【推荐】数值计算方法：第六章 常微分方程初值问题的数值解法.ppt
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8
计算结果见表6.1
9
6.1.3 改进欧拉公式
这称为改进欧拉公式
10
例6.2 仍取步长h = 0.2，采用改进欧拉法重新计算例 6.1 的
常微分方程初值问题。 解 这时改进欧拉公式为
(计算结果见表6-2)
11
6.1.4 计算公式的误差分析
定义6.1
为该方法的整体截断误差. 如果 则称该方法是收敛的.
第六章 常微分方程 初值问题的数值解法
6.1 欧拉方法 6.2 龙格－库塔方法
1
6.1 欧拉方法 6.1.1 引言
问题的提出
数值求解方法
2
6.1.1 欧拉公式与后退欧拉公式与梯形公式 算法：
3
选择不同的数值积分公式来求 近似值就得到初值问题的各种数值解法
1.欧拉公式
这称为欧拉公式
4
2.后退欧拉公式
12
设单步显式公式的一般形式为 一般地, 微分方程初值问题精确解不满足(6.1.15), 即
定义6.2
称
13
截断误差的估计 设 y(x)C 3 [x0 , b] , 则 （1）对欧拉公式，有局部截断误差
因此，欧拉公式的局部截断误差为 O (h2)
14
（2）对后退欧拉公式，有如下分析： 对(6.1.16)中的积分,用习题五第2题中的右矩形公式, 得 其中
18
定义6.4 若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方法 的局部截断误差为 O ( hp+1 ) ，则称该方法为 p阶精度，或称该 方法为 p阶方法。
由此定义知，欧拉方法与后退欧拉方法为一阶精度，梯 形法与改进欧拉方法为二阶精度。
19
6.2 龙格-库塔方法
由中值定理，有
因此，以上介绍的各种单步法本质上都是对平均斜
合的斜率值的个数具有如下关系
每一步需计算的 f 值的个数
1 2 3 4 5 6 7 n≥8
精度阶
1 2 3 4 4 5 6 n-2
可见，超过四阶精度的R-K公式效率并不高，实际计算通
常选用如下四阶格式
经典R-K公式
23
率 f( , y( )) 进行近似，龙格-库塔据之提出了适当选取若
干点上的斜率值作近似以构造高精度计算公式的方法，其 基本思想是基于泰勒展式的待定系数法。
20
6.2.1 二阶Rung-Kutta公式 问题：建立二阶精度的计算格式形为
解
在 y(xi) = yi 的假设下，有
故
21
而
根据格式为二阶精度，即 y(xi+1) －yi+1 = O(h3) 比较两式系数得
系数满足(6-13)的形为(6-12)计算格式统称为二阶R-K公式。 当令 =1/2时，解得 =1/2 ，a=b=1，即为改进欧拉公式。若 令 =0，解得 =1，a=b=1/2，则得另一计算公式
变形欧拉公式 22
6.3.2 四式R-K公式的精度与需要组
这称为后退欧拉公式 后退欧拉公式是一个隐式公式，通常采用迭代法求解。
5
3.梯形公式
---梯形公式也是隐式单步法公式
梯形公式 6
用梯形公式计算时，通常取欧拉公式的解作为迭代初值进行迭 代计算，即采用下式
(1) (2)
7
例6.1 以 h=0.2为步长，用欧拉公式、后退欧拉公式与梯形公式
求常微分方程初值问题
定义6.3 称
15
因此，后退欧拉公式的局部截断误差为 O (h2)
（3） 对梯形公式，对(6.1.16)中的积分使用数值积分得
其中
16
其局部截断误差为
因此，梯形公式的局部截断误差为 O ( h3 ) （4）改进欧拉公式可以改写为
其局部截断误差为
17
因为 而
从而改进欧拉公式的局部截断误差为 因此，改进欧拉公式的局部截断误差为 O ( h3 )
计算结果见表6.1
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6.1.3 改进欧拉公式
这称为改进欧拉公式
10
例6.2 仍取步长h = 0.2，采用改进欧拉法重新计算例 6.1 的
常微分方程初值问题。 解 这时改进欧拉公式为
(计算结果见表6-2)
11
6.1.4 计算公式的误差分析
定义6.1
为该方法的整体截断误差. 如果 则称该方法是收敛的.
第六章 常微分方程 初值问题的数值解法
6.1 欧拉方法 6.2 龙格－库塔方法
1
6.1 欧拉方法 6.1.1 引言
问题的提出
数值求解方法
2
6.1.1 欧拉公式与后退欧拉公式与梯形公式 算法：
3
选择不同的数值积分公式来求 近似值就得到初值问题的各种数值解法
1.欧拉公式
这称为欧拉公式
4
2.后退欧拉公式
12
设单步显式公式的一般形式为 一般地, 微分方程初值问题精确解不满足(6.1.15), 即
定义6.2
称
13
截断误差的估计 设 y(x)C 3 [x0 , b] , 则 （1）对欧拉公式，有局部截断误差
因此，欧拉公式的局部截断误差为 O (h2)
14
（2）对后退欧拉公式，有如下分析： 对(6.1.16)中的积分,用习题五第2题中的右矩形公式, 得 其中
18
定义6.4 若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方法 的局部截断误差为 O ( hp+1 ) ，则称该方法为 p阶精度，或称该 方法为 p阶方法。
由此定义知，欧拉方法与后退欧拉方法为一阶精度，梯 形法与改进欧拉方法为二阶精度。
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6.2 龙格-库塔方法
由中值定理，有
因此，以上介绍的各种单步法本质上都是对平均斜
合的斜率值的个数具有如下关系
每一步需计算的 f 值的个数
1 2 3 4 5 6 7 n≥8
精度阶
1 2 3 4 4 5 6 n-2
可见，超过四阶精度的R-K公式效率并不高，实际计算通
常选用如下四阶格式
经典R-K公式
23
率 f( , y( )) 进行近似，龙格-库塔据之提出了适当选取若
干点上的斜率值作近似以构造高精度计算公式的方法，其 基本思想是基于泰勒展式的待定系数法。
20
6.2.1 二阶Rung-Kutta公式 问题：建立二阶精度的计算格式形为
解
在 y(xi) = yi 的假设下，有
故
21
而
根据格式为二阶精度，即 y(xi+1) －yi+1 = O(h3) 比较两式系数得
系数满足(6-13)的形为(6-12)计算格式统称为二阶R-K公式。 当令 =1/2时，解得 =1/2 ，a=b=1，即为改进欧拉公式。若 令 =0，解得 =1，a=b=1/2，则得另一计算公式
变形欧拉公式 22
6.3.2 四式R-K公式的精度与需要组
这称为后退欧拉公式 后退欧拉公式是一个隐式公式，通常采用迭代法求解。
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3.梯形公式
---梯形公式也是隐式单步法公式
梯形公式 6
用梯形公式计算时，通常取欧拉公式的解作为迭代初值进行迭 代计算，即采用下式
(1) (2)
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例6.1 以 h=0.2为步长，用欧拉公式、后退欧拉公式与梯形公式
求常微分方程初值问题
定义6.3 称
15
因此，后退欧拉公式的局部截断误差为 O (h2)
（3） 对梯形公式，对(6.1.16)中的积分使用数值积分得
其中
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其局部截断误差为
因此，梯形公式的局部截断误差为 O ( h3 ) （4）改进欧拉公式可以改写为
其局部截断误差为
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因为 而
从而改进欧拉公式的局部截断误差为 因此，改进欧拉公式的局部截断误差为 O ( h3 )