河北省邢台市南宫一中2017-2018学年高三下学期第一次自测数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年河北省邢台市南宫一中高三（下）第一次自测数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x=4n+1，n∈Z}，B={x|x=4n﹣3，n∈Z}，C={x|x=8n+1，n∈Z}，则A，B，C之间的关系是（）A．C⊊B⊊A B．A⊊B⊊C C．C⊊A=B D．A=B=C2．已知（i是虚数单位），则|z|=（）A．2 B．4 C． D．3．实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．已知向量=（1，cosθ），=（sinθ，﹣2），且⊥，则sin2θ+6cos2θ的值为（）A．B．2 C．2D．﹣25．向平面区域Ω={（x，y）|0≤x≤π，﹣1≤y≤1}投掷一点P，则点P落入区域M={（x，y）|y＞cosx，0≤x≤π}的概率为（）A．B．C．D．6．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C．D．7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．1 C．D．28．下列四个图中，哪个可能是函数的图象（）A．B．C．D．9．执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．已知a，b都是正实数，且满足log4（2a+b）=log2（），则2a+b的最小值为（）A．12 B．10 C．8 D．611．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）12．已知函数，若关于x的方程f（x2+2x）=a（a∈R）有六个不同的实根，则a的取值范围是（）A．（2，8]B．（2，9]C．（8，9]D．（8，9）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．设不等式组，表示的区域为M，若直线l：y=k（x+2）上存在区域M内的点，则k的取值范围是．14．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图所示），则旗杆的高度为．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=8，PB=PC=，AB=3，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是．16．设P为双曲线+=1（a＞0，b＞0）在第一象限的一个动点，过点P向两条渐近线作垂线，垂足分别为A、B，若A、B始终在第一或第二象限内，则该双曲线的离心率e的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．18．已知某中学高三文科班学生共800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表从总抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号；（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你一次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42，概率．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（1）求证：AC1⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BC﹣A的大小；（3）求CC1到平面A1AB的距离．20．已知曲线C：y=x2与直线l：x﹣y+2=0交于两点A（x A，y A）和B（x B，y B），且x A＜x B．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；（2）若曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与D有公共点，试求a的最小值．21．设函数f （x）=（x+1）lnx﹣a （x﹣1）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e）．（1）求a的值；（2）函数f （x）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．（3）当1＜x＜2时，试比较与大小．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁R A）时，求证：＜|1+|．2015-2016学年河北省邢台市南宫一中高三（下）第一次自测数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x=4n+1，n∈Z}，B={x|x=4n﹣3，n∈Z}，C={x|x=8n+1，n∈Z}，则A，B，C之间的关系是（）A．C⊊B⊊A B．A⊊B⊊C C．C⊊A=B D．A=B=C【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化简B={x|x=4n﹣3=4（n﹣1）+1，n∈Z}，从而可得A=B；再由题意可排除D，从而得到．【解答】解：∵A={x|x=4n+1，n∈Z}，B={x|x=4n﹣3=4（n﹣1）+1，n∈Z}，∴A=B；故排除选项A，B；又∵5∈A，5∉C，∴排除D，故选C．2．已知（i是虚数单位），则|z|=（）A．2 B．4 C． D．【考点】复数求模．【分析】i2016=（i4）504=1，再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵i2016=（i4）504=1，∴==，则|z|==．故选：C．3．实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质；不等关系与不等式．【分析】根据指数函数，对数函数和幂函数的性质分别判断a，b，c的大小，即可判断．