新疆自治区北京大学附属中学新疆分校2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

北大附中新疆分校2017-2018第二学期期末考试
高二数学试卷（理科）
考试时间120分钟 总分150分
一、单选题（共12题；共60分）
1．在极坐标系中已知点(2,
)3
P
，则其直角坐标是 ( )
A ．(3，1)， B(-3，1) C ．(1，3)， D(-1， 3)
2. 两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( )
A.12
B. 14 C .13
D.1
6
3若i 是虚数单位，则复数 错误！未找到引用源。

=（ ） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣i D. i
4用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( ) A. 假设a 、b 、c 都是偶数 B. 假设a 、b 、c 都不是偶数 C. 假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D. 假设a 、b 、c 至多有两个偶数
5.已知m ，n ∈R ，mi －1＝n ＋i ，则复数m ＋ni 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：
90个零件所需要的加工时间约为（ ）
A. 93分钟
B. 94分钟
C. 95分钟
D. 96分钟 7. 6(2)x +的二项展开式中，
2x 项的系数是（ ） A . 45 B. 60 C. 135 D. 240 8.从
中任取2个不同的数，事件为“取到的2个数之和为偶数”，事件为“取到的2个
数均为偶数”，则
等于( )
1,8A 1,4B 2,5C 1
,2
D
9．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)和(1,4)-- D ．(2,8)和(1,4)-- 10.如图，长方形的四个顶点为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2)，曲线
经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）
5,
12A 1,2B 3,4C 2
,3
D
11.设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，P (ξ>1)＝p ， 则P (－1<ξ<0)等于（ ）
1
,
2
A p 1,2
B p - ,12
C p - ,1
D p -
12.如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ ）
A. 288种
B. 264种
C. 240种
D. 168种
三解答题（17题10分，18-22每题12分） 17.解答题
（1）复数
5
32z i =+-求z 的共轭复数； （2）实数m 取什么数值时，复数2
2
1(2)z m m m i =-+--分别是：
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？（4）表示复数z 的点在复平面的第四象限？
18.已知曲线314
()33
f x x =
+ （1）求f′（5）的值；
（2）求曲线在点P （2，4）处的切线方程．
19．已知设P (x ，y )是曲线C ：
{
2cos sin x y θθ=-+= (θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求
（1）曲线C 的普通方程 （2）y x
的取值范围
20.证明题：
1）求证：3625->
-求证：
2）.已知x 为实数，2
21
,2,12
a x
b x
c x x =+
=-=-+， 求证：,,a b c 中至少有一个不小于1．
21.为了解某校学生假期日平均数学学习时间情况，现随机抽取500名学生进行调查，由调查结果得如下频率分布直方图
（Ⅰ）求这500名学生假期日平均数学学习时间的样本平均数
和样本方差s 2（同一组中的数据用该组的中点值做代表）．
（Ⅱ）由直方图认为该校学生假期日平均数学学习时间X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数
，σ2近似为样本的方差s 2 ， （i ）利用该正态分布，求P （100＜X≤122.8）；
（ii ）若随机从该校学生中抽取200名学生，记ξ表示这200名学生假期日平均数学学习时间位于（77.2，122.8）的人数，利用（i ）的结果，求E （ξ） 附：
≈11.4，
若X ～N （μ，σ2），则p （μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，p （μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．
22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直
角坐标系，直线l
的参数方程为121x t y =-=⎧⎪⎨⎪⎩ (t 为参数)．
(1)写出直线l 与曲线C 在直角坐标系下的方程； (2)设曲线C 经过伸缩变换{
2x x
y y '='=得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x 0，y 0)，求
3
x 0＋1
2
y 0的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
【解析】【解答】B,D,E,F用四种颜色，则有种涂色方法；B,D,E,F用三种颜色，则有种涂色方法；B,D,E,F用两种颜色，则有种涂色方法
根据分类计数原理知共有24+192+48=264种不同的涂色方法,故选B. 二填空题
13.【答案】y′=2xsinx+x2cosx
14.【答案】-4
15.【答案】
16
n
42
解答题
17.【答案】（1）解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，
∴z﹣3= =2+i，
∴z=5+i，=5﹣i；
（2）略
18.【答案】解：（1）y=f （x ）=的导数为 f′（x ）=x 2 ， 即有f′（5）=25；
（2）由导数的几何意义可得 切线的斜率k=f′（2）=4， 点P （2，4）在切线上，
所以切线方程为y ﹣4=4（x ﹣2）， 即4x ﹣y ﹣4=0．
19（略） 20略
21.【答案】解：（Ⅰ）
；
s 2=（﹣40）2×0.1+（﹣20）2×0.24+0+202×0.22+402×0.11=520； （Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知X 服从正态分布N （100，520），且σ= ≈22.8，
∴P （100＜X≤122.8）= = ；
（ii ）由（i ）知学生假期日平均数学学习时间位于（77.2，122.8）的概率为0.6826， 依题意ξ服从二项分布，即ξ～B （200，0.6826）， ∴E （ξ）=200×0.6826=136.52
22
(1)直线l 的普通方程为3x ＋y －23－1＝0，
曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.
(2)曲线C 经过伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝x y ′＝2y 得到曲线C ′的方程为x 2
＋y 24＝
4，则点M 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝2cos θ
y 0＝4sin θ(θ为参数)，
代入3x 0＋1
2y 0得，
3x 0＋12y 0＝3×2cos θ＋1
2×4sin θ＝2sin θ＋23cos θ＝4sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π3，
∴3x 0＋1
2y 0的取值范围是[－4,4]．。