河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题

河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高一下学期3
月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平行四边形ABCD 中，BC CD BA -+= A ．BC
B ．AD
C ．AB
D ．AC
2．已知平面向量()1,2a =，()2,b y =，且//a b ，则2a b +=（ ） A ．()5,6-
B ．()3,6
C ．()5,4
D ．()5,10
3．已知ABC ∆中，4a =，b =6
A π
=，则B 等于（ ） A ．30
B ．30或150︒
C ．60︒
D ．60︒或120︒
4．设向量1OA e =，2OB e =，若1e 与2e 不共线，且点P 在线段AB 上，:2AP PB =，则OP =（ ）
A ．121233e e -
B ．1221
33
e e +
C ．121
233e e +
D ．122133
e e -
5．已知向量()1,2a =，()0,1b =，(),2c k =-，若()
2a b c +⊥，则k = A ．2
B ．-2
C ．8
D ．-8
6．在ABC 中，设2
2
2AC AB AM BC -=⋅，那么动点M 的轨迹必通过ABC 的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．外心
D ．重心
7．若三角形ABC 为钝角三角形，三边长分别为2,3,x ，则x 的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．⋃
二、多选题
8．下列说法正确的是（ ）
A ．平行向量是指方向相同或相反的两个非零向量
B ．零向量是0
C ．长度相等的向量叫做相等向量
D ．共线向量是在一条直线上的向量 9．给出以下说法，其中不正确的是（ ） A ．若()b a R λλ=∈，则//a b ； B ．若//a b ，则存在实数λ，使b a λ=；
C ．若a ，b 是非零向量，,R λμ∈，那么00a b λμλμ+=⇔==；
D ．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底. 10．给出以下说法，其中正确的是（ ） A ．若a b a b ⋅=⋅，则//a b ；
B ．()1,1a =-在()3,4b =方向上的投影为1
5
；
C ．若△ABC 中，5a =，8b =，7c =，则20BC CA ⋅=；
D ．如果//a b ，//b c ，那么//a c .
11．已知1e ，2e 是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为基底的是（ ） A ．0a =，12b e e =+ B ．1233a e e =+，12b e e =+ C ．122a e e =-，12b e e =+ D ．122a e e =-，1224b e e =-
12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，满足
1b c a c a b
+≥++，则角A 的值可以是（ ）
A ．
4
π B ．12
C ．3
D ．2
三、填空题
13．若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则,a b 夹角的余弦值为_______. 14．已知向量()3,4a =，()1,0b =，向量a 在向量b 方向上的投影向量为___________.（用坐标表示）
15．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点,A B ，望对岸标记物C ，测得30CAB ︒∠=，75CBA ︒∠=，120m AB =，则河的宽度为______．
16．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是___________.
四、解答题
17．已知4a =，8b =，a 与b 的夹角是120°． （1）计算：a b +；
（2）当k 为何值时，()()
2a b ka b +⊥-． 18．已知()1,0a =，()2,1b =.
（1）当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？
（2）若23AB a b =+，BC a mb =+且A ､B ､C 三点共线，求m 的值？
19．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c . 已知3,cos 2
a A B A π
===+. （1）求b 的值； （2）求ABC 的面积.
20．△ABC 在内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos sin a b C c B =+． （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积的最大值．
21．在ABC 中，3a =，b =2B A =． （1）求cos A 的值； （2）求c 的值．
22．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小
时与轮船相遇.
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇.
参考答案
1．A 【详解】
在平行四边形ABCD 中,BC AD =,所以
BC CD BA AD CD BA AD BA CD BD CD BC -+=-+=+-=-= ,选A. 2．D 【分析】
根据//a b ，求得4y =，再利用向量的线性运算求解. 【详解】
因为向量()1,2a =，()2,b y =，且//a b ， 所以
212
y
=，解得4y =， 所以()()()21,222,45,10a b +=+=， 故选：D. 3．D 【分析】 由正弦定理sin sin a b
A B
=，解得sin B ，利用大角对大边求出B . 【详解】
在ABC ∆中，4a =，b =，6
A π
=
，
由正弦定理sin sin a b A B
=得：4sin 6
π=
，
解得：sin B ， ∵b a >，∴B A >, ∴B =60︒或120︒. 故选：D. 【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
4．C 【分析】
根据向量线性关系的几何意义得到,,OP OA OB 的线性关系，即可知正确选项. 【详解】
由2
,,3
OP OA AP AP AB AB OB OA =+=
=-， ∴121122212
()()3333OP OA OB OA e e e e e =+-=+-=+.