【解答】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.2＜0，0＜0.2＜1，，即0＜a＜1，b＜0，c＞1，∴b＜a＜c．故选：C．4．已知向量=（1，cosθ），=（sinθ，﹣2），且⊥，则sin2θ+6cos2θ的值为（）A．B．2 C．2D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得tanθ=2，而sin2θ+6cos2θ=，分子分母同除以cos2θ，代入tanθ=2可得答案．【解答】解：由题意可得向量=（1，cosθ），=（sinθ，﹣2），且⊥，即tanθ=2，所以sin2θ+6cos2θ====2．故选：B．5．向平面区域Ω={（x，y）|0≤x≤π，﹣1≤y≤1}投掷一点P，则点P落入区域M={（x，y）|y＞cosx，0≤x≤π}的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】作出对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式计算即可得到结论．【解答】解：平面区域Ω={（x，y）|0≤x≤π，﹣1≤y≤1}对应的区域为矩形ABCD，面积S=2π，区域M={（x，y）|y＞cosx，0≤x≤π}对应的区域为阴影部分，则由余弦函数的对称性可知，阴影部分的面积S=S ABCD=π，故点P落入区域M={（x，y）|y＞cosx，0≤x≤π}的概率为，故选：B．6．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答．【解答】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，所以=．所以=．故选B．7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．1 C．D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三视图，我们可以判断出几何体的形状及几何特征，求出其底面面积、高等关键几何量后，代入棱锥体积公式，即可得到答案．【解答】解：由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，以1为高的四棱锥由于正视图是一个上底为1，下底为2，高为1的直角梯形故棱锥的底面面积S==则V===故选A8．下列四个图中，哪个可能是函数的图象（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据的图象由奇函数左移一个单位而得，结合对称性特点判断．【解答】解：∵是奇函数，向左平移一个单位得，∴图象关于（﹣1，0）中心对称，故排除A、D，当x＜﹣2时，y＜0恒成立，排除B．故选：C9．执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，b，k的值，当M=时满足条件n≤k，退出循环，输出M的值．【解答】解：n=1时，M=1+=，n=2时，M=2+=，n=3时，M=+=，故选：D．10．已知a，b都是正实数，且满足log4（2a+b）=log2（），则2a+b的最小值为（）A．12 B．10 C．8 D．6【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的基本运算法则，得到2a+b=ab，然后根据基本不等式即可求出2a+b的最小值．【解答】解：∵log4（2a+b）=log2（），∴log4（2a+b）=log4（ab），∴2a+b=ab＞0，∵2a+b=ab=•2a•b≤（）2=（）2，∴2a+b≥8，当且仅当2a=b时，取等号．∴2a+b的最小值为8，故选：C．11．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）【考点】抽象函数及其应用；导数的运算．【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故选C．12．已知函数，若关于x的方程f（x2+2x）=a（a∈R）有六个不同的实根，则a的取值范围是（）A．（2，8]B．（2，9]C．（8，9]D．（8，9）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】令t=x2+2x，则t≥﹣1，f（t）=．由题意可得，函数f（t）的图象与直线y=a 有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a 的取值范围．【解答】解：令t=x2+2x=（x+1）2﹣1，则t≥﹣1，函数f（t）=．由题意可得，函数f（t）的图象与直线y=a 有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：由于当t=﹣1时，f（t）=8，此时，t=﹣1对应的x值只有一个x=﹣1，不满足条件，故a的取值范围是（8，9]，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．设不等式组，表示的区域为M，若直线l：y=k（x+2）上存在区域M内的点，则k的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线和区域的关系即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，直线y=k（x+2）过定点（﹣2，0），由图象可知当直线l经过点A时，直线斜率最大，当经过点B时，直线斜率最小，由，解得，即A（1，），此时k==，由，解得，即B（5，2），此时k==，故k的取值范围是，故答案为：14．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图所示），则旗杆的高度为30m．【考点】正弦定理．【分析】作图，分别求得∠ABC，∠ACB和∠BAC，然后利用正弦定理求得AC，最后在直角三角形ACD中求得AD．【解答】解：如图，依题意知∠ABC=30°+15°=45°，∠ACB=180°﹣60°﹣15°=105°，∴∠BAC=180°﹣45°﹣105°=30°，由正弦定理知=，∴AC=•sin∠ABC=×=20（m），在Rt△ACD中，AD=•AC=×20=30（m），即旗杆的高度为30m．故答案为：30m．