可画出这个最大的圆。

（2）在所画圆中，过圆心画两条相互垂直的直径即可。

（3）依次连接这两条直径的四个端点，得到一个小正方形。

（4）已知圆的直径是6厘米，依据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可求出这个圆的面积；
小正方形的1条对角线把小正方形平均分成两个小三角形，小三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径；依据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出一个小三角形的面积，再乘2，即是这个小正方形的面积。

【详解】（1）（2）（3）如图：
（4）圆的面积：
3.14×（6÷2）2
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
小正方形的面积：
＝23.55（平方米）
答：花坛的面积增大23.55平方米。

【点睛】本题考查半圆周长计算方法的机敏运用以及圆环面积公式的应用。

20．36.56平方厘米
【分析】如图，它扫过的面积是3个边长4厘米，宽1×2厘米的长方形和一
个圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，据此列式解答。

【详解】1×2＝2（厘米）
2×4×3＋3.14×22
＝24＋3.14×4
＝24＋12.56
＝36.56（平方厘米）
答：它扫过的面积是36.56平方厘米。

【点睛】关键是具有肯定的空间想象力量，把握并机敏运用长方形和圆的面积公式。