故选：C 5．C 【分析】
向量垂直转化为数量积等于0，代值计算即可. 【详解】
解：因为()1,2a =，()0,1b =，所以2(1,4)+=a b ， 若()
2a b c +⊥，则808k k -=⇒= 故选：C. 【点睛】
向量()()1122,,,a x y b x y ==平行、垂直公式： （1）平行：12210x y x y -=； （2）垂直：12120x x y y +=. 6．C 【分析】
设BC 的中点是O ，根据题意化简可得0MO BC ⋅=，即可确定M 的轨迹. 【详解】
设BC 的中点是O ，
()()
2
2
22AC AB AC AB AC AB AO BC AM BC -=+⋅-=⋅=⋅，
即()
0AO AM BC MO BC -⋅=⋅=，所以MO BC ⊥，
所以动点M 在线段BC 的中垂线上，故动点M 的轨迹必通过ABC 的外心，
【点睛】
关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题. 7．D 【详解】
三边组成三角形，则：232332x x x +>⎧⎪
+>⎨⎪+>⎩
，解得：15x <<，
对三角形的边长分类讨论：
当最大边长为x 时，应有：
222230223
x
+-<⨯⨯，整理可得：213x >
5x <， 当最大边长为3时，应有：
222
23022x x
+-<⨯⨯，整理可得：25x <
，此时1x << 综上可得：x
的取值范围是(
)⋃.
8．AB 【分析】
根据平行向量、零向量、相等向量、共线向量的定义，即可知正确选项. 【详解】
A ：由定义：平行向量是方向相同或相反的非零向量，正确；
B ：零向量记作0，正确；
C ：方向相同且长度相等的向量叫相等向量，错误；
D ：共线向量所在直线可能重合，也可能平行，错误； 故选：AB. 9．
BCD
由向量共线的定义即可知A 、B 的正误，当a ，b 为相反向量时C 不成立，根据平面向量基本定理中基底的性质即可知D 的正误. 【详解】
A ：向量的数乘运算的几何意义，正确；
B ：若0a =，0b ≠，有//a b ，但不存在实数λ，错误；
C ：a ，b 为相反向量，则0a b +=，此时1λμ==，错误；
D ：平面向量的基本定理，作为基底的两向量是不共线的非零向量，错误. 故选：BCD 10．AB 【分析】
A ：利用向量数量积的定义求出向量的夹角即可；
B ：根据投影向量的定义有cos ,a b a a b b
⋅⋅=
，结合数量积的坐标表示即可求值；C ：由BC CA BC AC ⋅=-⋅，应用数量
积的定义、余弦定理即可求值；D ：向量平行传递性的前提是均为非零向量. 【详解】
A ：由a b a b ⋅=⋅，即cos ,a b a b a b ⋅⋅=⋅，得cos ,1a b =±，故,0a b =或π，即//a b ，正确；
B ：()1,1a =-在()3,4b =方向上的投影1
cos ,5a b a a b b ⋅⋅=
=
，正确；
C ：222cos 2a b c BC CA BC AC ab C ab ab
+-⋅=-⋅=-=-⋅222
202c a b --==-，错误；
D ：若b 为非零向量时，//a c 不一定成立，错误. 故选：AB 11．ABD 【分析】
利用向量共线定理及基底的性质，判断各选项中a 、b 是否共线，即可知是否可作基底. 【详解】
A ：因为零向量与任何向量都共线，故0a =，12b e e =+不可做基底；
B ：12333a e e b =+=， 即a 、b 共线，不可作基底；
C ：a 、b 不共线，可作基底；
D ：1222a e b e =-=，即a 、b 共线，不可作基底； 故选：ABD 12．AB 【分析】
整理原题干条件，让其和余弦定理表达式产生联系，从而求出角度范围. 【详解】 由
1b c a c a b
+≥++，得()()()()b a b c a c a c a b +++≥++，化简得222b c a bc +-≥，即2221
22
b c a bc +-≥，即()1cos 02A A ≥<<π，所以03A π<≤，AB 均满足.
