大学数学高数微积分第一章多项式第十节课件课堂讲解

因子次数的和.
最后我们指出，与一元多项式一样，多元多项
式也可以看作函数的表达式.
设
f(x 1 ,x 2 , ,x n )
a xx x, k 1k 2 k n k 1 ,k 2 , ,k n12 n
k 1 ,k 2 , ,k n
并设 c1 , c2 , … , cn 是数域 P 中的数，我们称
f(c 1 ,c 2 , ,c n )
2x1x22x32 + x12x2 + x13 按字典排列法写出来就是
x13 + x12x2 + 2x1x22x32 . 按字典排列法写出来的第一个系数不为零的
单项式称为多项式的首项. 例如多项式
x13 + x12x2 + 2x1x22x32 的首项为 x13 .
注意 首项不一定具有最大的次数.
当 n = 1 时，字典排列法就归结为以前的降幂 排列法.
称为这个多项式的次数.
例如
5x13x2x32 + 4x12x22x3 是 6 次 多 项 式 ； 3x13x22x32 + 6x12x22x3 - x14x2x3 是 7 次 多 项 式 ； 10x15x23x33 - 5x17x22x33 + 8x14x24x32 - 4x16x23x32 是 12 次 多 项 式 .
证明 设 f (x1 , x2 , … , xn) 的首项为
a1px 1x2 p2 xn pn,a0,
g (x1 , x2 , … , xn) 的首项为
b1 qx 1x2 q2 xn qn,b0,
为了证明它们的积
abxx x p 1q 1 p2q2 12
pnqn n
为 f g 的首项， 只要证明
a cc c k 1k 2 k n k 1 ,k 2 , ,k n12 n
k 1 ,k 2 , ,k n
为 f (x1 , x2 , … , xn) 在 x1 = c1 , x2 = c2 , … , xn = cn
处的值. 显然，当
f (x1 , x2 ,…, xn) + g(x1 , x2 ,…, xn) = h(x1 , x2 ,…, xn),
二、多元多项式的排列法
虽然多元多项式也有次数，但是与一元多项
式的情况不同，我们并不能对多元多项式
a x x x k1 k2
kn
k1k2kn 1 2
n
k1 ,k2 ,,kn
中的单项式按次数给出一个自然排列的顺序，因为
不同类的单项式可能有相同的次数.
我们看到，一
元多项式的降幂排列法(或者升幂排列法)对于许多
定义 12 所有系数在数域 P 中的 n 元多项式 的全体，称为数域 P 上的 n 元多项式环，记为
P[ x1 , x2 , … , xn ] .
k1 + k2 + … + kn 称为单项式
ax1k1
xk2 2
xkn n
的次数. 当一个多项式表成一些不同类的单项式
的和之后 , 其中系数不为零的单项式的最高次数就
(k1 , k2 , … , kn ) > (l1 , l2 , … , ln ) ， (k1 , k2 , … , kn ) = (l1 , l2 , … , ln ) ， (k1 , k2 , … , kn ) < (l1 , l2 , … , ln )
中有一个且仅有一个成立.
同时，关系“>”具有
(p1 + q1 , p2 + q2 , … , pn + qn) 先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了.
事实上，
f (x1 , x2 , … , xn) g (x1 , x2 , … , xn)
中其他单项式所对应的有序数组是
或者
(p1 + k1 , p2 + k2 , … , pn + kn),
和一元多项式一样，n 元多项式也可以定义相
等、相加、相减、相乘.
例如 (5x13x2x32 + 4x12x22x3) + (2x12x22x3 - x14x2x3) = 5x13x2x32 + 6x12x22x3 - x14x2x3 , (5x13x2x32 + 4x12x22x3) (2x12x22x3 - x14x2x3) = 10x15x23x33 - 5x17x22x33 + 8x14x24x32 - 4x16x23x32
问题的讨论是方便的.
同样地，为了便于以后的讨
论，我们对于多元多项式也引入一种排列顺序的方
法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而
称为字典排列法.
ax x x 每一个单项式
k1 k2 12
kn 都对应于一个 n
n 元数组
(k1 , k2 , … , kn ) ,
其中 ki 为非负整数.