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=8，PB=PC=，AB=3，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是76π．【考点】球的体积和表面积．【分析】先判断PA⊥平面ABC，△ABC的外接圆的半径为，再利用勾股定理求出三棱锥P﹣ABC外接球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：由题意，PA⊥AB，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC，△ABC的外接圆的半径为=设三棱锥P﹣ABC外接球的半径为R，则R2=（）2+42=19，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2=76π．故答案为：76π．16．设P为双曲线+=1（a＞0，b＞0）在第一象限的一个动点，过点P向两条渐近线作垂线，垂足分别为A、B，若A、B始终在第一或第二象限内，则该双曲线的离心率e的取值范围为（，+∞）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线y=的倾斜角大于45°，即有斜率大于1，即为＞1，运用离心率公式和双曲线的离心率范围，即可得到所求范围．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意，A，B始终在第一或第二象限内，则有渐近线y=的倾斜角大于45°，由斜率大于1，即为＞1，双曲线离心率e==＞，又e＞1，即有e的范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n 【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1﹣2S n，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；﹣1（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{bn}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，=3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．18．已知某中学高三文科班学生共800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表从总抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号；（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你一次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42，概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；系统抽样方法．【分析】（1）利用随机数表法能求出最先检查的3个人的编号．（2）①=30%，能求出a，由此能求出b．②先求出a+b=100﹣（7+20+5）﹣（9+8+16）﹣4=31，再由a≥10，b≥8，利用列举法求出a，b的搭配种数，设a≥10，b≥8时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A，利用列举法能求出数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．【解答】解：（1）从第8行第7列的数开始向右读，第一个编号为785，符合；第二个编号为916，不符合；第三个编号为955，不符合；第四个编号为667，符合；第五个编号为199，符合．∴最先检查的3个人的编号依次为：785，667，199．（2）①=30%，解得a=14．b=100﹣30﹣（20+18+4）﹣（5+6）=17．②a+b=100﹣（7+20+5）﹣（9+8+16）﹣4=31，∵a≥10，b≥8，∴a，b的搭配：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8），共有14种，设a≥10，b≥8时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A，则事件A包括：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），共6个基本事件，∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率p（A）=．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（1）求证：AC1⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BC﹣A的大小；（3）求CC1到平面A1AB的距离．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）欲证AC1⊥平面A1BC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC1与平面A1BC内两相交直线垂直，利用平面和平面垂直的性质定理可以证出BC⊥AC1，又BA1⊥AC1，满足定理条件；（2）在证得BC⊥平面AA1C1C的基础上，可以知道∠A1CA为面角A1﹣BC﹣A的平面角，通过证明△A1CA为正三角形得出∠A1CA=60°（3）取AA1中点F，则AA1⊥平面BCF，从而面A1AB⊥面BCF，过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，从而CH就是CC1到平面A1AB的距离，在Rt△BCF中，求出CH即可【解答】（1）证明：因为A1D⊥平面ABC，所以平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，得BC⊥AC1，又BA1⊥AC1所以AC1⊥平面A1BC；（2）解：由（1）已证BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC，BC⊥A1C，∠A1CA为二面角A1﹣BC﹣A的平面角．