故选：AB .
13．1
3-
【详解】
试题分析：由2a a b =+，得()
2
222244?a a b
a b a b =+=++，即2·a b b =-，所以
·cos ,·a b
a b a b 〈〉=
＝2
21
33b b
-=-． 考点：1、平面向量的数量积运算；2、平面向量的夹角．
【技巧点睛】平面向量中对模的处理主要是利用公式22||?a a a a ==进行转化，即实现平面向量的运算与代数运算的转化，而求向量,a b 的夹角时，如果已知条件中没有明确关于,a b 的数量积与模的大小，通常要利用已知条件找到·,
,a b a b 三者之间的关系．
14．3,0 【分析】
由向量坐标可求出1b =，从而可求方向相同的单位向量；由向量的数量积坐标表示求向量积，进而求出cos ,a a b ，即可求a 在向量b 方向上的投影向量. 【详解】
由2101b =+，则
()1,0b b
=，即与向量b 方向相同的单位向量为()1,0， 又3a b ⋅=，则cos ,3a b a a b b
⋅==，
∴向量a 在向量b 方向上的投影向量为3,0 故答案为：3,0 15．60m 【分析】
计算可得ACB CBA ∠=∠，从而可知AC AB =，作CD AB ⊥，垂足为D ，则河的宽度
sin30CD AC ︒=⋅.
【详解】
在△ABC 中，30CAB ︒∠=，75CBA ︒∠=， ∴75ACB ︒∠=，ACB CBA ∠=∠. ∴()120m AC AB ==，
作CD AB ⊥，垂足为D ，则CD 即为河的宽度． ∴1
sin 3012060(m)2
CD AC ︒=⋅=⨯=， ∴河的宽度为60m .
故答案为：60m . 【点睛】
本题考查测量距离，考查解三角形知识的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 16．(1,0)- 【分析】
如图所示，由A ，B ，D 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ满足
(1)OD OA OB λλ=+-，OD tOC =，1t <-，(1)tOC OA OB λλ=+-，即1OC OA OB t
t
λ
λ
-=
+
，与OC mOA nOB =+两比较，即可得出．
【详解】 解：如图所示，
A ，
B ，D 三点共线，
∴存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，
又OD tOC =，1t <-，
(1)tOC OA OB λλ∴=+-，
即1OC OA OB t
t λ
λ
-=+
，与OC mOA nOB =+两比较， 可得m t λ
=
，1n t
λ
-=
， 则1(1,0)m n t
+=∈-．
m n ∴+的取值范围是(1,0)-．
故答案为：(1,0)-．
17．（1）（2）7k =-. 【分析】
（1）利用向量的数量积求出两个向量的数量积；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程求出k 的值． 【详解】
解：由已知得，1
||||cos12048()162
a b a b =︒=⨯⨯-=-． （1）222||||||2162(16)6448a b a b a b +=++=+⨯-+=，
||43a b ∴+=；
（2）(2)()a b ka b +⊥-，
(2)()0a b ka b ∴+-=， 22||2||(21)0k a b k a b ∴-+-=，
即1616(21)2640k k ---⨯=．
7k ∴=-．
即7k =-时，(2)()a b ka b +⊥-．
18．（1）12k =-；（2）3
2
m =.
【分析】
（1）先求得ka b -，2a b +的坐标，再根据ka b -与2a b +共线求解；
（2）法一：根据A ､B ､C 三点共线，由AB BC λ=求解；法二：先求得AB ，BC 的坐标，再根据A ､B ､C 三点共线，由//AB BC ，利用坐标运算求解. 【详解】
（1）()()()1,02,12,1ka b k k -=-=--，
()()()21,022,15,2a b +=+=.
