数学-2023届雅礼中学高三一模数学试题

2023届模拟试卷(一)
数 学
注意事项：
1．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 已知集合A ＝(x |y －}，B ＝(y |y ＝ln x )，则A ∩B
＝ A .(x |x ＞0) B .{x |x ＜0} C .{x |x ∈R 且x ≠0)
D .Ø 2． 下列说法正确的是
A .若a //b ，则a 与b 的方向相同或者相反
B .若a ，b 为非零向量，且，则a 与b 共线
C .若a //b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λb
D .若e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1－e 2|＝1，则|e 1＋e 2|3． 函数y ＝|sin 2x ＋
|的最小正周期为 A .π B .2π C . D .不能确定
4． 给定一组数据：1,3,2,1,5，则这组数据的方差及第40百分位数分别是
A .5,2
B .,2
C .,1.5
D .5,1.5
5． 已知(3x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝
A .1024
B .1023
C .1025
D .512
6． 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝
,若［x ］表示不超过x 的最大整数，则［a 10］＝ A .1
B .2
C .3
D .5
7． 若X ～B (100,)，则当k ＝0.1,2，…，100时 A .P (X ＝k )≤P (X ＝50) B .P (X ＝k )≤P (X ＝32)
C .P (X ＝k )≤P (X ＝33)
D .P (X ＝k )≤P (X ＝49)
8． 已知a ＝(e －0.1)e ＋0.1，b ＝e e ，c ＝(e ＋0.1)e －0.1，则a ，b ，c 的大小关系是
A .a ＜b ＜c
B .c ＜a ＜b
C .b ＜a ＜c
D .a ＜c ＜b
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
1x
||=a b a |b |
12π256255625311n n a a -+13
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9． 已知复数z 的共轭复数为，则下列说法正确的是
A .z 2＝|z |2
B .z ＋一定是实数
C .若复数z 1，z 2满足|z 1＋z 2|
＝|z 1－z 2|，则
z 1·z 2＝0
D .若复数z 的平方是纯虚数，则复数
z 的实部和虚部相等或者互为相反数
10．已知不恒为0的函数f (x )，满足x ,y ∈R 都有f (x )＋f (y )＝，则 A .f (0)＝(0)
B
.
f (0)＝1 C .f (x )为奇函数
D .f (x )为偶函数 11．如图，已知双曲线：的左右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B ,连接BF 1，BF 2，BF 1与双曲线左支交于点P ，与渐近线分别交于点M ,N ,则
A .|PM |＝|BN |
B .
C .过F 2的双曲线的弦的长度的最小值为8
D .点B 到两条渐近线的距离的积为 12．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3,
E 为AB 的中点，C 1
F ＝2FC
，动点M 在侧面AA 1D 1D 内运动(含边界)，则
A .若M
B //平面D 1EF ，则点M B .平面D 1EF 与平面ABCD
C .平面
D 1EF 截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得的截面多边形的周长
为D .不存在一条直线l ，使得l 与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱
所成的角都相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算：＝ . 14．六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他(她)前面的那个人高，则共
有 种排法.
15．函数f (x )＝x x (x ＞0)的最小值为 .
16．如图，已知抛物线C ：y 2＝2x ，圆E ：(x －2)2＋y 2＝4,直线OA ,OB 分别交
抛物线于A ,B 两点，且直线OA 与直线OB 的斜率之积等于－2，则直线AB
被圆E 所截的弦长最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分10分)
已知正数数列{a n }，a 1＝1，且满足 z z ∀2(
)()22x y x y f f +-2
214
y x -=122F BF S ∆=45
+2si cos 1n 20sin 100︒-︒︒
22
11(1)0(2).n n n n a n a a na n -----=≥
(1)求数列{a n }的通项公式：
(2)设b n ＝，求数列{b n }的前n 项和
S n ．
18．(本小题满分12分) 在三角形ABC 中，内角
A ，
B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C ．
(1)求A ；
(2)若a BC 边上的高AD 的最大值．
19．(本小题满分12分)
斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2,∠A 1AB ＝60°,点A 1在下底面ABC 的投影为AB 的中点O .
(1) 在棱BB 1(含端点)上是否存在一点D 使A 1D ⊥AC 1？若存在，求出BD 的长；若不存
在，请说明理由：
(2) 求点A 1到平面BCC 1B 1的距离．
20．(本小题满分12分)
20235名志愿
者，该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔
，每个部门有3个小组，每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔，假设每名志愿者入选的机会相等．
(1)求甲部门志愿者入选人数为1人的概率；
(2)求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率；
(3)求某小组志愿者入选人数X 的分布列及期望．
21．(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝2sin x －sin 2x ．
(1)当0≤x ≤π时，求f (x )的最大值；
(2)当
≤x ≤时，求证：f (x )＞ln (x ＋1)(记ln ＝0.739).
1n
n a π3π22π3
22．(本小题满分12分)
已知椭圆C ：，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． (1) 点P (x 0，y 0)为椭圆C 上的动点(与点A ，B 不重合)，若直线PA ，直线PB 的斜率
存在且斜率之积为－，试探究直线l 是否过定点，并说明理由： (2) 若OA ⊥OB ，过点O 作OQ ⊥AB ，垂足为点Q ，求点Q 的轨迹方程．2
214
x y +=14。