由AC1⊥平面A1BC，得出AC1⊥A1C，所以平行四边形AA1C1C为菱形．由于A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，所以A1A=A1C，所以△A1CA为正三角形，得出∠A1CA=60°即二面角A1﹣BC﹣A的大小为60°（3）解：由（2）四边形AA1C1C为菱形，△A1CA为正三角形，故AA1=AC=2，∠A1AC=60°．取AA1中点F，则AA1⊥CF又AA1⊥BC，所以AA1⊥平面BCF，从而面A1AB⊥面BCF，过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，在Rt△BCF中，，故，即CC1到平面A1AB的距离为20．已知曲线C：y=x2与直线l：x﹣y+2=0交于两点A（x A，y A）和B（x B，y B），且x A＜x B．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；（2）若曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与D有公共点，试求a的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）欲求线段PQ的中点M的轨迹方程，设线段PQ的中点M坐标为（x，y），即要求x，y间的关系式，先利用x，y列出点P（s，t）的坐标结合点P在曲线C上即得；（2）处理圆与D有无公共点的问题，须分两种情形讨论：当时和当a＜0时．对于后一种情形，只须只需考虑圆心E到直线l：x﹣y+2=0的距离即可，从而求得求a的最小值．【解答】解：（1）联立y=x2与y=x+2得x A=﹣1，x B=2，则AB中点，设线段PQ的中点M坐标为（x，y），则，即，又点P在曲线C上，∴化简可得，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则，即，∴中点M的轨迹方程为（）．（2）曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0，即圆E：，其圆心坐标为E（a，2），半径由图可知，当时，曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与点D有公共点；当a＜0时，要使曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与点D有公共点，只需圆心E到直线l：x﹣y+2=0的距离，得，则a的最小值为．21．设函数f （x）=（x+1）lnx﹣a （x﹣1）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e）．（1）求a的值；（2）函数f （x）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．（3）当1＜x＜2时，试比较与大小．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，计算化简即可得到a=2；（2）函数f （x）不能在x=1处取得极值．求出导数，讨论x＞1，0＜x＜1函数的单调性，即可得到结论；（3）当1＜x＜2时，＞﹣．运用函数的单调性和不等式的性质，即可得到结论．【解答】解：（1）f′（x）=lnx++1﹣a，依题设得=f′（e），即e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e，解得a=2；（2）函数f （x）不能在x=1处取得极值．因为f′（x）=lnx+﹣1，记g（x）=ln x+﹣1，则g′（x）=．①当x＞1时，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0；②当0＜x＜1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是减函数，所以g（x）＞g（1）=0，即有f′（x）＞0．由①②得f （x）在（0，+∞）上是增函数，所以x=1不是函数f （x）极值点．（3）当1＜x＜2时，＞﹣．证明如下：由（2）得f （x）在（1，+∞）为增函数，所以当x＞1时，f（x）＞f （1）=0．即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以＜．①因为1＜x＜2，所以0＜2﹣x＜1，＞1，所以＜=，即﹣＜．②①+②得﹣＜+=．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．【解答】证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，∵∠BAD=∠FAB，∴△BAD∽△FAB，∴=，∴AB2=AD•AF，∵AB=AC，∴AB•AC=AD•AF，∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，根据割线定理DF•AF=FC•FB，∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁R A）时，求证：＜|1+|．【考点】不等式的证明；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．【分析】（Ⅰ）根据题意，得|x+1|+|x+2|﹣5≥0；求出x的取值范围，即是f（x）的定义域A；（Ⅱ）由A、B求出B∩C R A，即得a、b的取值范围，由此证明成立即可．【解答】解：（Ⅰ）a=5时，函数f（x）=，∴|x+1|+|x+2|﹣5≥0；即|x+1|+|x+2|≥5，当x≥﹣1时，x+1+x+2≥5，∴x≥1；当﹣1＞x＞﹣2时，﹣x﹣1+x+2≥5，∴x∈∅；当x≤﹣2时，﹣x﹣1﹣x﹣2≥5，∴x≤﹣4；综上，f（x）的定义域是A={x|x≤﹣4或x≥1}．（Ⅱ）∵A={x|x≤﹣4或x≥1}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A=（﹣4，1），∴B∩C R A=（﹣1，1）；又∵，而；当a，b∈（﹣1，1）时，（b2﹣4）（4﹣a2）＜0；∴4（a+b）2＜（4+ab）2，即．2017-2018学年10月16日。