∵ka b -与2a b +共线， ∴()()22150k ---⨯=， 即2450k -+=，得1
2
k =-.
（2）法一：∵A ､B ､C 三点共线， ∴AB BC λ=， 即()
23a b a mb λ+=+，
∴23m λλ
=⎧⎨=⎩，解得32m =.
法二：()()()2321,032,18,3AB a b =+=+=，
()()()1,02,121,BC a mb m m m =+=+=+.
∵A ､B ､C 三点共线， ∴//AB BC .
∴()83210m m -+=， 即230m -=， ∴3
2
m =
.
19．（1）（2）2
. 【分析】
（1
）根据cos A =
求出sin A ，根据2B A π=+求出sin B ，根据正弦定理求出b ；
（2）先求出sin C ，再利用面积公式即可求出. 【详解】
（1）在ABC
中，由题意知sin A =， 又因为2B A π
=+
，所有sin sin()cos 2B A A π=+==
由正弦定理可得3sin sin a B
A
b =
==（2）由2
B A π=+
得cos cos sin 2
()B A A π
=+
=-=A B C π++=,得()C A B π=-+. 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =
+(=1
3=. 因此，ABC
的面积111sin 3223S ab C ==⨯⨯=
. 【点睛】
本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题. 20．（Ⅰ）4
B π
=；（Ⅱ
1.
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理边角关系、三角恒等变换，以及三角形内角的性质可得tan 1B =，进而可求B 的大小；
（Ⅱ
）应用三角形面积公式有ABC
S =
，由余弦定理及基本不等式求ac 的范围，进而可求ABC
S
的最大值.
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理知：sin sin cos sin sin A B C C B =+，而()A B C π=-+， ∴sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+，则cos sin sin sin B C C B =，又sin 0C ≠， ∴cos sin B B =，即tan 1,0B B π=<<，则4
B π
=.
（Ⅱ
）由1sin 2ABC
S
ac B =
=，又2222cos 4b a c ac B =+-=， ∴222cos 42(1cos )a c ac B ac B +-=≥-
，故21cos ac B ≤=-a c =时等号成立，
∴1
ABC
S=，即△ABC
1.
21．（1
（2）5
c=
【分析】
（1）由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可求得cos A的值．
（2）先由（1）求出sin A，由2
B A
=进一步cos,sin
A A,根据正弦的和角公式求出sin C,由正弦定理可得答案.
【详解】
（1）由3
a=
，b=2
B A
=
根据正弦定理可得：
sin sin
a b
A B
=
，即
3
sin A
==
因为0Aπ
<<,则sin0
A≠
所以6=
，即cos A==
（2）由（1
）cos A=
sin A=
所以2
21
cos cos22cos121
33
B A A
==-=⨯-=
所以sin B==
所以(
)
sin sin sin cos cos
1
3
sin
C A B A B A B=
+=
=+=
由正弦定理可得
sin sin
a c
A C
=
，则
3
sin
5
sin
a C
c
A
===
所以5
c=
22．（1
）/时；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据小艇与轮船的方位关系，应用余弦定理确定小艇航行的距离S与航行的时间t的函数关系，进而求小艇的航行距离最小时小艇航行速度.
（2）由余弦定理得2
2
600400
900
v
t t
=-+，结合题设列不等式求小艇最快方式与轮船相遇时所用的时间，进而设计航行方案.
【详解】
（1）设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则
S =
=当13
t
=时，min S =
，此时3
v ==/时）
. ∴小艇以/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.
（2）设小艇与轮船在B 处相遇，则()222
40090022030cos 9030v t t t =+-⋅⋅⋅︒-︒，
故2
2600400
900v t t
=-
+，又030v <≤， ∴2600400900900t t
-+≤，即223
0t t -≤，解得23t ≥.
又23t =
时，30v =海里/时，即30v =海里/时时，t 取得最小值为2
3
. 此时，在△OAB 中，有20OA OB AB ===海里，
故可设计航行方案：航行方向为北偏东30，航行速度为
30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.。