这个对应是一一对应.
fi(x1,x2, ,xn)gj(x1,x2, ,xn) ijk
特别地， h(x1 , x2 , … , xn x2 , … , xn) = fm (x1 , x2 , … , xn) gl (x1 , x2 , … , xn) .
由此可知，对于多元多项式，也有乘积的次数等于
(l1 + q1 , l2 + q2 , … , ln + qn),
或者 其中
(l1 + k1 , l2 + k2 , … , ln + kn), (p1 , p2 , … , pn ) > (l1 , l2 , … , ln ) ， (q1 , q2 , … , qn ) > (k1 , k2 , … , kn ).
f (x1 , x2 ,…, xn) g(x1 , x2 ,…, xn) = p(x1 , x2 ,…, xn)
时，我们有 f (c1 , c2 ,…, cn) + g(c1 , c2 ,…, cn) = h(c1 , c2 ,…, cn), f (c1 , c2 ,…, cn) g(c1 , c2 ,…, cn) = p(c1 , c2 ,…, cn) .
个文字. 形式为
ax1k1
xk2 2
xkn n
的式子，其中 a 属于 P，k1 , k2 , … , kn 是非负整数,
称为一个单项式.
如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么
它们就称为同类项. 一些单项式的和
a x x x k1 k2
kn
k1k2kn 1 2
n
k1 ,k2 ,,kn
就称为 n 元多项式，或者简称多项式.
对于字典排列法，我们有
定理 14 当多项式
f (x1 , x2 , … , xn) 0 , g (x1 , x2 , … , xn) 0 时，乘 积 f (x1 , x2 , … , xn) g (x1 , x2 , … , xn) 的首项等于 f (x1 , x2 , … , xn) 的首项与 g(x1 , x2 , … , xn) 的首项 的乘积.
任何一个 m 次多项式 f (x1 , x2 , … , xn) 都可以
唯一地表示成 m
f(x1,x2, ,xn) fi(x1,x2, ,xn), i0
其中 fi (x1 , x2 , … , xn) 是 i 次齐次多项式.
fi (x1 , x2 , … , xn) 称为 f (x1 , x2 , … , xn)的 i 次齐次 成分.
k 1 ,k 2 , ,k n
称为 m 次齐次多项式，如果其中每个单项式全
是 m 次的. 例如
f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) 2 x 1 x 2 x 3 2 x 1 2 x 2 2 3 x 1 4
是一个 4 次齐次多项式.
显然，两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式,
它的次数就等于这两个多项式的次数之和.
* 第十节 多元多项式
主要内容
定义 多元多项式的排列法 齐次多项式
一、定义
在前面我们讨论了一元多项式的基本性质.
但
是除去一元多项式外，还有含多个文字的多项式，
即多元多项式，如 x2 - y2 , x3 + y3 + z3 -3xyz 等.
现
在就来简单地介绍一下有关多元多项式的一些概
念.
定义11 设 P 是一个数域，x1 , x2 , … , xn 是 n
为了给出单项式之间一个排列顺序的方法，我 们只要对于 n 元数组 (k1 , k2 , … , kn ) 定义一个先后 顺序就行了.
如果数 k1 - l1, k2 - l2 , … , kn - ln
中第一个不为零的数是正的，也就是说，有 i n 使
k1 - l1 = 0 , … , ki-1 - li-1 = 0 , ki - li > 0 ,
f1 , f2 , … , fm 的首项等于每个 fi 的首项的乘积.
定 理 14 当 多 项 式 f (x1 , x2 , … , xn) 0 , g (x1 , x2 , … , xn) 0 时 ， 乘 积 f (x1 , x2 , … , xn) g (x1 , x2 , … , xn) 的 首 项 等 于 f (x1 , x2 , … , xn) 的 首 项 与 g(x1 , x2 , … , xn) 的 首 项 的乘积.
而 (p1+q1 , p2+q2 , … , pn+qn)>(p1+k1 , p2+k2 , … , pn+kn) 与 (p1+q1 , p2+q2 , … , pn+qn)>(l1+q1 , l2+q2 , … , ln+qn) 是显然的.
