2023北京高三一模数学汇编：双曲线

2023北京高三一模数学汇编
双曲线
一、单选题
1．（2023·北京朝阳·统考一模）过双曲线()22
2210,0x y a b a b
−=>>的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ．若2AFO AOF ∠∠=（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A B C ．2 D 2 2．（2023·北京石景山·统考一模）已知双曲线()22
2104x y b b
−=>的离心率是2，则b =（ ）
A ．12
B ．C
D 3．（2023·北京门头沟·统考一模）双曲线()22
2210,0y x a b a b
−=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）
A ．y =
B ．y =
C ．3y x =±
D ．2y x =±
4．（2023·北京西城·统考一模）已知双曲线C 的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“C 的离心率为2”是
“C 的一条渐近线为y ”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．（2023·北京顺义·统考一模）若双曲线22
22:1(0)x y C a b a b
−=>>的离心率为e ，则e 的取值范围是（ ）
A ．(1,2)
B ．)+∞
C ．
D ．(2,)+∞
二、填空题 6．（2023·北京平谷·统考一模）已知双曲线22
13
x y m +=的离心率为2，则实数m =____________．
7．（2023·北京房山·统考一模）已知双曲线22
22:1x y C a b
−=的一条渐近线方程为y ，则双曲线C 的离心率为__________.
8．（2023·北京东城·统考一模）已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
−=>>的一个焦点是)
，且与直线2y x =±没有公共点，则双曲线的方程可以为______. 9．（2023·北京海淀·统考一模）已知双曲线22
22x y a b
−＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝，则它的离心率为________．
三、双空题
10．（2023·北京丰台·统考一模）三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus （约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角
的顶点C 为圆心作圆交角的两边于A ，B 两点；取线段AB 的三等分点O ，D ；以B 为焦点，A ，D 为顶点
作双曲线H ．双曲线H 与弧AB 的交点记为E ，连接CE ，则13
BCE ACB ∠∠=．
①双曲线H 的离心率为________；
②若π
2ACB ∠=，||AC =CE 交AB 于点P ，则||OP =________．
参考答案
1．B
【分析】由题意易得所以30AOF ∠=，从而tan30b a ==，再由c e a =. 【详解】解：在Rt AFO △中，因为2AFO AOF ∠∠=，
所以30AOF ∠=，则tan30b a ==
，
所以3c e a ====， 故选：B
2．B 【分析】根据双曲线离心率公式即可求出结果.
【详解】由题意可得2c e a ====，
解得b =
故选：B.
3．C
【分析】根据离心率可得2c a =，可得出a 、b 的等量关系，由此可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】由已知可得2c a
=，则2c a =，故b ==，
所以，双曲线的渐近线方程为y x b =±=. 故选：C.
4．D
【分析】根据题意，分别从充分性和必要性两方面进行检验即可求解.
【详解】若双曲线C 的离心率为2，则22
2
2214c b e a a ==+=，
所以2
23b a =，若双曲线C 的焦点在x 轴上，则渐近线方程为b y x a
=±=；
若双曲线C 的焦点在y 轴上，则渐近线方程为a y x b =±=；
所以“C 的离心率为2”不是“C 的一条渐近线为y ”的充分条件；
反之，双曲线C 的一条渐近线为y ，
若双曲线C 的焦点在x 轴上，则渐近线方程为b y x a =±=，所以b a
=
离心率2e =；
若双曲线C 的焦点在x 轴上，则渐近线方程为a y x b =±=，所以b a =
离心率e “C 的离心率为2”不是“C 的一条渐近线为y ”的必要条件；
综上：“C 的离心率为2”是“C 的一条渐近线为y ”的既不充分也不必要条件， 故选：D.
5．C
【分析】根据双曲线离心率的知识求得正确答案.
【详解】c e a ==== 由于0a b >>，所以01b a <<，2201,112b b a a ⎛⎫⎛⎫<<<+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以(e ， 故选：C
6．9−
【分析】由题知0m <，223,a b m ==−，所以2c e a ===，求解即可得出答案. 【详解】由题知，0m <，则方程22
13
x y m +=表示焦点在y 轴上的双曲线，
所以223,a b m ==−，则2c e a ==， 所以143
m −=，解得：9m =−. 故答案为：9−.
7．2
【分析】由题意求出双曲线2222:1x y C a b −=的渐近线方程，则b a =c e a ==案. 【详解】双曲线22
22:1x y C a b
−=的渐近线方程为b y x a =±,
所以b a =C 的离心率为2c e a ====. 故答案为：2.
8．2
2
14y x −=
【分析】取直线2y x =±为双曲线的渐近线，则
2b a =
，根据焦点得到c =1,2a b ==，得到双曲线方程.
【详解】取直线2y x =±为双曲线的渐近线，则2b a
=， 双曲线()22
2210,0x y a b a b −=>>
的一个焦点是)
，故c 故1,2a b ==，故双曲线方程为2214
y x −=. 故答案为：2
2
14y x −= 9．2
【详解】由题意，得e ＝c a
2. 10． 2
7−【分析】①根据图形关系确定2c a =即可求解；利用面积之比1sin 21sin 2
ACP
BCP AC CP ACP AP S S BP BC CP BCP ⋅∠==⋅∠△△，进而可
求出3BP =，再根据OP OB BP =−求解. 【详解】①由题可得,,OA a OB c ==所以2c a =， 所以双曲线H 的离心率为
2c a =；②，因为π2
ACB ∠=
，且AC BC ==
所以6AB , 又因为13BCE ACB ∠∠=，所以ππ,,36
ACP BCP ∠=∠=
所以1sin 2211sin 22
ACP
BCP AC CP ACP AP S S BP BC CP BCP ⋅∠===⋅∠△△，
所以AP =,
因为1)6AB AP BP BP =+==,
解得3BP =，
所以7OP OB BP =−=−
故答案为
:2; 7−。