同样有 (l1+q1 , l2+q2 , … , ln+qn)>(l1+k1 , l2+k2 , … , ln+kn). 由传递性即得
传递性，即，如果
(k1 , k2 , … , kn ) > (l1 , l2 , … , ln ) ， (l1 , l2 , … , ln ) > (m1 , m2 , … , mn ) ， 那么 (k1 , k2 , … , kn ) > (m1 , m2 , … , mn ) .
事实上，由 ki - mi = (ki - li) - (li - mi) 即得上面 的结论. 因之，这样的确给出了 n 元数组之间的一 个顺序. 相应地，单项式之间也就有了一个先后顺 序. 例如多项式
本若本若请请本若本若请请本若请想想节节本若单单请想节节想本若单单请节想本 若单请内内结结节想击 击本 若单请结内内结节想击 击本 若单请内 结节想击本 若容 容束 束单请结内返 返节 想击本 若单束 容容 束请结内返 返节 想击本 若单容 束请结内返节 想已 已本 本击本 若束单容回 回请内 结返想节本 已已 本击本 若束单容回 回请内 结返想节已 本击本 若束单容回请结 结堂 堂内 结返节 想本已按 按击本 若容 束单回请内结结 堂堂 结返节想本已击按 按本 若 本 若 本 若容 束单回请 请 请内结结 堂返本 若节想本已击按请本 若 本 若束 束容 束课 课单回请 请堂内 结结钮 钮返节 想已 本按击容单束课 束束 课回堂结结内返钮 钮节 想 节 想 节想已 本按击容单 单束单束 课回节 想堂结结内返钮单想节 想 节已 本,,按击单课容 束束单回..结 堂内 结钮返!!已本,,击按课束束容回..结 堂内 结 内 结 内结钮返!!已本,击 击按击内 结课束束容回.击结 堂内 结 内结钮返!已 本,按击击束 课容 束回.结堂返钮!本已,按束 课容 束 容 束 容束回.结堂返 返钮返!容 束本已,按返束 课容 束 容束回.结 堂钮返返!已 本,按束课回.堂结钮!已 本 已 本 已,本按束课回回.回已 本堂结钮!回已 本 已,本按束 课回.回结堂钮!,按课束.堂结堂结堂结钮!,按按按结堂课束.按结堂结堂钮!,按按束课.钮!,束课束课束课.钮钮钮!束课,钮束课束课.钮钮!,.!,,,...,!!!.,,!..!!
那么，我们就称 n 元数组(k1 , k2 , … , kn )先于 n 元
数组 (l1 , l2 , … , ln ) , 并记为 (k1 , k2 , … , kn ) > (l1 , l2 , … , ln ) .
例如
(1 , 3 , 2) > (1 , 2 , 4) .
由定义立即看出，对于任意两个n 元数组 (k1 , k2 , … , kn ) 和 (l1 , l2 , … , ln ) ，关系
的结论显然包含着
推论 2 如果
f (x1 , x2 , … , xn) 0 , g (x1 , x2 , … , xn) 0 ,
那么
f (x1 , x2 , … , xn) g (x1 , x2 , … , xn) 0 .
三、齐次多项式
多项式
f(x 1 ,x 2 , ,x n )
a xx x k 1k 2 k n k 1 ,k 2 , ,k n12 n
如果 l
g(x1,x2, ,xn) gj(x1,x2, ,xn) j0 是一个 l 次多项式， 那么乘积
h(x1 , x2 , … , xn) = f (x1 , x2 , … , xn)g(x1 , x2 , … , xn)
的 k 次齐次成分 hk (x1 , x2 , … , xn) 为
hk(x1,x2, ,xn)
(p1+q1 , p2+q2 , … , pn+qn)>(l1+k1 , l2+k2 , … , ln+kn).
abxx x 这就证明了，
p 1q 1 p2q2 12
pnqn不可能与乘
n
积中其他的项同类而相消，且先于其他所有的项，
因而它是首项. 用数学归纳法立即得出
证毕
推论 1 如果 fi 0 , i = 1 , 2 , … , m , 那么